精品解析：天津市宝坻区第九中学2024-2025学年高一下学期第一次统练数学试题

2024-2025学年度第二学期第一次统练 高一数学 一．单项选择题（共10题，每题4分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 向量的模都是正实数 B. 单位向量只有一个 C. 向量的大小与方向无关 D. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 2. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则判断即可. 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形. 故选：A 3. 已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　) A. (－2，－1) B. (－2，1) C. (－1，0) D. (－1，2) 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为平面向量，则向量 4. 已知i是虚数单位，复数为（ ） A. 3+4i B. 3－4i C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则化简即可求解. 详解】， 故选：D 5. 为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求，即可得夹角余弦值. 【详解】因为， 则， 所以. 故选：C. 6. 在中，已知是边上的一点，若，，则 A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由已知得，因此，答案选B. 考点：向量的运算与性质 7. 下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断两个平面向量能否构成平面的基底，只需判断它们是否共线即可，不共线才能作为平面的基底. 【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行， 若，则， 故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得. 对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确； 对于B选项，，∴与不平行，故B项正确； 对于C选项，，∴与不平行，故C项正确； 对于D选项，，∴，故D项错误. 故选：D. 8. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】在上的投影向量为. 故选：A 9. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 【答案】A 【解析】 【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°. 【详解】由正弦定理得， 即， 解得sinB=， 又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°， 又因为a>b，所以A>B，即B=30°. 故选：A. 10. 在边长为正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又，C(1,1)，所以， 所以， 因为0≤x≤1，所以， 即的取值范围是. 故选C. 点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用． 二．填空题（共5题，每题4分） 11. 是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 12. 已知向量，，若向量与垂直，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示直接求解即可． 【详解】因为向量，，向量与垂直， 则，解得． 故答案为：． 13. 已知向量的夹角为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，根据模长的平方关系结合数量积运算律求解即可. 【详解】因为向量的夹角为，，， 则， 可得， 所以. 故答案为：. 14. 在中，若，，，则的最小角为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据边长分析可知最小内角为角，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，，则， 可知，即最小内角为角， 且， 又因为，所以. 故答案为：. 15. 如图，从山顶A望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为和，已知，点C位于BD上，则山高AB等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，，结合长度关系列式求解即可． 【详解】由题意可知，，， 由直角三角形可知：，， 因为，即， 所以. 故答案为：． 三、解答题（共5题，每题12分） 16. 已知是虚数单位，复数，. （1）当时，求； （2）若z是纯虚数，求值； （3）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先写出复数再根据模长公式求解； （2）根据复数是纯虚数求参即可； （3）根据复数对应的点位于第三象限列不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，. 所以，. 【小问2详解】 若复数是纯虚数，则， 解得，所以. 【小问3详解】 复数在复平面内对应的点位于第三象限， 则即， 解得. 所以，实数的取值范围是. 17. 已知向量，，，，若． （1）求的值； （2）求与的夹角θ； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的运算律计算可得； （2）由夹角公式计算可得； （3）根据及向量数量积的运算律计算可得； 【小问1详解】 因为，， 则， 即，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 因为，所以. 【小问3详解】 因为 所以. 18. 已知向量，向量 （1）若向量与向量平行，求实数的值； （2）若向量向量垂直，求实数的值； （3）求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的结论求参数. （2）根据向量的数量积为0求参数. （3）根据数量积的定义求向量夹角的余弦. 小问1详解】 由题意得， 因为向量与向量平行，所以， 解得． 【小问2详解】 由题意得， 因为向量向量垂直，所以， 解得． 【小问3详解】 由题意得，， 所以，，， 所以向量与向量夹角的余弦值为． 19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角A； （2）若，，求边c及的面积； 【答案】（1） （2）3； 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果； （2）利用余弦定理可得，结合面积公式运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 且，则， 可得，则， 又因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积． 20. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出； （3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出． 【小问1详解】 由正弦定理可得，，即，解得：； 【小问2详解】 由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． 【小问3详解】 由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期第一次统练 高一数学 一．单项选择题（共10题，每题4分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 向量模都是正实数 B. 单位向量只有一个 C. 向量的大小与方向无关 D. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 2. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3. 已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　) A. (－2，－1) B. (－2，1) C. (－1，0) D. (－1，2) 4. 已知i是虚数单位，复数为（ ） A. 3+4i B. 3－4i C. D. 5. 为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知是边上的一点，若，，则 A. B. C. D. 7. 下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（ ） A B. C. D. 8. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 10. 在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二．填空题（共5题，每题4分） 11. 是虚数单位，复数______． 12. 已知向量，，若向量与垂直，则________. 13. 已知向量的夹角为，，，则________． 14. 在中，若，，，则的最小角为________． 15. 如图，从山顶A望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为和，已知，点C位于BD上，则山高AB等于________． 三、解答题（共5题，每题12分） 16. 已知是虚数单位，复数，. （1）当时，求； （2）若z是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 17. 已知向量，，，，若． （1）求的值； （2）求与的夹角θ； （3）求的值． 18. 已知向量，向量 （1）若向量与向量平行，求实数值； （2）若向量向量垂直，求实数的值； （3）求向量与向量夹角的余弦值． 19. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角A； （2）若，，求边c及面积； 20. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$