精品解析：天津市宁河区芦台第一中学桥北学校2024-2025学年高一下学期第一次阶段性测试数学试题

2024-2025学年度第二学期第一次阶段性测试题 高一数学 一、单选题（本题共9小题，每题4分，共36分） 1. 化简：（ ）． A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 4. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 若是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 8. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知复数，其中i为虚数单位，则______. 11. 在中，若，则的外接圆半径为__________. 12. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 13. 若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 14. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为 ___________． 15. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为____________． 三、解答题（本题共4小题，共54分） 16. 已知复数为实数. （1）若是纯虚数，求的值; （2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围; 17. 已知向量满足． （1）求向量与的夹角； （2）若向量在方向上的投影向量为，求的值． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，. （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求的值. 19. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. （1）当米时，求的长； （2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第一次阶段性测试题 高一数学 一、单选题（本题共9小题，每题4分，共36分） 1. 化简：（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法则化简即可得答案. 【详解】因为. 故选：C 2. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 3. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 4. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量坐标运算和向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由，，，得，， 又，所以，解得. 故选：A. 5. 若是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得. 【详解】如图作，设，， 由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形， 因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立； 又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等， 故也不一定成立，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可得解. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 7. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 8. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用三点共线，可求出的值. 【详解】 如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 9. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解. 【详解】   以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设，则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为， 所以， 故选：A. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知复数，其中i为虚数单位，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】应用复数除法化简，进而求复数的模. 【详解】，则. 故答案为： 11. 在中，若，则的外接圆半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得，再由余弦定理计算可得，根据正弦定理可得外接圆半径. 【详解】易知，即， 解得， 由余弦定理可知， 可得， 设外接圆半径为，所以， 可得. 故答案为： 12. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 【答案】 【解析】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 13. 若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为钝角的条件，借助数量积公式来确定实数的取值范围. 【详解】因为向量，，与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 15. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性运算可将化为，由向量数量积的运算律和定义可构造方程求得，由此可得； 作，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数最小值的求法可求得结果. 【详解】，，，， ， ，又，； 作，垂足为， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，，， 设，，， 解得：，， ，，， ， 则当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，共54分） 16. 已知复数为实数. （1）若是纯虚数，求的值; （2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围; 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的概念得且即可得； （2）利用复数在复平面上对应的点的概念即可. 【小问1详解】 由化简得，， 因为是纯虚数，所以，解得，所以的值是； 【小问2详解】 若复数在复平面上对应的点在第二象限，则， 解得，所以的取值范围为. 17. 已知向量满足． （1）求向量与的夹角； （2）若向量在方向上的投影向量为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，利用平面向量的夹角公式即可求解； （2）利用投影向量和数量积的运算即可求解． 【小问1详解】 ， ，即， ，， 又，与的夹角为； 【小问2详解】 ， ． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，. （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求的值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，故，求出； （2）（ⅰ）在（1）的基础上，由余弦定理得，故，由三角形面积公式得到答案； （ⅱ）由正弦定理得到，由余弦定理得到，由余弦差角公式得到答案. 【小问1详解】 由已知及正弦定理，可得①， 又，代入①式得， ， 整理得， 因为，所以，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，所以， 整理得，解得或（舍），所以的值为3， 所以的面积为. （ⅱ）由正弦定理，得，有， 由余弦定理得， 又，， 故 . 19. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. （1）当米时，求的长； （2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 【答案】（1）80m （2） 【解析】 【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； 【小问2详解】 由，故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $