培优专练+三年真题25椭圆-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

培优专练+三年真题25椭圆 【考点一】椭圆的定义及辨析 【考点六】椭圆的范围与对称性 【考点二】椭圆的焦点有关问题 【考点七】椭圆的顶点、长短轴 【考点三】根据a、b、c求椭圆标准方程 【考点八】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【考点四】轨迹问题--椭圆 【考点九】根据离心率求椭圆的标准方程 【考点五】椭圆的焦点、焦距 【题型一】椭圆的定义及辨析 1．（2025·甘肃甘南·三模）如图，斜线段 与平面 所成的角为， 为斜足，平面上的动点 满足 ，则点的轨迹是（    ）    A．直线 B．圆 C．抛物线 D．椭圆 2．（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川凉山·三模）点M在椭圆上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，O为坐标原点，，则________． 4．（多选）（2025·贵州黔东南·一模）已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（   ） A．存在无数个点P，使得为定值 B．存在无数个点P，使得为定值 C．仅存在2个点P，使得 D．仅存在4个点P，使得 【题型二】椭圆的焦点有关问题 1．（2026·陕西商洛·三模）已知椭圆的两焦点分别为是上任意一点，则的最大值（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与和都有关 D．与都无关 2．（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 3.（2026·四川泸州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________． 4．（多选）（2026·云南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【题型三】根据a、b、c求椭圆标准方程 1．（2025·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川雅安·二模）椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为______. 3．（2025·福建漳州·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B，直线交椭圆C于点M，直线交椭圆C于点N，且，则椭圆C的方程为__________. 4．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为_________________． 【题型四】轨迹问题--椭圆 1.（2025·新疆·三模）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为______. 4．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，若对于任意的向量，均有的最小值为，则的取值范围是______． 【题型五】椭圆的焦点、焦距 1．（2025·海南·三模）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·福建·模拟预测）著名天文学家开普勒发现：地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳为该椭圆的一个焦点．我们将地球在该椭圆轨道上距离太阳最近和最远的位置分别称为近日点和远日点．已知近日点到太阳的距离约为，远日点到太阳的距离约为，则该椭圆的焦距约为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济南·二模）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·一模）如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（   ） A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆 C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆 【题型六】椭圆的范围与对称性 1．（2026·山东聊城·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ） A．2 B． C．4 D． 2.（2025·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则___________. 3.（2025·江西·二模）已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程； (2)设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围. 4.（2026·贵州遵义·模拟预测）已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为. (1)求曲线的方程： (2)过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值. 【题型七】椭圆的顶点、长短轴 1.（2025·云南红河·三模）已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南·三模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的短轴长为（    ） A．2cm B．4cm C． D． 4．（2025·上海静安·一模）已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于___________． 【题型八】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 1.（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______． 4．（2026·陕西安康·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 【题型九】根据离心率求椭圆的标准方程 1．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东·一模）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 二、填空题 2．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 3．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 三、解答题 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 5．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 6．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 7．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，．点关于直线的对称点为，直线与直线交于点．设与的面积分别为与． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的值． 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 10．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为.直线与直线的交点为，当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题25椭圆 【考点一】椭圆的定义及辨析 【考点六】椭圆的范围与对称性 【考点二】椭圆的焦点有关问题 【考点七】椭圆的顶点、长短轴 【考点三】根据a、b、c求椭圆标准方程 【考点八】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【考点四】轨迹问题--椭圆 【考点九】根据离心率求椭圆的标准方程 【考点五】椭圆的焦点、焦距 【题型一】椭圆的定义及辨析 1．（2025·甘肃甘南·三模）如图，斜线段 与平面 所成的角为， 为斜足，平面上的动点 满足 ，则点的轨迹是（    ）    A．直线 B．圆 C．抛物线 D．椭圆 【答案】D 【分析】根据题意得点运功轨迹结合平面截圆锥截面判断即可. 【详解】平面上的动点 满足 ，可以理解为在以 为轴的圆锥的侧面上， 再由斜线段 与平面 所成的角为，可得 的轨迹为：以 为轴线的圆锥侧面与 平面的交线， 如图所示：    所以点的轨迹是椭圆． 故选：D． 【点睛】结论点睛：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线. 2．（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假. 【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误； 对于B，设，则由 ，所以点轨迹为圆，故B错误； 对于C，由 ， 因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确； 对于D，由 ， ①当且，即时， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ②当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ③当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ④当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； 综上可知点轨迹为四条线段，故D错误. 3．（2025·四川凉山·三模）点M在椭圆上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，O为坐标原点，，则________． 【答案】5 【分析】设左焦点为，右焦点为，由题意可得，即可求出答案. 【详解】因为椭圆，所以， 设左焦点为，右焦点为，连接， 因为N为MF的中点，为的中点，， 所以，，， 所以，所以. 故答案为：. 4．（多选）（2025·贵州黔东南·一模）已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（   ） A．存在无数个点P，使得为定值 B．存在无数个点P，使得为定值 C．仅存在2个点P，使得 D．仅存在4个点P，使得 【答案】ABD 【分析】曲线代表的是椭圆和椭圆，进而逐项判断即可. 【详解】由曲线C：， 可知曲线为：椭圆和椭圆， 易知，为的焦点，，，为的焦点， 存在无数个点P，使得为定值，存在无数个点P，使得为定值，故AB正确； 由图象可知：两椭圆共有4个交点， 所以仅存在4个点P，使得，故C错，D对， 故选：ABD 【题型二】椭圆的焦点有关问题 1．（2026·陕西商洛·三模）已知椭圆的两焦点分别为是上任意一点，则的最大值（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与和都有关 D．与都无关 【答案】B 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，且， 则，所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值只与有关. 2．（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义将周长的最大值问题转化为求的最大值即可求出，再求出焦距即可. 【详解】由题意知，，且， 则， 由椭圆的定义可知，， 则的周长为， 因为，等号成立时三点共线， 所以周长的最大值为，得，则，得， 故C的焦距为. 3.（2026·四川泸州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________． 【答案】3 【分析】设，根据椭圆定义可得，，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，， 设，则，， 若，则，解得， 可得，，所以. 故答案为：3. 4．（多选）（2026·云南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【详解】由题可知，∴，， ∴，的周长为，A选项正确； ∵，∴，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； ， ∴， ∴斜率，D选项错误.      【题型三】根据a、b、c求椭圆标准方程 1．（2025·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 2．（2025·四川雅安·二模）椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】根据题意及椭圆的定义求出，即可得解. 【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上，设其标准方程为， 由题意可知焦距， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 3．（2025·福建漳州·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B，直线交椭圆C于点M，直线交椭圆C于点N，且，则椭圆C的方程为__________. 【答案】 【分析】求得直线的方程，联立方程组求得的坐标，进而求得的坐标，利用，可得，求解可得椭圆的方程. 【详解】依题意得，所以直线的方程为， 代入中，解得， 因为，所以，所以， 所以直线BN的方程为， 代入中，解得， 因为M，，N三点共线， 所以，即， 化简得， 又，所以，， 所以椭圆C的方程为. 故答案为：. 4．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为_________________． 【答案】 【分析】由题意可得，由，可得，可求椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的长轴长为4，则可得，解得， 因为，由椭圆的对称性可知， 所以，解得，所以， 又椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为. 故答案为：. 【题型四】轨迹问题--椭圆 1.（2025·新疆·三模）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点求出的坐标，利用相关点法即可求解. 【详解】设依题意有，即， 所以，即，所以， 故选：D. 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可. 【详解】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 3.（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行轴，纵坐标相等，列出坐标的关系式，求出轨迹方程. 【详解】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 4．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，若对于任意的向量，均有的最小值为，则的取值范围是______． 【答案】． 【分析】设向量的始点为原点，终点分别为，取，得到点在直线上，设，可得点的轨迹方程为，再根据椭圆的定义可得结果. 【详解】已知，，，，设，，，由得点在直线上. 这是因为在平面直角坐标系中，直线上所有点的横坐标都为，所以点的横坐标为. 因为对于任意的向量，均有的最小值为，. 在平面直角坐标系中，向量，，所以点到直线的距离为. 根据椭圆的第二定义，点的轨迹是以为右焦点，为右准线的椭圆，其方程为. 设为椭圆的左焦点，根据椭圆的定义，所以，则. 所以. 根据三角形三边关系，计算. 所以的取值范围是. 故答案为： 【题型五】椭圆的焦点、焦距 1．（2025·海南·三模）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据对称性得点在上，代入的方程得，利用椭圆焦距的定义求解即可. 【详解】由对称性可知，正方形的四个顶点必在直线上，由于椭圆在y轴上的两顶点间的距离为2， 所以正方形的边长只能为1，因此点在上，代入的方程得，解得， 故，所以的焦距为. 故选：B 2．（2025·福建·模拟预测）著名天文学家开普勒发现：地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳为该椭圆的一个焦点．我们将地球在该椭圆轨道上距离太阳最近和最远的位置分别称为近日点和远日点．已知近日点到太阳的距离约为，远日点到太阳的距离约为，则该椭圆的焦距约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆里的近日点和远日点列式即可求得结果. 【详解】设椭圆长轴为2a，焦距为2c，易知，解得，所以椭圆的焦距约为， 故选：B． 3．（2024·山东济南·二模）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标. 【详解】，可得焦点坐标为和. 故选：B 4．（2026·陕西西安·一模）如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（   ） A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆 C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆 【答案】A 【分析】设复数的代数形式，求出的表达式，再根据复数的模的性质和椭圆的定义确定轨迹即可. 【详解】令 . 因为，所以. 又， 所以. 设 ，则，， 所以，. 代入得，，即， 也即， 因为，所以，所以该曲线表示焦点在轴上的椭圆，其中，， 所以，则，焦距. 所以复数在复平面上对应的点的轨迹是焦距为的椭圆. 故选：A. 【题型六】椭圆的范围与对称性 1．（2026·山东聊城·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设椭圆半焦距为，则，即，， 连接，由关于原点对称，关于原点对称，    得四边形为平行四边形，， 则，而点与点关于直线对称， 因此，， 所以四边形的周长为. 2.（2025·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则___________. 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求得答案. 【详解】依题意，点关于原点对称，而为线段中点，连接， 则四边形为平行四边形，， 所以. 故答案为：6 3.（2025·江西·二模）已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程； (2)设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用已知点建立方程组求解即得. （2）设，且，利用两点间距离公式可得，再利用椭圆上的点坐标的范围即可求得. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意设，且， 由，得， 则(*)， 因，， 则， 代入(*)式，可得：， 化简得， 因，得， 即得， 故实数的取值范围是. 4.（2026·贵州遵义·模拟预测）已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为. (1)求曲线的方程： (2)过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意列出表达式，化简即可； （2）方法一：设，表示出，通过 ，的范围即可求出；方法二：设，分情况讨论，若直线的斜率存在且设为，联立得，再设，通过函数的单调性判断即可；方法三：设，直线为，联立得到，设，通过函数的单调性即可判断. 【详解】（1）由题意知，化简得， 故曲线的方程为； （2）方法一：设，由题意知 所以， 因为，所以，又， 又是直线被椭圆截得的弦在轴上投影的长度， 当直线为轴时，该弦为长轴，投影长度取最大值4，故， 所以，当或时取等. 故的最大值为2. 方法二：设，由题意知 若直线的斜率存在设为，则， 联立，消去得， 易知，所以. 所以， 故， 设，则， 所以， 易知在递减，所以时的最大值为2， 若直线的斜率不存在时，易知，故的最大值为2 方法三：设，由题意知 由题意知直线设为，则， 联立，化简得， 易知，所以， 所以 故， 设，则， 设则 因为在递减，所以 当直线的斜率为0时，易知，故的最大值为2. 【题型七】椭圆的顶点、长短轴 1.（2025·云南红河·三模）已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 2.（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意求出椭圆所有顶点坐标判断选项即可. 【详解】椭圆的一个顶点是，一个焦点是，椭圆的焦点在轴上， 设椭圆方程为，则有，得， 所以椭圆左顶点为，右顶点为，下顶点为，上顶点为， 只有A选项符合. 3．（2026·河南·三模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的短轴长为（    ） A．2cm B．4cm C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，利用垂直关系可得，再求出可得椭圆的短轴长. 【详解】为椭圆的右焦点，连接， 根据椭圆的对称性可知，又，有， 由，有，得， 由，得， 由得，所以椭圆的短轴长为． 4．（2025·上海静安·一模）已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于___________． 【答案】10 【分析】根据椭圆方程，直接求解. 【详解】由椭圆方程可知，，， 所以椭圆的长轴长为. 故答案为：10 【题型八】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 1.（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即 . 所以椭圆的离心率为. 2．（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知四边形为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得，结合已知条件列不等式组，进而解得答案. 【详解】因为点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限， 则O为的中点，结合，所以四边形为矩形， 所以，而， 则，整理得， 所以，结合A在第一象限，可知， 所以， 由椭圆的对称性可知，由可得， 即，所以，整理得， 所以，即椭圆C的离心率的取值范围为. 3.（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______． 【答案】 【分析】根据椭圆 ，，可得，根据以及结合可确定，再求离心率. 【详解】因为，所以， 所以椭圆顶点：，；焦点：， 所以，， 当、为短轴顶点时，，不合题意， 当、为焦点和左右顶点中的两点时，两点间距离可能为，若其中任意一个为，解得均不是整数，不合题意， 当、一个为焦点一个为短轴顶点时，，是整数，所以，不合题意， 当、一个为长轴顶点一个为短轴顶点时，，解得，满足题意， 所以， 所以. 4．（2026·陕西安康·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】由，得，结合基本不等式和椭圆的性质有，可求离心率的取值范围. 【详解】由，得， 由椭圆的定义得，又，所以， 设，则有，， 点在椭圆上，有，所以， 则时，有最大值， 时，有最小值， 所以有， 由，有，所以， 由，有， 可得，解得（舍去）或， 因为，综上可知的离心率的取值范围为． 【题型九】根据离心率求椭圆的标准方程 1．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 2．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 4．（2024·山东·一模）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆焦点坐标与离心率公式得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】由题可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的标准方程是. 故选：C. 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 二、填空题 2．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 3．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率. 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 三、解答题 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 5．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率可知，，然后将代入椭圆方程即可求解； （2）根据直线与圆相切即可求出，分类讨论即可. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 6．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系. 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出. 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设， 联立，解得， 联立，解得， 若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以， 同理，当时，， 当时，则，，, 又，所以， 所以 ， ， 则，即， 所以. 7．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，．点关于直线的对称点为，直线与直线交于点．设与的面积分别为与． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的值． 【答案】(1)由题设得解得，，． 所以椭圆的方程为． (2)由题设知，且． 直线的方程为． 由得． 设，，则， 且，． 因为， 点到直线的距离为， 所以 ． 由题设知．解得． 【分析】（1）利用顶点坐标及离心率计算即可得； （2）解法一：设出直线，转化条件为，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解.解法二：设出直线，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出与，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）解法二：由题意可得，设、， 由关于直线对称的点为，则， 联立，消去得：， 由，故在椭圆内部，故恒成立，有、， 则， ， ，联立， 则，即， 整理得，即， 点到直线的距离，点到直线的距离， 又，则，， 故 ， 即有，若，则，无解，不符； 则，有，解得； 故. 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】(1) (2) 直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【分析】（1）设，根据的坐标及 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴. 【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 10．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为.直线与直线的交点为，当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 【答案】(1) (2)（i）的方程为； （ii）当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 【分析】（1）利用过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为 ，通过求出坐标解出线段的长，求得再求出离心率； （2）(i)通过联立方程求出点的坐标，再反解出点的坐标代入椭圆方程，从而求出的轨迹的方程； （ii）先对曲线方程配方，再讨论在不同取值时，中心存在的情况；再通过平移规律求出的方程，再讨论不同情况下的形状. 【详解】（1）设椭圆 的右焦点为，其中 ， 那么过右焦点且垂直于 轴的直线为，代入椭圆得 ，即 ， 所以 ，由于截线段长为 ，解得 ， 故 ，离心率 . （2）(i)  方法一： 由（1）知椭圆方程为 ，由于点满足 ，且 ，过作轴的垂线，交 轴于点 ， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线 方程为：，直线方程为： ， 即 ， 联立，解得，即点， 设，则由， 代入椭圆方程得，即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二： 由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则， 因为点在直线上，所以，， 把代入椭圆方程： ，得，即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为； (ii)由（i）得轨迹的方程为， 当即时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无对称中心； 当 即 且0时， 化简轨迹的方程为， 将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为，即， 所以当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 综上，当时，轨迹无对称中心； 当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $