精品解析：甘肃省张掖市第二中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

绝密★启用前 张掖二中2024—2025学年（上）学期高一第二次月考 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 小明､小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ） A. 小明两次购买葡萄的平均价格比小红低 B. 小红两次购买葡萄的平均价格比小明低 C. 小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样 D. 两次购买葡萄的平均价格无法比较 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 5. 已知函数，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的值约为（参考数据：，） A. 0.268 B. 0.87 C. 1.13 D. 1.87 7. 已知函数，对任意实数都有成立，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若定义运算，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”的否定是“” B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若正数满足，则 10. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 若定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，集合，若，则实数_____. 13. 有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定：（1）函数的对称中心是_____； （2）______． 14. 设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合，集合. （1）求； （2）若，求实数m的取值范围 16. 已知函数. （1）若对任意，都有，则的解析式； （2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）若，求的最小值. 17. 某科研机构对某病毒的变异毒株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： X（T） 1 2 3 4 5 6 … Y（万个） … 10 … 50 … 250 … 若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过x（）个单位时间T的关系有两个函数模型（）与（，）可供选择. （1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）求至少经过多少个时间单位，该变异毒株的数量不少于一亿个. （参考数据：，，，） 18. 已知，其中. （1）当时，解关于的不等式； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知二次函数. （1）若函数在区间上存在零点，求实数q的取值范围； （2）是否存在常数t(t≥0)，当时，的值域为区间D，且区间D的长度为 (视区间的长度为)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 张掖二中2024—2025学年（上）学期高一第二次月考 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】修改量词否定结论，可得结果. 【详解】“，”的否定为“，”， 故选：C. 2. 小明､小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ） A. 小明两次购买葡萄的平均价格比小红低 B. 小红两次购买葡萄的平均价格比小明低 C. 小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样 D. 两次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，再用均值不等式来比较大小即可. 【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小明两次购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小红两次购买50元葡萄，平均价格为元/千克， 根据均值不等式有：， 由于，可知：， 所以有小红两次购买葡萄的平均价格比小明低， 故选：B. 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 4. 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 【答案】A 【解析】 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 5. 已知函数，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，然后比较大小即可. 【详解】显然单调递增， ， 故 所以 故选：B 6. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的值约为（参考数据：，） A. 0.268 B. 0.87 C. 1.13 D. 1.87 【答案】B 【解析】 【分析】由的计算公式及对数的基本运算求解即可. 【详解】解：由题意得 . . 故选：B 7. 已知函数，对任意实数都有成立，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件“对任意实数都有成立”得到对称轴，求出，再研究函数在上的单调性，求出函数的最小值，使最小值大于零即可. 【详解】解：因为对任意实数都有成立， 所以函数的对称轴为，解得， 又因为函数开口向下， 所以函数在上单调递增， 而恒成立， 所以， 解得或. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，二次函数在给定区间上恒成立问题必须从开口方向，对称轴，判别式及端点的函数值符号4个角度进行考虑. 8. 若定义运算，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得解析式，据此可得答案. 【详解】由题，. 注意到在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递增，在上单调递减，则， 即值域为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”的否定是“” B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若正数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据存在量词命题（特称命题）的否定即可判断A；根据集合间的包含关系可得，进而求解即可判断B；由，令，结合对勾函数的单调性求解即可判断C；根据基本不等式即可求解判断D. 【详解】对于A，“”的否定是“”，故A正确； 对于B，令，解得或2， 当时，，不满足元素的互异性，不符合题意， 当时，，满足题意. 综上所述，，故B正确； 对于C，由， 令，则， 因为函数在上单调递增， 则时，取得最小值为， 即的最小值为，故C错误； 对于D，由，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，取特殊值即可排除错误选项，再根据不等式性质，利用作差法可得到正确选项． 【详解】根据，取，，，则可排除． 因为，所以； 因为，所以， 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及作差的应用，属基础题． 11. 若定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件，分析函数 的单调性和对称性，再根据 的性质逐项分析即可. 【详解】因为 是偶函数，所以 的图像关于直线 对称， 即当 时， 单调递增，当 时，单调递减， 对于A， ，错误； 对于B， ，正确； 对于C， ，正确； 对于D， ，正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，集合，若，则实数_____. 【答案】-3 【解析】 【详解】因为集合， ，A={0,3}，故m= -3. 13. 有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定：（1）函数的对称中心是_____； （2）______． 【答案】 ①. ②. 3033 【解析】 【分析】根据函数解析式，得到，令，判断其是奇函数，结合题中条件，即可得出结果；由解析式，先得到，推出所求式子等价于，即可得出结果. 【详解】由得， 令，则， 即为奇函数；由题中命题可得，函数的对称中心是； 由得， 则； 所以. 故答案为：；3033. 14. 设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】采用分离参数法分析函数的单调性，确定函数的最大、最小值即可求解. 【详解】因为， 因为时，，随着的增大，函数的值越来越小，即函数在上单调递减. 所以，. 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合，集合. （1）求； （2）若，求实数m的取值范围 【答案】（1）或；； （2）或 . 【解析】 【分析】（1）解不等式确定集合．再由并集定义计算； （2）由，则，分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 ， 或． ∴或； 【小问2详解】 因为，所以， 若，则 若，则，得时， 可得， 实数的取值范围为或 . 16. 已知函数. （1）若对任意，都有，则的解析式； （2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出等量关系，由此求解出的值，则解析式可知； （2）根据区间与对称轴的关系列出不等式，由此求解出的取值范围； （3）分析对称轴与区间的关系，结合二次函数的单调性求解出. 【小问1详解】 因为， 所以， 化简得，且不恒为， 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 因为的对称轴为，又在区间上不单调， 所以，所以， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 的对称轴为， 当时，即时，在上单调递增，所以； 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当时，即时，在上单调递减，所以， 综上可知，. 17. 某科研机构对某病毒的变异毒株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： X（T） 1 2 3 4 5 6 … Y（万个） … 10 … 50 … 250 … 若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过x（）个单位时间T的关系有两个函数模型（）与（，）可供选择. （1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）求至少经过多少个时间单位，该变异毒株的数量不少于一亿个. （参考数据：，，，） 【答案】（1）（，）更合适， （2）11 【解析】 【分析】（1）将和分别代入两种模型求解析式，再根据的值，即可判断. （2）设至少需要x个单位时间，则令，解出不等式即可判断. 【小问1详解】 若选（）， 将和代入可得，解得 所以，将代入，得； 若选（，）， 将和代入可得，解得 所以，将代入，得； 所以选择（，）更合适，解析式为. 【小问2详解】 设至少需要x个单位时间，则令，即 两边同时取常用对数可得， 则. ，所以x的最小值为11. 故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个. 18. 已知，其中. （1）当时，解关于的不等式； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为 （2）. 【解析】 【分析】（1）因式分解确定对应二次方程的解，然后写出不等式的解集； （2）不等式转化为，利用函数的单调性求出在上最小值最小值即可得结论． 【小问1详解】 ∵，∴， ∵，∴当时，的解集为 当时，的解集为 当时，的解集为 【小问2详解】 根据题意得，在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立即 ∵在，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，考查不等式恒成立问题，解决不等式恒成立的方法是用分离参数法转化为求函数的最值，这是恒成立问题的常用方法． 19. 已知二次函数. （1）若函数在区间上存在零点，求实数q的取值范围； （2）是否存在常数t(t≥0)，当时，的值域为区间D，且区间D的长度为 (视区间的长度为)． 【答案】（1）； （2）存在，或或. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的单调性结合零点存在性定理，列出不等式组求解作答. （2）分类求出函数在区间上的最值，再结合区间长度列出方程求解验证作答. 【小问1详解】 二次函数在区间上单调递减，因函数在上存在零点， 则有，即，解得， 所以实数q的取值范围是. 【小问2详解】 显然，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，， 由得：，解得，因此， 当时，，， 由得：，因此， 当时，，， 由得：，解得或，因此， 所以存在常数或或满足条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $