精品解析：山东省部分学校2025届高三3月模拟考试数学试卷

2025届高三3月模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集和补集得定义即可得解. 【详解】由集合， 得， 所以. 故选：C. 2. 设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点定义或举例判断和为函数的极值点之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有； 反之，当时，不一定为函数的极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故是为函数的极值点的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义计算即可求得在方向上的投影向量． 【详解】因为， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 故选：C． 4. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对是否为进行讨论，再结合二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式求解即可. 【详解】依题意，， 若，则，而， 与矛盾，得到，， 所以， 则，即，故A正确. 故选：A 5. 已知等比数列的前n项积为，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，结合等比数列下标和性质即可求出. 【详解】根据题意，等比数列的前n项积为， 则，所以. 故选：B． 6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形．若为圆锥侧面上的动点，点平面，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的结构特征，求出点到平面距离的最大值，再利用锥体体积公式计算即得. 【详解】依题意，点在圆锥的中截面圆上，它到平面距离的最大值即为该截面圆半径， 而的面积， 所以三棱锥体积的最大值为. 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，定义：，其中，.若，且，则下列结论错误的是（ ） A. 若关于x轴对称，则 B. 若关于直线对称，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定定义，结合对称点的特征，指数函数的单调性即可判断A，B，通过举反例判断C，利用子集的性质结合给定条件判断D即可. 【详解】对于A，因关于x轴对称，且，，则， 于是，， 同理，，即，故A正确； 对于B，因关于直线对称，且，，则， 则， 同理，. 取函数，显然该函数在上为增函数，由，且，可得，则有， 因，故有，即，故B正确； 对于C，因，， 由可得：，则有， 若取，满足上式，但此时，，， 则，由上分析，，故，故C错误； 对于D，设点，则，即， 而，因，故得， 即点，即得，故D正确. 故选：C. 8. 若为的任意排列，设，，则（ ） （已知表示中最小的数，表示中最大的数） A. 排列总数为个 B. 满足的排列有80个 C. 的概率小于 D. 的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】在深刻理解题意的基础上对每个选项逐一判断.其中选项A是全排列问题，选项B需要先选后排，选项C，D列一列再研究即可. 【详解】对于A，的任意排列方法总数为个，故A错误， 对于B，若，则先从中随机选出3个数， 共有种不同的方法，再将剩下3个数任意排列，共有种不同的方法， 则满足的排列有个，故B错误； 对于C，D，因为，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 所以共有10种不同的情况，则的概率为，故C不正确； 而的情况有种，故的概率为，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可判断B，利用导函数的性质与图象，结合零点存在性定理可判断ACD. 【详解】由题意，，， 因为对，有， 所以点为函数图象的对称中心，故B正确； 函数的导函数，， ①当时，恒成立，此时函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ②当时，，则方程有唯一解， 当时，，当时，，所以函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ③当时，由，得，即， 因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 此时，函数有两个极值点， 又时，，时，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点； 综上所述，当时，函数为减函数，故A错误， 当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确； 故选：BD. 10. 定义，.其中复数（，是虚数单位），，，则下列命题中，真命题有（ ） A. 对任意，都有 B. 若是复数的共轭复数，则恒成立 C. 若，则 D. 对任意，结论恒成立 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题中所给定义，结合复数的运算法则，逐一分析判断，即可得答案. 【详解】对于A，根据定义，当时，，故A错误； 对于B，由题意得，所以，故B正确； 对于C，若，则两个复数实部、虚部可以相等，也可以相反，无法得到，故C错误； 对于D，设，，，则， ， ， 又，， 所以， 即，故D正确. 故选：BD. 11. 对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界的 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列有界的定义，结合公式法求和及裂项相消法求和逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，即存在正数， 使得恒成立，因此数列是有界的，A错误； 对于B，由，得， 则， ， 即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，B正确； 对于C：由，则当时，；当时，；则， 即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，C正确； 对于D，， 则， 又，则，即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，D正确. 故选：A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的极值点与的零点完全相同，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的极值点、的零点相同列方程，由此求得即可. 【详解】由辅助角公式得， 由，得记为①， 对于， 由，得， 依题意，所以记为②， 由于函数的极值点与的零点完全相同， 对比①②可得. 故答案为： 13. 已知在棱长为3的正方体中，点是底面ABCD内的动点，点为棱BC上的动点，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正切函数定义结合几何位置关系，得到，结合解析几何中的圆的知识，得到三点共线时，取得最小值，得到结果. 【详解】如图（一），，. 又，. 如图（二），建立平面直角坐标系，则，，，设点. ，化简得：（，）. 则圆心为，，点关于BC的对称点. 故答案为：. 14. 某棋手与机器人比赛，规则如下：棋手的初始分为20.每局比赛，棋手胜加10分，平局不得分，棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立.在挑战过程中，棋手每胜局，获奖1万元.记局后比赛终止且棋手获奖2万元的概率为，则的最大值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】求得的表达式，然后分析单调性求得最大值 【详解】终止条件： 当棋手分数为0或30时，比赛终止. 获奖2万元意味着棋手在局中赢了2局. 得分计算： 初始分20分，赢2局加20分，输局扣分，平局不影响分数. 总分需为0或30： 总分0分： ，平局次数为； 总分30分： ，平局次数为. 下面进行分析，并为方便起见用X表示棋手负，用Y表示棋手胜，用表示若干局的平局. 第一类情况：总分0分后终止比赛.  赢2局，输4局，平局，但中间不能出现0分或30分， 只能是的顺序，中间可以有若干局平，组合数为（). 第二类情况：总分30分后终止比赛.  赢2局，输1局，平局，但中间不能出现0分或30分， 只能是的顺序，中间可以有若干局平，组合数为(). 第一类情况中的每一种情况的概率： 第二类情况中的每一种情况概率：. 时， 令, 化简得. 由于,所以上述不等式左边小于零，右边大于零，所以上述不等式恒成立. 所以对于恒成立， 所以时的最大概率： 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列各项均为正数，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 由（1）知，则， 因此， 则， 显然数列单调递减，于是， 则，故. 【解析】 【分析】（1）利用给定条件再结合求解通项公式即可. （2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再结合数列单调性证明即可. 【小问1详解】 因为，又， 所以，即， 由题意得，于是，而， 即是以1为首项，1为公差的等差数列， 从而，即，因此， 而满足上式，故. 【小问2详解】 略 16. 已知双曲线，该双曲线的右顶点为，点在的渐近线上，过B的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点. （1）若的面积为，求的方程； （2）证明：线段的中点为定点. 【答案】（1） （2）设，不妨设．则直线⑦， 联立①⑦得：， 则， 则；同理：． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得到，即，由中点坐标公式得的中点为定点． 【解析】 【分析】（1）设直线方程，联立方程组得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到根与系数的关系，由三角形面积建立方程得到的值，从而得到直线方程即可. （2）设坐标，然后得到直线方程，联立方程组得到一元二次方程，由韦达定理得到点坐标，同理求得点坐标.从而得到，由向量共线建立等式，从而得到点纵坐标的关系证明即可. 【小问1详解】 首先，我们把记为①， 显然直线的斜率存在，设的方程为记为②， ①②联立得：． 则有记为③，记为④， 如图，设， 则记为⑤，记为⑥， 把⑤⑥代入：， 所以， 得到，解得． 满足③④式，则直线的方程为． 【小问2详解】 略 17. 已知函数，. （1）判断的零点个数； （2）记的零点为，证明：. 【答案】（1）函数有唯一零点 （2） 由题意知，且， 两边取自然对数，得， 先证明：时，记为（***）， 设，则， 所以当时，，单调递减： 当时，，单调递增， 则，当且仅当时，等号成立． 由（***）式知，， 则，得到， 即， 故． 在（***）式中，令，得， 当且仅当，即时等号成立， 而， 则，即， 得到，，当且仅当时等号成立． 当时，在（***）式中，令，得， 所以时， ． 当时，成立． 故得证． 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，再对的取值进行讨论，结合零点存在性定理判断零点即可. （2）根据不等式时，，得到不等式，得到不等式，再根据裂项相消法求和证明即可. 【小问1详解】 首先，我们得到定义域为， 当时，，所以在上无零点， 当时，因为，所以在上单调递增， 则在上至多一个零点，当时，有唯一零点1， 当时，因为，， 则，由零点存在性定理得函数有唯一零点， 综上可得函数有唯一零点. 【小问2详解】 略 18. 为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分. （1）已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望； （2）现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为. ①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列； ②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望. 【答案】（1）的分布列： 0 4 8 12 的期望为，的期望为4 （2）①分布列： 0 4 8 12 14 18 22 24 28 32 ② 【解析】 【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出的期望. （2）①求出选手乙得分的可能值，进而求出各个值对应的概率并列出分布列；②求出总得分为的可能值，进而求出各个值对应的概率并列出分布列，再求出总得分的期望. 【小问1详解】 同学参赛得分所有取值为0，4，8，12， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 . 【小问2详解】 ①设乙选手在三次测试中得分为，则所有取值为0，4，8，12， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 ②设该队在“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中总得分为， 则所有取值为0，4，8，12，14，18，22，24，28，32， 在甲选手已通过测试的条件下概率如下： ，， ，， ，， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 14 18 22 24 28 32 由于甲选手通过测试的概率为，所以总得分的期望为. 【点睛】关键点点睛：第3问求总得分的期望，先求出在甲选手通过测试的条件下，乙丙得分的期望是求解的关键. 19. 在空间直角坐标系中，点分别在轴上.已知.设二面角的大小分别为. （1）求三角形面积的最大值； （2）证明：. （3）如图是一个“斜截圆柱”（用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”），是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为.椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧.证明：. 【答案】（1） （2）证明：在（1）中已经得出平面的一个法向量为. 平面的一个法向量为, . 同理平面的一个法向量为,平面的一个法向量为, ,, 有基本不等式得 同理，， 相加得到， 所以； （3）证明：如图，在前侧面内作出底面的弧的相应的平行弧， 所作各段弧下方圆柱的侧面的各个小部分的面积和为， 显然小于斜圆柱前面一半的侧面积， 过C作的垂线，垂足为E,因为椭圆所在平面垂直于平面,底面圆O所在平面也垂直于平面, 所以椭圆面与底面的交线垂直于平面， 所以直线与底面直径所成的角即为椭圆面与底面所成的二面角的平面角，根据已知等于，于是角， 所以三角形为等腰直角三角形，所以，， 又因为,所以， 如图对接一个完全相同的斜圆柱，得到一个圆柱，这个圆柱的底面直径为2，高为. 整个圆柱的侧面积为， 前面一半圆柱的在椭圆截面下方部分的侧面积为, 所以. 【解析】 【分析】（1）设, , ,利用空间向量方法求得平面与所成角的余弦，利用面积射影定理求得三角形的面积， 先固定不变，记,面积中的变化部分可以表示成的函数，利用二次函数的性质求得变化时的最大值，进而利用导数分析求得当再变化时三角形的面积的最大值； （2）利用空间向量计算二面角的余弦值，利用不等式放缩可证； （3）利用面积方法可以证明. 【小问1详解】 设,,, 其中，，如图所示. . 设平面的法向量, 则, 令，则， 所以平面的一个法向量为. 平面的一个法向量为, . 三角形面积公式： , 设. . 记,则因为,所以, 所以. 当时，或，此时. 所以 设，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以当时三角形面积的最大值：. 根据对称可知，当或时也同样取得最大值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三3月模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 已知等比数列的前n项积为，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形．若为圆锥侧面上的动点，点平面，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，定义：，其中，.若，且，则下列结论错误的是（ ） A. 若关于x轴对称，则 B. 若关于直线对称，则 C. 若，则 D. 若，，则 8. 若为的任意排列，设，，则（ ） （已知表示中最小的数，表示中最大的数） A. 排列总数为个 B. 满足的排列有80个 C. 的概率小于 D. 的概率为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 10. 定义，.其中复数（，是虚数单位），，，则下列命题中，真命题有（ ） A. 对任意，都有 B. 若是复数的共轭复数，则恒成立 C. 若，则 D. 对任意，结论恒成立 11. 对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的极值点与的零点完全相同，则______. 13. 已知在棱长为3的正方体中，点是底面ABCD内的动点，点为棱BC上的动点，且，则的最小值为______. 14. 某棋手与机器人比赛，规则如下：棋手的初始分为20.每局比赛，棋手胜加10分，平局不得分，棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立.在挑战过程中，棋手每胜局，获奖1万元.记局后比赛终止且棋手获奖2万元的概率为，则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列各项均为正数，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 16. 已知双曲线，该双曲线的右顶点为，点在的渐近线上，过B的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点. （1）若的面积为，求的方程； （2）证明：线段的中点为定点. 17. 已知函数，. （1）判断的零点个数； （2）记的零点为，证明：. 18. 为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分. （1）已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望； （2）现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为. ①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列； ②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望. 19. 在空间直角坐标系中，点分别在轴上.已知.设二面角的大小分别为. （1）求三角形面积的最大值； （2）证明：. （3）如图是一个“斜截圆柱”（用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”），是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为.椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $