专题33 概率与统计综合问题-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题33 概率与统计综合问题 【典型例题】 例1．（2025·江西上饶·一模）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 例2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为，挑战成功分别积2分､4分､6分．根据他以往挑战的经验，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先后顺序），可随机选择挑战1关､2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜． (1)求甲最后积分为6分的概率； (2)记甲最后的积分为随机变量，求的分布列和期望． 例3．（2025·江西宜春·一模）已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表1. 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. (1)求随机抽取1单，该单的赔偿次数不少于3的概率. (2)下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 0.95a 1.1a 1.2a 1.3a 1.4a 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. ①估计甲2026年参保（第二个保险期）的保费为X元，求X的数学期望； ②求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保（第三个保险期）的保费少于2400元的概率. 例4．（2025·云南玉溪·二模）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； (3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. 例5．（2025·福建·模拟预测）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； (2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 例6．（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 例7．（2025·宁夏·一模）某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1． (1)计算样本的平均数和方差； (2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）． 【强化测试】 1．（2025·高三·甘肃白银·阶段练习）新能源汽车充电站作为新能源汽车发展的重要基础设施，在城市交通的可持续发展中起着关键作用.现有20个新能源汽车充电站的日使用次数的频率分布直方图，如图所示，其中各组区间为，，，，. (1)根据频率分布直方图，求的值，并求日使用次数在内的充电站个数； (2)从这20个充电站中任取2个，设这2个充电站中日使用次数在内的有个，求的分布列和期望. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有个大项，个分项，个小项，有来自个国家和地区，多名运动员参赛，是一场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等. (1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为， ①设，记小明答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望； ②若小明答完前四道题得分的概率为，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累计得分为，记小明答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式. 3．（2025·吉林·三模）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 4．（2025·河南焦作·二模）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 5．（2025·山东青岛·一模）《周易》反映了中国古代的二进制计数的思想方法，可以解释为：把阳爻“ ”当做数字“”，把阴爻“ ”当做数字“”，例如，成语“否极泰来”包含了“否”卦 和“泰”卦 ，“否”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是，“泰”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是 (1)若某卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和； (2)在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记分；若只有两个阳爻相邻，则记分；若三个阳爻互不相邻，则记分，设任取一卦后的得分为随机变量，求的分布列和数学期望． 6．（2025·海南海口·模拟预测）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； (2)机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率为，出错率为.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？ (3)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为.假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数. 7．（2025·四川巴中·一模）甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为，，且每人每次投中与否互不影响. (1)求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率； (2)求“乙获胜”的概率. 8．（2025·四川广安·二模）2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率； (3)现从参与竞赛的学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值. 9．（2025·江苏宿迁·二模）某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 10．（2025·北京丰台·一模）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表： 注：以下高铁车次均能准点到达 (1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率； (2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响. （i）记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望； （ii）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明） 11．（2025·福建福州·模拟预测）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设，分别以表示第一次排序时被排为的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述. (1)写出的所有可能取值（不需要说明理由）； (2)假设等可能地为的各种排列，求的概率； (3)假定各轮测试相互独立，某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，求这种现象出现的概率；并判断该品酒师的酒味鉴别功能如何，并说明理由. 12．（2025·辽宁辽阳·一模）亚冬会于年月日至月日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题活动.设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答题抽取一个小球.每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为分、分、分.已知分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，且每次抽完会补充一个同分值小球到箱内. (1)已知甲回答分、分、分题目正确的概率分别为、、，求甲抽取次，抽到种不同分值的题目，且累积得分不低于分的概率； (2)若甲抽取次，记表示甲次抽取的题目分值之和，求的分布列和数学期望. 13．（2025·广东·一模）近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 年月 年月 年月 年月 年月 月份代码 销量千辆 (1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在年1月份的销量； (2)该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？ 参考公式：． 14．（2025·陕西咸阳·二模）为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图. (1)估算成绩的中位数； (2)以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用X表示成绩在的人数，求X的分布列和方差； (3)用分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中至少一人成绩落在的人数，求的数学期望. 15．（2025·陕西商洛·三模）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． (1)若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； (2)若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列与数学期望． 16．（2025·山东聊城·一模）某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为. (1)求的值和样本容量； (2)估计所有参赛学生的平均成绩； (3)假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 17．（2025·辽宁·一模）心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态．某中学的学习研究小组设计创新性学习活动，用来研究学生在创新性学习活动中体验到心流是否与性别有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生在创新性学习活动中体验到心流”，“抽取的学生为女生”，． (1)求和，并解释所求结果大小关系的实际意义； (2)为进一步验证（1）中的判断，该研究小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值． 参考公式及数据：，． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18．（2025·上海崇明·二模）某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． (1)从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； (2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温； (3)从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望． 19．（2025·河北沧州·模拟预测）某AI公司为了解用户对于公司手机APP软件使用的满意情况，在五个不同地区随机抽取用户进行调研，调查结果如表： 地区 I区 II区 III区 IV区 V区 调研用户（人数） 250 100 200 500 350 满意率 0.5 0.3 0.7 0.6 0.5 （某区满意率是指：该区调研用户中满意人数与该区调研用户总人数的比值） 假设用户是否满意相互独立． (1)从所有的调研用户中随机抽取1人，求这个用户满意的概率； (2)用上表数据中每地区使用软件的满意率估计该地区某用户使用软件满意的概率．从I区所有使用该软件的用户和II区所有使用该软件的用户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望； 20．（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 21．（2025·北京门头沟·一模）不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率， (1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）. 22．（2025·高三·安徽安庆·期末）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）． (3)若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题33 概率与统计综合问题 【典型例题】 例1．（2025·江西上饶·一模）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 【解析】（1）记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率. （2）（I）由题意知，，， 则，令，得或1（舍）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值，且极大值为. （II）设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，则的可能取值为， 则， ， ， ， 所以， 令，即，整理得， 因为， 易知，所以，即， 又，所以的取值范围为. 例2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为，挑战成功分别积2分､4分､6分．根据他以往挑战的经验，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先后顺序），可随机选择挑战1关､2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜． (1)求甲最后积分为6分的概率； (2)记甲最后的积分为随机变量，求的分布列和期望． 【解析】（1）根据题意，甲随机搭配的样本空间， 有7个样本点，设“甲积分为6分”，包含两种组合且均成功， 则； （2）根据题意，的所有可能取值为； 其中， ，， ，， ， ， 变量的分布列为： 0 2 4 6 8 10 12 所以期望． 例3．（2025·江西宜春·一模）已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表1. 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. (1)求随机抽取1单，该单的赔偿次数不少于3的概率. (2)下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 0.95a 1.1a 1.2a 1.3a 1.4a 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. ①估计甲2026年参保（第二个保险期）的保费为X元，求X的数学期望； ②求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保（第三个保险期）的保费少于2400元的概率. 【解析】（1）该单的赔偿次数不少于3的概率约为. （2）①X可取1900，2200，2400，2600，2800. ，， ，. （元）. ②甲2026年参保的保费大于2000元的概率. 甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的情况包括： 2026年参保的保费为2200元，且2026年的赔偿次数为0； 2026年参保的保费为2400元，且2026年的赔偿次数为0. 其概率. 故所求概率为. 例4．（2025·云南玉溪·二模）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； (3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. 【解析】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”，则，， 由条件概率公式，； （2）由题意：，1，2. ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 （3）设事件“检测器检测到两个“1指向”光子”， 事件“发射器发射了个“1指向”光子”， 由（2）知：，，， 则，，， 由全概率公式，得： . 例5．（2025·福建·模拟预测）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； (2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 【解析】（1）设甲平台向该用户推送为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送为事件，由题设可知： ，，，， 又，所以， （2）设平台向该用户推送为事件， 则这两个平台向该用户至少推送A、B、C中的一种的概率为：， 因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，所以， 因为，所以， 即， 所以. 例6．（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 【解析】（1）记事件分别表示第一次抽到A类，B类，C类小正方体， 亊件表示第一次投掷后向上的面为奇数，事件表示第二次投掷后向上的面为奇数. （2）续投掷两次向上的面均为奇数的概率为 故所求概率为 （3）若选择方案一、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为200，100， 则 ， ， 所以. 若选择方案二、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为300，100. ①若第一次抽到的是A类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 ； ②若第一次抽到的是B类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 所以， 则， 所以， 所以， 则， 所以选择方案二更合适. 例7．（2025·宁夏·一模）某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1． (1)计算样本的平均数和方差； (2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）． 【解析】（1）， . （2）因为，， 所以，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标． 【强化测试】 1．（2025·高三·甘肃白银·阶段练习）新能源汽车充电站作为新能源汽车发展的重要基础设施，在城市交通的可持续发展中起着关键作用.现有20个新能源汽车充电站的日使用次数的频率分布直方图，如图所示，其中各组区间为，，，，. (1)根据频率分布直方图，求的值，并求日使用次数在内的充电站个数； (2)从这20个充电站中任取2个，设这2个充电站中日使用次数在内的有个，求的分布列和期望. 【解析】（1）由频率和为1，可得，解得.     因为日使用次数在内的频率为，         所以日使用次数在内的充电站个数为. （2）所有可能的取值为0，1，2.         ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 故. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有个大项，个分项，个小项，有来自个国家和地区，多名运动员参赛，是一场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等. (1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为， ①设，记小明答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望； ②若小明答完前四道题得分的概率为，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累计得分为，记小明答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式. 【解析】（1）①由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，； ②因为前四道试题得分即全对的概率为，所以第四道试题答对的概率为， 所以，小明答完前四题时至少答对三题的概率为， 则， 当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时，函数单调递增， 所以. （2）依题意可得，，当时，则， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 且， 所以数列是各项均为的常数列，则， 所以，解得. 3．（2025·吉林·三模）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 【解析】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 4．（2025·河南焦作·二模）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【解析】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． （2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 5．（2025·山东青岛·一模）《周易》反映了中国古代的二进制计数的思想方法，可以解释为：把阳爻“ ”当做数字“”，把阴爻“ ”当做数字“”，例如，成语“否极泰来”包含了“否”卦 和“泰”卦 ，“否”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是，“泰”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是 (1)若某卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和； (2)在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记分；若只有两个阳爻相邻，则记分；若三个阳爻互不相邻，则记分，设任取一卦后的得分为随机变量，求的分布列和数学期望． 【解析】（1）因为该卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，所以该卦所表示的二进制数共有个， 分别为、、、、、， 因为这个数中，每个数位都是次和次， 所以这些卦表示的十进制数的和为： ； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值有、、， 则，，， 则随机变量的分布列如下表所示： 故. 6．（2025·海南海口·模拟预测）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； (2)机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率为，出错率为.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？ (3)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为.假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数. 【解析】（1）由表知，， ， ， ， ， 则， 由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． （2）设事件为机器人执行命令正确”，事件为“机器人执行命令错误”， 事件为“使用者不满意”， 则，， ，， 则， 所以. （3）当小李答对题数为3时，概率为： ， 当小李答对题数为4时，概率为：， 所以小李挑战成功的概率为：， 由，，， 则，当且仅当时等号成立， 所以，由二次函数的知识可知， 当时，小李挑战成功的概率最大，最大为. 7．（2025·四川巴中·一模）甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为，，且每人每次投中与否互不影响. (1)求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率； (2)求“乙获胜”的概率. 【解析】（1）设事件“甲第一次未投中，乙两次都投中”为事件 则 （2）设事件“乙获胜”为事件 则 8．（2025·四川广安·二模）2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率； (3)现从参与竞赛的学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值. 【解析】（1）由直方图，占6人，占3人， 则成绩优秀的学生人数可取，，，， 所以，， ，， 所以分布列为 0 1 2 3 则期望. （2）记事件A：成绩优秀的学生，事件：甲学校的学生， 由已知条件可知，，， 所以. （3）解法一： 解法二：记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为，由题意可知，， 所以，令，则， 令，则，所以时，， 令，则，所以时，， 令，则，所以， 所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 9．（2025·江苏宿迁·二模）某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 【解析】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为． 10．（2025·北京丰台·一模）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表： 注：以下高铁车次均能准点到达 (1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率； (2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响. （i）记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望； （ii）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明） 【解析】（1）上表中的7趟车次中，列车运行时长不超过10小时的有4趟. 设事件“从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，这趟列车的运行时长不超过10小时”，则. （2）（i）甲选取的列车运行时长不超过10小时的概率为，乙选取的列车运行时长不超过10小时的概率为，丙选取的列车运行时长不超过10小时的概率为. X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的数学期望. （ii）甲. 列车运行时长最短为7小时17分，甲选取的列车运行时长最短的概率为，乙选取的列车运行时长最短的概率为，丙选取的列车运行时长最短的概率为，所以甲选取的列车运行时长最短的概率最大. 11．（2025·福建福州·模拟预测）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设，分别以表示第一次排序时被排为的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述. (1)写出的所有可能取值（不需要说明理由）； (2)假设等可能地为的各种排列，求的概率； (3)假定各轮测试相互独立，某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，求这种现象出现的概率；并判断该品酒师的酒味鉴别功能如何，并说明理由. 【解析】（1）在中，奇数和偶数各有两个，所以，中奇数个数等于，中偶数个数， 因此与的奇偶性相同， 从而必为偶数，又的值非负，且其值不大于8， 所以的所有可能取值有； （2）用表示的一个排列，则当时，所有可能的情况如下： ， 若，则， 若，则，或， 若，则，或， 或，或， 故； （3）依题意可得， 当时，， 则，或， 或， 故， 所以， 因为各轮测试相互独立，记“该品酒师在相继进行的三轮测试中，都有”， 则，是一个很小的概率， 所以可以认为该品酒师的酒味鉴别功能优秀. 12．（2025·辽宁辽阳·一模）亚冬会于年月日至月日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题活动.设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答题抽取一个小球.每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为分、分、分.已知分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，且每次抽完会补充一个同分值小球到箱内. (1)已知甲回答分、分、分题目正确的概率分别为、、，求甲抽取次，抽到种不同分值的题目，且累积得分不低于分的概率； (2)若甲抽取次，记表示甲次抽取的题目分值之和，求的分布列和数学期望. 【解析】（1）若甲次答题累积得分不低于分，则甲抽取的个题目的分值可以是、、， 当甲抽取的个题目的分值是时，概率为， 要使得累积得分不低于分，则个题要全答对，所以，概率为； 当甲抽取的个题目的分值是时，概率为， 要使得累积得分不低于分，则个分题要答对，概率为； 当甲抽取的个题目的分值是时，概率为， 要使得累积得分不低于分，则个分题要答对，概率为. 故甲次答题累积得分不低于分的概率为. （2）的所有可能取值为：、、、、、、， ，， ， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 13．（2025·广东·一模）近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 年月 年月 年月 年月 年月 月份代码 销量千辆 (1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在年1月份的销量； (2)该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？ 参考公式：． 【解析】（1）由题意得， ， 所以，， 所以关于的线性回归方程为， 由题意得，年月份的月份代码为，当时，， 所以估计该地区新能源汽车在年月份的销量为千辆． （2）记事件为“员工经过培训后，能使用人工智能工具”， 则， 设宣传部门调至其他部门人数为，则参加培训的人数为， 设为培训后能使用人工智能工具的人数， 则，故， 调整后年净利润预计为：万元， 由题意得， 解得， 所以预计最多可调整人去其他部门． 14．（2025·陕西咸阳·二模）为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图. (1)估算成绩的中位数； (2)以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用X表示成绩在的人数，求X的分布列和方差； (3)用分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中至少一人成绩落在的人数，求的数学期望. 【解析】（1）由图知，解得， 设中位数为，则，解得. （2）由题知成绩在内的概率为，， 的可能取值为， 又，， ，， 所以的分布列为 . （3）因为，则抽取的人中，有个成绩在，个在， 由题知的可能取值为， 又，，， 所以的数学期望为. 15．（2025·陕西商洛·三模）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． (1)若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； (2)若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列与数学期望． 【解析】（1）若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢， 或者第一局甲输，则甲第三局必定参加比赛，故所求概率为. （2）由题意可知，的可能取值有、、， 若，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，， 若，则第二、三局均为丙赢，所以，， 若，则前三局没有人累计胜两局，必须进行第四局，第四局后无论胜负都有人累计获胜两局， 所以，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 16．（2025·山东聊城·一模）某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为. (1)求的值和样本容量； (2)估计所有参赛学生的平均成绩； (3)假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 【解析】（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得，解得， 样本容量为. （2）所有参赛学生的平均成绩为. （3）由题意可知，获奖人数为人， 由题意可得如下列联表 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 所以，， 所以，依据小概率值的独立性检验，男生与女生的获奖无差异. 17．（2025·辽宁·一模）心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态．某中学的学习研究小组设计创新性学习活动，用来研究学生在创新性学习活动中体验到心流是否与性别有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生在创新性学习活动中体验到心流”，“抽取的学生为女生”，． (1)求和，并解释所求结果大小关系的实际意义； (2)为进一步验证（1）中的判断，该研究小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值． 参考公式及数据：，． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）因为， 所以由对立事件概率公式关系可得 代入， 所以， 由全概率公式可得， 即， 所以. 说明学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关. （2）完成列联表如下： 学生体验到心流 学生未体验到心流 合计 男生 女生 总计 ， 所以，所以的最值小值为4. 18．（2025·上海崇明·二模）某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． (1)从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； (2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温； (3)从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望． 【解析】（1）设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A，连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以 （2）4月1日至4日这4天温差分别为9、8、9、9， 因此，设4月14日的温差为x， 则4月11日至14日这4天温差分别为8、9°C、8、x， 因此， 解得，因此，4月11日这天最高气温是18． （3）从3月31日至4月13日，一天温差不超过9的共有11天，高于9的共有3天 X可能取值为0，1，2. ，， 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的期望. 19．（2025·河北沧州·模拟预测）某AI公司为了解用户对于公司手机APP软件使用的满意情况，在五个不同地区随机抽取用户进行调研，调查结果如表： 地区 I区 II区 III区 IV区 V区 调研用户（人数） 250 100 200 500 350 满意率 0.5 0.3 0.7 0.6 0.5 （某区满意率是指：该区调研用户中满意人数与该区调研用户总人数的比值） 假设用户是否满意相互独立． (1)从所有的调研用户中随机抽取1人，求这个用户满意的概率； (2)用上表数据中每地区使用软件的满意率估计该地区某用户使用软件满意的概率．从I区所有使用该软件的用户和II区所有使用该软件的用户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望； 【解析】（1）由题意知，样本中五个地区的回访用户的总数是： ， 满意的用户人数， 故所求概率为． （2）根据题意，． 设事件为“从I区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”， 事件为“从II区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”，且、为独立事件． 根据题意，估计为0.5，估计为0.3. 则； ； ． 的分布列为 0 1 2 0.35 0.5 0.15 的期望． 20．（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 【解析】（1）设“停止比赛时小队有人投中”为事件， 则，所以. （2）（ⅰ）的所有可能取值为1，2，3 ，，； 所以的分布列为 1 2 3 . （ⅱ）设方案二所需派出人员数目，同理可得， 因为，所以 ， 所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小. 21．（2025·北京门头沟·一模）不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率， (1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）. 【解析】（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为 （2）由题意可知的可能取值为：， 则， ， ， ， 所以； （3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为, 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 易知， 由二项分布的方差公式可知， ，则. 22．（2025·高三·安徽安庆·期末）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）． (3)若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 【解析】（1）（1）由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分， 故比赛次数不会超过5； 由比赛规则可知，若比赛共进行了n局，（）， 即随机事件“第i局比赛中甲获胜”， ， ， ， ． 于是X的分布列为： X 2 3 4 5 P 故； （2）（2）易得，，， 记，则， 由，得，即，；，， 故时，最大，所以n的估计值为21． （3）在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为，记乙在每场比赛是获胜概率为，则 由已知，所以单调增 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$