精品解析：广东省惠州市光正实验学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

惠州光正实验学校2024-2025学年度下学期3月月考 高一年级数学试题(B) 满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若为实数，则向量与方向相同 D. 单位向量的模都相等 2. 已知角的终边上一点P的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 5. 已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，M是BC中点，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 7. 已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，商多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行四边形ABCD中， 若E，F分别是边AB，AD的中点， 则（ ） A. B. C. D. 10. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. 已知非零向量、和实数k，则“”是“”的必要而不充分条件 C. 若且，则三角形为等腰直角三角形 D. 若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则 三、填空题：本题共8小题，每小题5分，共15分.请把答案直接须写在答题卡格应立图上. 12. 若向量，则与方向相反的单位向量为____________________. 13. 已知向量，，若， 则_______________. 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求与; （2）求与的夹角的余弦值. 16. 设是不共线的两个非零向量. （1）若与共线，求实数k的值. （2）已知向量满足求； 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若且，求边上高； （3）若点在上，满足为的平分线，且，求的长. 18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 19. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州光正实验学校2024-2025学年度下学期3月月考 高一年级数学试题(B) 满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若为实数，则向量与方向相同 D. 单位向量的模都相等 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断. 【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误； 对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误； 对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误； 对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确； 故选：D. 2. 已知角的终边上一点P的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由题意，得， 则. 故选：C. 3. 已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式可得. 【详解】根据题意得， 所以向量在方向上的投影向量为， 故选：C. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加减坐标运算与两向量垂直的坐标条件可得. 【详解】因为， 所以． 因为，所以， 即，解得． 故选：D. 5. 已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出向量的坐标，分析可得，由向量平行的坐标表示可得答案． 【详解】根据题意，已知，，则， 若、、点共线，则，则有，解得：， 故选：D． 6. 已知在中，M是BC中点，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理和线性运算，以及平面向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：因为M是BC中点，所以，， 则， 则 因为，， 则，解得， 则，即 故选：C. 7. 已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出，再利用向量的夹角公式求出与的夹角. 【详解】已知，则 因为，所以，，，则可得： ， 又因为，所以，即.  ，将代入上式可得：   设与的夹角为，，根据向量的夹角公式. 因为，，所以.  因为，且，所以.  与的夹角为. 故选：D. 8. 已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，通过最小正周期求出参数和，得到函数的解析式，代入求值即可. 【详解】由题意，函数的最小正周期满足，即所以. 因为是函数图像的对称轴，所以， 解得，又因为，所以. 所以，则. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，商多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行四边形ABCD中， 若E，F分别是边AB，AD的中点， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据要求画出图像，结合图像与向量的线性运算即可判断. 【详解】∵在平行四边形中，， ∴分别为AB、AD的中点， ∴，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 根据三角形法则=，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的二倍角公式、和差公式、降幂公式以及半角公式，可得答案. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. 已知非零向量、和实数k，则“”是“”的必要而不充分条件 C. 若且，则三角形为等腰直角三角形 D. 若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由共线向量概念可判断A，取，可判断B，由，可得的平分线垂直于BC，由，平方可得，即可判断C，由夹角可能为或，即可判断D. 【详解】解：对于A、若，时，不存在实数使得，所以选项A错误； 对于B、因为非零向量、，若，则与方向相反，则， 若，取，则，而， 故“”是“”的必要而不充分条件，故B正确； 对于C、因为，对等式两边同时平方可得， 化简整理可得，所以，即 又因为，和分别是和方向上的单位向量， 设，， 则以，为邻边的平行四边形是菱形，是菱形的对角线， ，说明的平分线垂直于BC，所以， 综上，三角形为等腰直角三角形，选项 C正确； 对于D、平面向量，，两两夹角相等，则夹角可能为或， 当夹角为时，， 选项D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共8小题，每小题5分，共15分.请把答案直接须写在答题卡格应立图上. 12. 若向量，则与方向相反的单位向量为____________________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量的模长，再求出即可. 【详解】向量，则， 故与方向相反的单位向量是 故答案为： 13. 已知向量，，若， 则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，进而.再将所求式进行弦化切即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 又 故答案为：. 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 【答案】54m 【解析】 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故答案为：54m. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求与; （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式及模的坐标公式计算即可； （2）根据向量夹角的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 由，得， 而，则； 【小问2详解】 ， 即与的夹角的余弦值为. 16. 设是不共线的两个非零向量. （1）若与共线，求实数k的值. （2）已知向量满足求； 【答案】（1）； （2） . 【解析】 【分析】（1）由向量共线的性质即可求得参数； （2）利用已知可求得，由 ，可求模. 【小问1详解】 由  与  共线，则存在实数  ， 使得  ， 即  ，又  是不共线的两个非零向量， 因此  ，解得  ，或  ，实数 k 的值是 ； 【小问2详解】 因为  ， 所以  ， 所以  ， 所以  . 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若且，求边上高； （3）若点在上，满足为的平分线，且，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和的正弦公式得到，即可得解； （2）首先利用余弦定理求出、，再利用等面积法计算可得； （3）首先求出，即可求出，再根据正弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以，即， 所以，又，所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 又，所以， 所以， 又，所以. 【小问3详解】 由（1）得角， 又因为为的平分线，点在上，所以， 又因为，且，所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，解得． 18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 19. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】（1）,对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 . 令，则，， 函数的对称中心为，. 【小问2详解】 由可知，， 化简得， ，，， . 【小问3详解】 由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $