第9章 平面直角坐标系单元总复习（5大压轴题型+提高训练）-2024-2025学年七年级下册数学【人教2024版】-原卷+解析版

第9章 平面直角坐标系单元总复习（5大压轴题型） 【点坐标规律1大题型+点坐标综合4大题型】 1．（24-25七年级·河南信阳·阶段练习）如图所示，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；…依次类推，经过第2025次翻滚，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示： 观察图形可得经过4次翻滚后点对应点一循环， ， 点，长方形的周长为：， 经过506次翻滚后点对应点的坐标为，即． 故选C． 2．（23-24七年级·云南曲靖·期中）如图，在平面直角坐标系中， ，，一只瓢虫从点出发以个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第秒瓢虫在（　　）处． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，， 四边形是矩形， ，， ， 瓢虫转一周，需要的时间是（秒）， ， 按顺序循环爬行，第秒相当于刚刚回到点， 即； 故答案为：D． 3．（24-25七年级·河北邢台·阶段练习）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以4所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移），每次平移1个单位长度．“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：．若“和点”按上述规则连续平移10次后，到达点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 根据“和点”的移动规律可知，若“和点”横、纵坐标之和除以4所得的余数为1时，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”R按上述规则连续平移10次后，到达点，则按照“和点”反向运动10次求点R坐标，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以4所得的余数为2，应该是向左平移1个单位得到，那么点先向右平移，再向下平移，当平移到第9次时，共计向右平移了5次，向下平移了4次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以4所得的余数为0，则应该向上平移1个单位得到，故矛盾，不成立； 综上，点的坐标为或， 故选：A． 4．（2025七年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第2025次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，，，，，，，， … （n为正整数）， 所以，解得：， 所以． 故选C． 5．（24-25七年级·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ，， ， 由图中点的坐标规律可得， ，， ， ，即， ，即． 故选：B． 6．（24-25七年级·安徽安庆·期中）如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向右、向下移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向右、向下移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， ， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， 在第2024分钟时，这个粒子所在位置的坐标是， 故选：A． 7．（24-25七年级·湖北随州·期末）如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（  ） A．（2022，8） B．（63，5） C．（64，5） D．（64，4） 【答案】C 【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个 ∴前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0）， ∵=2016，且列数是偶数时，点的顺序是由下而上，列数是奇数时，点的顺序是由上而下， ∴第2016个点的坐标为（63，0）， 第2017个点的坐标为（64，0）， 第2018个点的坐标为（64，1）， 第2019个点的坐标为（64，2）， 第2020个点的坐标为（64，3）， 第2021个点的坐标为（64，4）， 第2022个点的坐标为（64，5）， 故选：C． 8．（24-25七年级·江苏盐城·阶段练习）数学家高斯被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则 ． 【答案】44 【详解】解：第1圈有1个点，即，这时； 第2圈有8个点，即到，这时； 第3圈有16个点，即到，这时； ， 依次类推，第圈，； 由规律可知：是在第23圈上，且，即， 故答案为：44． 9．（24-25七年级·山西大同·阶段练习）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，三角形、三角形、三角形都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形，若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵各三角形都是等腰直角三角形， ∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半， ，．．．， ∵， ∴点在第四象限，横坐标是1，纵坐标的绝对值是， ∴的坐标为． 故答案为：． 10．（24-25七年级·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，顶点依次用、、、表示，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意并观察图形，可知， ， ， ……， ∴（n为正整数，）， ∵， ∴顶点的坐标为． 故答案为：． 11．（24-25七年级·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，从点，依次扩展下去，则的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第二象限， 又∵第二象限的点，点，点，……， ∴点． 故答案为：． 12．（24-25七年级·黑龙江大庆·开学考试）如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， 按这样的运动规律， 发现每个点的横坐标与次数相等， 纵坐标是1，0，2，0，四个数一个循环， 所以， 所以经过第2025次运动后， 动点的坐标是． 故答案为：． 13．（24-25七年级·黑龙江·期末）如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2025次碰到长方形边上的点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：由反射线前后对称规律可知第1-6次碰到长方形的边的点的坐标依次为：， 由此可以得出运动周期为6次一个循环． ∵， ∴第2025次碰到长方形的边的点的坐标为． 故答案为：． 14．（24-25七年级·湖南衡阳·阶段练习）如图，在一单位为1的方格纸上，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，， 则依图中所示规律，的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：观察点的坐标变化发现： 当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律： 当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数， 当脚码是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半， 因为被4整除余2， 所以横坐标为1，，纵坐标为， 故答案为：． 1．（24-25七年级·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点从点出发以每秒2个单位沿轴负方向运动． (1)________，________； (2)如图1，连接、交于点，则当点运动多少秒时，； (3)如图2，点是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，在直线上取两点、（点在点右侧），满足，．当点运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)(2)(3)25 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知：，， 连接，过B作于E，过A作轴于F，则， ， ， 设C运动的时间为t秒时，，则， ， ， ， ， 当点运动秒时，； （3）解：平移至，则，， ， 当四边形的面积有最大时，的面积也最大， 当时，的面积最大，的面积的最大值为：， 四边形的面积的最大值为25． 2．（24-25七年级·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点P从点A出发，沿路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿路线运动到点D停止．若P，Q两点同时出发，且点P的运动速度为，点Q的运动速度为． (1)当P，Q两点出发时，试求三角形的面积； (2)设两点运动的时间为，用含t的式子表示运动过程中三角形的面积S（单位：）． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意可得，，； 当时，点运动的路程为，， 点运动的路程为， ， 点运动到点就停止，点与点重合， ，， ，， ； （2）解：①如图1，当时，点在上，点在上， 易知， 则； ②如图2，当时，点在上，点在上， 过点作轴交的延长线于点， 易知，，，， 则， ； ③如图3，当时，点在上，点停在了点处， 过点作轴交的延长线于点，连接． 则，， ． 综上所述，． 3．（23-24七年级·全国·单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点C的坐标． (2)如图2，设D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段上运动时，作交于M点，，的平分线交于N点，则点D在运动过程中，∠N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在， 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴． ∴． ∵， ∴， 解得． ∵C在第四象限， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． （3）如图，，大小不会发生变化，理由如下： 如图，过点D作，过点N作，则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理：， ∴． 4．（24-25七年级·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点，分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)直接写出点、的坐标：　　　，　　　； (2)如图1，若点在线段上，且，点以每秒1个单位长度的速度从点沿轴正半轴向上运动，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，射线以的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点，过作交于，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由． 【答案】(1)，(2)存在，或(3)不变， 【详解】（1）解：，， ，，， 将点，分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点，的对应点，， ，，， 故答案为：，； （2）存在，理由如下： ，， ， 设，分两种情况： ①如图1，点在线段上时，， 则，， ， ， 解得：， ； ②如图，点在线段的延长线上时，， 则，， ， ， 解得：， ； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或； （3）在转动过程中，的值不会改变，理由如下： 如图2，过点作， ，， ， ，， ， ， ， 设运动时间为 ， 射线以速度绕点顺时针旋转至停止， ， ， 射线、同时开始旋转，同时停止运动， ，，， ， ， ，， ， ， ，为定值． 5．（23-24七年级·吉林白城·阶段练习）如图．在平面直角坐标系中，点、、．且满足：．点从点出发，沿轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动．点从点出发．沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． (1)直接写出点的坐标 ；点的坐标 ；点的坐标 ． (2)当、分别在线段、上运动时，连接、，当时，求出点的坐标； (3)在、运动的过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)，，(2) (3)或 【详解】（1）解：∵， 又∵，，， ∴，，， 解得，，， ∴的坐标，的坐标，的坐标． 故答案为：，，； （2）过点作，垂足为，如下图， ∵的坐标，的坐标，的坐标， ∴，，， 设运动时间为秒，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）或，理由如下： 过点作轴，交直线与点， ∵的坐标，的坐标， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如下图，当在的下方时， 可有， ∴， 当时，，即； 如下图，当在的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 综上所述，和的数量关系是或． 6．（23-24七年级·辽宁抚顺·期末）在平面直角坐标系中，，，满足，过点C作轴于点B． (1)如图1，连接，求三角形的面积． (2)如图2，连接，若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，求？ (3)如图3，过C作垂直于点D，连接，点P从D点出发，沿“”移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间t秒，当P运动到什么位置时，直线将四边形面积分为两部分？求出的坐标？ 【答案】(1)4(2)(3)或 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴三角形的面积； （2）解：过E作，如图2， ∵， ∴， 如图所示， ∵，分别平分，， ∴，， ∵轴， ∴， ∵轴，， ∴，， 即， ∴． （3）解：当P在时，如图①，则， 由题意得 ， 解得， 即． 当P在上时，，如图②， 由题意得 ， 解得， ∴， 即， 综上，或． 7．（23-24七年级·广东广州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，点在第一象限，轴，且． (1)点C的坐标为：______； (2)一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度向左运动． ①如图2，过点作交轴于点与的角平分线相交且交点为与交于点，求的度数； ②点沿射线运动时，射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，记点的横坐标为，当的面积大于6时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【详解】（1）解：，轴， ， 故答案为：； （2）解：①如图，过点F作轴，则； 轴， ，， ； ， ， ； 分别是与的角平分线， ， ， ； ②设t秒时，点D的横坐标为m，则； 由于射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移， 则此时点D的坐标为； ，点D到x轴的距离为， 当的面积为6时，即， 解得：或， 即或； 当的面积大于6时，m的范围为：或． 8．（24-25七年级·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在y轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，连接，P是x轴上一动点. (1)点C的坐标是______，点D的坐标是______；与的数量与位置关系是______． (2)当的面积是的面积的3倍时，求点P的坐标； (3)若，判断α，β，θ之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明. 【答案】(1)；； (2)P点坐标为或 (3)点P在线段上时，；点P在线段延长线上时，；点P在线段反向延长线上时， 【详解】（1）解：，， ， ， ∵点C在y轴正半轴上，， ， 故点C的坐标为； ∵线段平移至线段， ， ； 由平移可得； 故答案为：；；； （2）解：设， 若与以x轴上的边为底，则这两个三角形等高， 则面积的比等于底边的比，即， ， 即或， 解得：或， 即P点坐标为或； （3）解：当点P在线段上时，； 如图，过点P作， 则； ， ， ； ， ； 当点P在线段延长线上，； 如图，过点P作， 则； ， ， ； ， ； 当点P在线段反向延长线上，； 如图，过点P作， 则； ， ， ； ， ； 9．（23-24七年级·广东惠州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C． (1)填空，点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．线段平移到扫过的面积为_______． (2)若点P是y轴上的动点，连接． ①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段与线段相交于点E，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1)，，20 (2)①②坐标为或 【详解】（1）解： 点，将向下平移5个单位得线段， ，即：， 由平移得，，四边形是长方形， ，， ， ，即：线段平移到扫过的面积为20， 故答案为：，，20； （2）①如图1， 过点作于， 由平移知，轴， ， ， 由平移知，， ，， ， 即：； ②（ⅰ）如图2，当交线段于，且将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交轴于点，则， ， 连接，则， 将四边形的面积分成两部分， ， 由①知， ， ， ， ， ． （ⅱ）如图3，当交于点，将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交轴于点，则， ，连接，则， 将四边形的面积分成两部分， ， ， 过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， 即：点坐标为或． 10．（23-24七年级·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足，． (1)如图，将线段平移至，点的对应点为，连接、． ①点的坐标为________； ②求面积是多少？ (2)如图，点，轴于，点以每秒个单位长度的速度从出发向运动，同时另一动点以每秒个单位长度的速度从出发，在射线上运动，当点运动到时两点都停止运动，当时，求运动时间的值（单位：秒）． 【答案】(1)；；(2)或． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将线段平移至，点的对应点为， ∴线段先向左移动个单位长度，再向上移动个单位长度， ∴点的坐标为，即， 故答案为：； 解：如图，作长方形， 则 ， ； （2）解：过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴， ∵轴， ∴，， ∴， 当点在线段上时，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点在的延长线上时，， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的值或． 1．（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发，沿轴的正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．                                    　备用图 (1)点的坐标为______；点的坐标为______；和的位置关系是______． (2)当点分别在线段上时，连接，若，求点的坐标． (3)在点的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)，，，(2)(3)或． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点，，， 的纵坐标相同，点在轴上， ， （2）过点作于，      设时间经过秒，， 则，，，， ，， ∵， ， 解得，， ， ， 点在上， 点的坐标为； （3）解：或， 理由如下： 当点在点与中间，过点作，   ，， ， ， ， ， ， 即； ②当点在点的上方时，过点作，   ， ， ， ， ∵， ， 即， 综上所述，或． 2．（23-24七年级·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，且． (1)直接写出、两点的坐标； (2)如图，将平移至△ADE，点对应点为，点对应点为，点B对应点为D，若E点坐标为．求△ABC的面积； (3)如图，在（2）中，若，分别与轴交于点，，点是轴上的一个动点． ①当点在线段不含端点上运动时，证明：； ②当点在轴上线段之外运动时，请直接写出，，，之间的等量关系． 【答案】(1)； (2)△ABC的面积是； (3)证明见解析；当点在点以上的轴上时，；当点在线段上时，；当点在线段上时，；当点在点以下的轴上时，． 【详解】（1）解： （2）解：如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ∵， ∴， ∵将平移至， 点对应点为， ∴， ∵E点坐标为， ∴， ∵过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ∴， ， ∴四边形是梯形， ∴，   ． （3）证明：由平移的性质可得：， ∵， ∴， 当点在点以上的轴上时，如图， 由平移的性质可得：， ∵， ∴， 即， 当点在线段上时，如图， 由平移的性质可得： ， 即， 当点在线段上时，如图， 由平移的性质可得： ， ， 即， 当点在点以下的轴上时，如图， 由平移的性质可得： ， ， 即， 综上所述：当点在点以上的轴上时，；当点在线段上时，；当点在线段上时，；当点在点以下的轴上时，． 3．（24-25七年级·江西宜春·期中）如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段向左平移3个单位长度，得到线段，连接．                       图1                                                                            图2 (1)直接写出点C、点D的坐标． (2)如图2，延长交y轴于点E，点F是线段上的一个动点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)在坐标轴上是否存在点P使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)存在，点Q的坐标为：或或或 【详解】（1）∵线段的两个端点坐标分别为，将线段向右平移3个单位长度，得到线段， ∴； （2）理由如下： 过点F作，如图所示： 由平移的性质得：， ∴， ∴ ∵ ∴， 即：； （3）存在；理由如下： 由平移的性质得：． ∵ ∴，边上的高为2， ∴． ①当点P在x轴上时，如图所示： 则， ∴， ∴点P的坐标为：或； ②当点P在y轴上时， 设点P的坐标为， 若点P在y轴负半轴，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； 点P在y轴正半轴时，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； 综上所述，点P的坐标为：或或或． 4．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，且满足，是轴上一点，是线段上一点． (1)求出点A，B，C的坐标；并直接写出与的位置关系； (2)当点在线段上时，连接，，，探究，和的数量关系，并说明理由； (3)若三角形的面积等于四边形的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)A，B，C， (2)(3)或 【详解】（1）解：（1）． ，， ，； 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． 平行于坐标轴， ； （2）．理由如下： 如图，过点作，交于点， ，． ，． ， ． （3）点的坐标为或． 理由如下： ， ； ， 得． 即得到点坐标为或． 5．（23-24七年级·广东东莞·期末）如图1，在平面直角坐标系中， 点， ， ， 且满足 P点在线段上运动（不与O、A重合）． (1)直接写出点A的坐标 ，B的坐标 ，C的坐标 ； (2)如图2，Q点在线段上运动， 与 的平分线交于点M，当时，点P在运动过程中， 的大小是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由： (3)若点Q在y轴上运动（不与O、C重合），当 与 的角平分线交于点M时，根据点Q的运动位置，直接写出 和 三者的数量关系． 【答案】(1)；； (2)的大小没有变化，其值为 (3)当点Q在线段上时， ；当点Q在延长线上时，；当点Q在延长线上时， 【详解】（1）解：∵ ∴，， 解得：，， ∴，，． （2）解：过点M作，如图2， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵与 的平分线交于点M， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴的大小没有变化，其值为． （3）解：当点P在线段上时，过点M作， ∵与 的平分线交于点M， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 即； 当点P在延长线上时，过点M作，如图， 同理 即， 当点P在延长线上时，过点M作，如图， 同理， 即． 综上，当点P在线段上时， ；当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，． 6．（23-24七年级·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角） (1)直接写出点的坐标． (2)射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系． (3)连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或； (3)当时，为定值． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴点的坐标为； （2）解：∵轴，轴， ∴， ∴四边形为长方形， ∴， 当点分别在线段上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 当点在的延长线上，点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在线段上，点在的延长上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∴， 即； 综上，与之间的数䞢关系为：当点分别在线段上时，；当点在的延长线上，点在线段上时，；点在线段上，点在的延长上时，； （3）解：能为定值，理由如下： ∵平分，是的三等分线， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，     同理可得， ∴ ， ， ， ∴当，即时，为定值． 7．（23-24七年级·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，有点，且a，b满足将线段向上平移k个单位得到线段． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点为线段上任意一点，点为线段上任意一点，．点为线段与线段之间一点，连接，，且，．试写出与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图2，若，过点作直线轴，点为直线上一点，若的面积为8，求点的坐标； 【答案】(1)，(2)，证明见解析(3)点或点 【详解】（1）， ，， 点，点； （2）， 理由如下： 如图1，延长，交于点，延长，交于点， 设，，则， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）当点在点右侧，且在直线左侧时，如图2，连接， ， ， 的面积为8， ， ， 点， 当点在点右侧，且在直线右侧时， 同理可得：， ， 点； 当点在点左侧时，如图3，连接， ， ， 的面积为8， ， （不合题意舍去） 综上所述：点或点； 8．（23-24七年级·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【详解】（1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段， ， 故答案为：； （2）解：当点在点右边时，如图， ，， ， ， 即； 当点在点左边时，如图， ，， ， ， 即； （3）解：当点在轴正半轴时， ， ， ， ①点在点右边，如图， 可得， 设， 可得方程， 解得， ； ②点在点左边，如图，连接， 可得， 设，则， 可得方程， 解得， ； 当点在轴负半轴时， ③点在点左边，如图， 可得， 设， 可列方程， 解得， ； ④点在点右边，如图，连接， 可得， 设， 可列方程， 解得， ， 综上，点的坐标为，，． 9．（23-24七年级·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标系原点，点在第一象限，过点 向 轴作垂线，垂足为点 ，连接 ，．点 从点 出发，沿 轴的正半轴以每秒 个单位长度的速度运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动，点 与点 同时出发，设点 的运动时间为 秒，连接 ，，．    (1)直接写出 的值，_____； (2)当 时， ①请探究 ，， 之间的数量关系，并说明理由； ②试判断四边形 的面积是否变化？若不变化，请求出四边形 的面积；若变化，请说明理由； (3)当 时，请求出 的值及 的面积． 【答案】(1)2 (2)①，理由见解析；②不变，12 (3)当或6时，，此时的面积为或84． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）； （2）解：①，理由如下： 如图1，过点N作轴，    ∵轴， ∴轴， ∴， ∴． ②如图2，由（1）得，，    ∴， ∴； 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不变，． （3）解：当时，如下图，此时点N在上，，，     ， ， ， ， ， ； 当时，如下图，此时点N在的延长线上，，，     ， ， ， ， ，， ， ， 综上可知，当或6时，，此时的面积为或84． 10．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接的延长线交y轴于点K． (1)点A的坐标________，点B的坐标________． (2)点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． (3)连接，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)当点在上时，，当点在上时，，理由见解析 (3)或或或 【详解】（1）∵ ， ∴ ， 解得：， ∴ 点A，B的坐标分别为． （2）当点在上时：．理由如下： 如图2，过P作， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 当点在上时： 作，则， ∴ ∴； （3）由题意得：点C的坐标为，点D的坐标为， 则，当点M在x轴上时，设点M的坐标为， 则，由题意得：， 解得：， 此时点M的坐标为或； 当点M在y轴上时，设点M的坐标为， 则，由题意得：，解得：， 此时点M的坐标为或； 综上所述，在坐标轴上存在点M，使的面积与的面积相等，点M的坐标为或或或． 1．（2024七年级·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，，，，记，，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是　　； ②点在轴上，若，则点的坐标是 ． (2)点，在轴上，点在点的上方，，点的坐标为． ①当点的坐标为时，求的值； ②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)①5；②或 (2)①；②的最小值是3，此时点P的坐标是或 【详解】（1）解：①，， ，， 则， 故答案是5． ②，点在轴上，设， ，， ， ， 或，解得，或， 的坐标是或． 故答案是或． （2）解：①点、在轴上，点在点的上方，，点的坐标为， 点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则； 点的坐标为， ，， ； 由，可得； ， 的最大值是4， ． ②，或， 设点，则， ，， 当时，有最小值， 即时，有最小值， 或，则有最小值为3， 点的坐标为或， 的最小值是3，此时点的坐标是或． 2．（23-24七年级·广东广州·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”例如：的“2属派生点”为，即． (1)求点的“3属派生点”的坐标； (2)若点P的“5属派生点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求k的值． 【答案】(1)，详见解析(2)，详见解析(3)，详见解析 【详解】（1）由题意知：点的“3属派生点”的坐标为：， ∴的坐标为； （2）设，依题意，得方程组： ， 解得：， ∴点； （3）∵点在x轴的正半轴上， ∴，， ∴点P的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长为点到x轴距离为， ∵P在x轴正半轴，线段的长为a， 根据题意，有， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24七年级·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，对于图形M与图形N给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点P与图形N上的所有点的距离的最小值为k，将点P延x轴正方向平移个单位长度得到点，称点是点P关于图形N的“关联点”，图形M上所有点的“关联点”组成的新图形记为，称是图形M关于图形N的“相关图形”． (1)已知，，，其中． ①若，点关于线段的“关联点”的坐标是______； ②若，请用尺规在图中画出点关于线段的“关联点”（保留作图痕迹）；    (2)如图，线段关于图形N的“相关图形”如图所示（为曲线且除外，其余点的横坐标大于6），如果图形N上的点都在同一条直线上，请在图中画出图形N．    【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：①若时，经过一，三，四象限， 与所有点的距离的最小值为2， 延x轴正方向平移个单位长度得到点， ， 故答案为：； ②若时，经过一，二，四象限，点关于线段的“关联点”如下图：    （2）如图，，即为所求；    4．（23-24七年级·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，对点P进行如下操作：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点横坐标不变，纵坐标变为其相反数得到点，称点为点P的“倍对应点”．若图形W上存在一点Q，且点Q的“倍对应点”恰好也在图形W上，则称图形W为“倍对应图形”．已知点，． (1)点A的“倍对应点”的坐标为_________，若点C的“倍对应点”为B，则点C的坐标为_________； (2)若点（其中b为非零整数）与线段组成的图形记为图形W，图形W是“倍对应图形”，直接写出点D的坐标． (3)已知点，，，，顺次连接EFGH得到一个长方形，若长方形的边上存在点的“倍对应点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，(2)，或(3) 【详解】（1）解：由题意知，将点先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点， ∴点的“倍对应点”的坐标为， ∵若点C的“倍对应点”为， ∴点C平移后的点， 设点C坐标为， ∴，， ∴，， ∴C坐标为． 故答案为：；． （2）解：∵点，点， ∴轴， ∴直线的解析式为，， 若点“倍对应点”在线段上， ∴，， ∴，， ∵b为非零整数 ∴， ∴； 若线段上一点 的“倍距点”为点， ∴，， ∴，， ∵b为非零整数 ∴或3， ∴或． 综上，点D的坐标为，或． （3）解：点，，，， 又∵长方形EFGH的边上存在点的“倍对应点” ∴， ∴当在线段上时， 则，解得：无解； 当在线段上时， ，解得：， 当在线段上时， ，解得：， 当在线段上时， ，解得：， 综上，若长方形EFGH的边上存在点的“倍对应点”， 的取值范围为． 5．（23-24七年级·湖北武汉·期末）【提出问题】在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特别地，当时，点P与点Q也互为“进取点”． 【数学思考】已知点，点． (1)如图1，在平面直角坐标系中画点：，并直接写出其中与点A互为“进取点”的是 ； (2)如果一个点的横，纵坐标都是整数，则称这个点为整点，在满足的所有整点中（如图2） ①已知点为第一象限中的整点，且与点A，B均互为“进取点”，求所有符合题意的点Р坐标； ②在第一象限的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点互为“进取点”，直接写出n的最大值为 ； 【答案】(1)C、D、F (2)①，，，，，，，，，② 7 【详解】（1）解：画图如下： ∵，， ∴，， ∴点A与点C互为“进取点”； ∵，， ∴， ∴点A与点D互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点E不互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点F互为“进取点”； 故答案为：C、D、F； （2）解：①∵为第一象限中的整点，点，点， ∴当，时， ，， ∴，，，均与点、点互为“进取点”， 当，时， ，， ∴，，，，，，，均与点、点互为“进取点”， ∴，，，，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②∵，， ∴，，，， ∵当时，有，则点和点互为“进取点”， ∴，，，， 当，时，取值0，1，2，3，取值1，2，3，4，、取值0，1，2，3，4， ∵任意两个整点都互为“进取点”， ∴把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，（方法不唯一） ∴第一象限内共7个点， ∴n的最大值为， 故答案为：7． 6．（23-24七年级·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形，如果线段与图形有公共点，则称点为关于图形的“亲近点”． 如图，已知点，，连接． (1)在，，，这四个点中，关于线段的“亲近点”是点______； (2)线段，线段上所有的点都是关于线段的“亲近点”，若点的横坐标是3，那么线段最长值为______； (3)已知直线经过点，与直线交于点，若当时，直线上的点都是线段的“亲近点”，写出的取值范围______． 【答案】(1)，，(2)6(3) 【详解】（1）解：如图， 可知关于线段的“亲近点”是点，，， 故答案为：，，； （2）解：如图，连接，，分别与直线交于点，，此时线段取最大值， ，，， 结合图形可知，， 故答案为：6； （3）解：当时，直线上的点都是线段的“亲近点”， 当时，直线应在直线和直线的中间， 如图， 当直线与交于点时，m取最小值，直线与交于点时，m取最大值， 的取值范围为． 7．（23-24七年级·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，，，，如果，那么称点Q是点P的m阶“生长点”．例如：点，，，．点Q是点P的2阶“生长点”．如图，已知点，，． (1)点B是点A的______阶“生长点”； (2)已知点是点A的2阶“生长点”，点是点B的3阶“生长点”． ①若三角形的面积为4，求点C的坐标； ②若，求b的值； (3)若点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，当时总有，则m的取值范围为______． 【答案】(1)(2)①或；②7或5(3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵点是点A的2阶“生长点”，点是点B的3阶“生长点” ∴，， ∴，， ∴， ∵三角形的面积为4， ∴， 解得， ∴C的坐标为或； ②∵， ∴， 解得或5； （3）解：∵点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”， ∴，， ∴，， 当时，， 令，则， ∵当时总有， ∴． 故答案为：． 8．（23-24七年级·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点作直线平行于轴． (1)如果线段与轴有公共点，求的取值范围； (2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出的值； (3)若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点_____（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将△ABC平移到，平移后点、点、点分别对应点、点、点，点F刚好落在直线上，点E落在轴上且纵坐标为，如果的面积为4，过点A作直线平行于轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)①是；②不是，理由见解析． 【详解】（1）解：如果线段与轴有公共点，则点B在轴下方， ∴， 点C在轴上方， ∴，即， ∴； （2）解：∵线段通过平移能够与线段重合， ∴，即， 解得； （3）解：①∵点到直线的距离为 ∴点是直线的“密接点” 故答案为：是； ②点不是的“密接点”，理由如下： ∵点刚好落在直线上， ∴△ABC向右平移的距离为1， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 由题意可得：，解得， 点的纵坐标为： ∵的面积为， ∴ 解得或 当，时，，，此时点到的距离为，则点不是的“密接点”； 当，时，，，此时点到的距离为，则点不是的“密接点”； 综上，点不是的“密接点”． 9．（24-25八年级·浙江宁波·期中）若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知． (1)下列选项中，是的“系矩点”的有_____． ①；②；③；④． (2)若点为的“系矩点”，则_____，_____． (3)若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围． 【答案】(1)②③④(2)或；；(3)． 【详解】（1）解：∵， 根据题意可得的“系矩点”都有：，，，， 故答案为②③④． （2）解：∵点为的“系矩点”， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或，． （3）解：∵点的纵坐标分别为，点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”， ∴，， ∴的取值范围为：． 1．（23-24七年级·湖北·期中）已知，如图1，在平面直角坐标系中，轴于点B，点满足，平移线段，使点A与原点对应，点B的对应点为点C．    (1)填空： ， ； (2)如图2，P是线段所在直线上一动点，连接平分，以为边，在外部，作射线，若，当点P在直线上运动的过程中，请探究与的位置关系，并证明； (3)如图3，点是线段上一个动点． ①连接，请利用，，的面积关系（“”表示三角形），求出m，n满足的关系式； ②过点A作直线轴，在l上取点M，使得，若△CDM的面积为1，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)4，1(2)，见解析 (3)①；②D的坐标为或 【详解】（1）， ， 解得：， 故答案为：4，1； （2），理由如下： 平分， ， 轴， 轴， ， 故， ， ， ， 即； （3）①如图，过点D分别作轴于点P，轴于点Q，连接．    由（1）知， ， 由平移的性质可得：， 轴于点B，且点A，D，C三点的坐标分别为：， ，， 又， ， ， ， ， m、n满足的关系式为， ②点D的坐标为或． 如图，设直线交y轴于T，连接．则，    当点M在点A的左侧时，，连接 ， ， ， 又， 解得， 当点M在点A的右侧时，同理可得． 综上所述，满足条件的点D的坐标为或(4，0)． 2．（23-24七年级·北京东城·期中）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．如图，已知点，，，． (1)d（点O，） ， ； (2)记线段组成图形G已知点，若d（点T，G），求m的取值范围； (3)若四边形内部的点和点满足（，四边形），请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)6，8；(2)或(3)或 【详解】（1）解：设交x轴于M， ∵， ∴轴， ∴， ∴O到的距离， ∴d（点O，） ∵，，，， ∴， ∴ 故答案为：6，8； （2）解：作直线，取，如图： 在直线上，到距离为2，线段上的点到距离都小于2， 同理到的距离为2，线段上的点到的距离都小于2， ∴当d（点T，G），或； （3）解：当时， 设与x轴交于G，与y轴交于H，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴此时线段上的一点到四边形上一点的距离的最小值即为或的长， 当时，此时，即（，四边形）； 当时，此时，即（，四边形）； ∴当时，（，四边形）； 如图所示，当时，此时（，四边形） 当时， 同理可得当时，此时（，四边形）； 当时，此时（，四边形）； ∴当时，（，四边形）； 综上所述，或． 3．（23-24七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于不重合的两点和点，给出如下定义：如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特殊地，当时，点P与点Q也互为“进取点”． 已知点，点．    (1)如图1，在点，，，中，与点A互为“进取点”的是_________； (2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足的所有整点中（如图2）： ① 已知点为第一象限中的整点，且与点A，点B均互为“进取点”．所有符合题意的点P共有_________个； ② 在所有的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点都互为“进取点”，n的最大值为_________． 【答案】(1)C、D、F(2)①10；② 31 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴点A与点C互为“进取点”； ∵，， ∴， ∴点A与点D互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点E不互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点F互为“进取点”； 故答案为：C、D、F； （2）解：①∵为第一象限中的整点，点，点， ∴当，时， ，， ∴，，，均与点、点互为“进取点”， 当，时， ，， ∴，，，，，，，均与点、点互为“进取点”， ∴，，，，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； 故答案为：10； ②∵，， ∴，，，， ∵当时，有，则点和点互为“进取点”， ∴，，，， 当，时，取值0,1,2,3，取值1,2,3,4，、取值0,1,2,3,4， ∵任意两个整点都互为“进取点”， ∴把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，（方法不唯一） ∴第一象限内共7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，x轴上共3个点，如图， ∴n的最大值为， 故答案为：31． 4．（24-25七年级·河南信阳·期末）如图9，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴，x轴上，将三角形AOB沿x轴正方向平移一段距离，平移后的图形为三角形CED，连接AC． (1)观察发现 如图①，点C到x轴的距离为7，到y轴的距离为6．直接写出点C的坐标______． (2)探究证明 如图②，若平分线BF与CD交于点F，连接AF，则，，三个角满足的关系是什么？并说明理由． (3)拓展延伸 如图③，F是线段CD上一点，连接AF，BF，取平面内一点P，连接AP，BP，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）∵点C在第一象限，点C到x轴的距离为7，到y轴的距离为6 ∴C（6，7）， 故答案为：（6，7）； （2）．理由如下： 如图，由平移，得． 过点F作． 则 ∴， ∴ 即 ∵BF平分， ∴． ∴ （3）由（2）可得，． ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 5．（23-24七年级·湖北黄冈·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，连接与轴，轴分别相交于点，点，点满足．    (1)【基础训练】请你直接写出两点的坐标； (2)【能力提升】如图2，点在线段上，满足，点在轴负半轴上，连接交轴的负半轴于点，且，求点的坐标； (3)【拓展延伸】如图3，为直线上一点（异于三点），过点作的垂线交轴于点和的平分线所在的直线相交于点．当在直线上运动时，请直接写出的度数． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴； （2）解：如图， 由， ， ， 连接，作轴于轴于，，      即， ∵， ， ， ， ， ． （3）解：如图，过点分别作轴，轴， 依题意，设， 则， 当点在上方时，如图1，，    ∵平分， ∴， ∵轴， ∴，即， ∴； 当点在下方时，如图，    ∵平分轴， ， ， 综上，的度数为或． 6．（23-24七年级·湖南长沙·期中）溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足．    (1)填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； (2)为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向AA点走去，到达a点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； (3)①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ ②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)(3)①或110，②存在，， 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∵桥长20米，为坐标原点， ∴， 故答案为：；；． （2）解：设检修工人走了t秒，如图，   ， ， 当时，，解得， 故答案为：， （3）解：①设O灯转动了t秒．（ⅰ）当时，如图（ⅰ）， ，， 当时，，则， 即，则，解得，    （ⅱ）当时，其中当时，与必相交， 当时，如图（ⅱ），    由，有， 则，即，即，解得：（舍）， （ⅲ）当时，其中当时，如图（ⅲ），   ，，， 当时，，则， 即，即，解得， 当时，与必相交． 综上，或110； ②存在；如图2，   ，， ， 又， ， 又， ， ， 若为定值，则与t无关， ，此时，， 故存在， ． 7．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且、满足，现同时将点，分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．    (1)求点C，D的坐标及四边形的面积． (2)点是四边形上的一个动点，连接，．当点在上移动时（不与，重合）求的值． (3)当点运动到什么位置时，直线将四边形的面积分成两部分？（直接写出答案） 【答案】(1)，四边形的面积为8； (2)； (3)当的坐标为或时，直线将四边形的面积分成两部分． 【详解】（1）解：∵， ， ， 将点，分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位， ， ； （2）解：由（1）中、，可得； 如图所示，过点作，则，   ， ， ，不发生变化； （3）解：∵，， 如图，直线将四边形的面积分成两部分，    ∴， 此时，重合，， 当时，设，如图，    ∴， 解得：， 此时， 综上：当的坐标为或时，直线将四边形的面积分成两部分． 8．（24-25七年级·湖北恩施·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足、，线段交y轴于点，点D是y轴正半轴上的一点．    (1)如图1，求出点A、B的坐标； (2)如图2，若，，且、分别平分、，求的度数；（用含α的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得的面积是△ABC的面积的一半？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)或或或 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，； （2）如图2，过点作，交轴于点，    ， 又， ， ， ，， ， 又平分，平分，， ，， ，， ； （3）存在． 的面积， 当点在轴上时，设，    ， ， 解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设， 则， 解得或， 此时点坐标为或， 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或或或． 9．（23-24七年级·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，两点坐标中，、的值使式子 成立．    (1)求，两点的坐标． (2)如图1，若为轴负半轴上的一个动点，当时，与的平分线交于点，求的度数； (3)如图2，连接交轴于点，若为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点．问是否存在点，使得？若存在，请求出点的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、(2) (3)存在，的纵坐标的取值范围是 【详解】（1）解：， 又，， ，， 、； （2）解：作，    ， ， ， ， ， ， ， 与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ； （3）解：存在， 连接交轴于，连接．    设点的纵坐标为， ， ，即， ，，， ， ， ， 点的坐标为， ， 由题意得，， 解得，， 在轴负半轴上， ， 的纵坐标的取值范围是． 10．（24-25七年级·四川南充·期末）如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴负方向平移，平移后的图形为三角形，且点的坐标为．    (1)点E的坐标为________，点B的坐标为________； (2)在四边形中，点从点出发，沿“”移动．若点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题： ①当________时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数； ②当时，设，，，试问，，之间的数量关系能否确定？若能，请用含，的式子表示；若不能，请说明理由． ③当点运动到什么位置时，直线将四边形的面积分成两部分？ 【答案】(1)；． (2)①2；②；③点的坐标为或． 【详解】（1）解：将三角形沿轴负方向平移， ∴轴，． ，， ，． 故答案为：；． （2）解：①点的坐标为， ，． 点的横坐标与纵坐标互为相反数， 点在线段上， ，即， 当秒时，点的横坐标与纵坐标互为相反数． 故答案为：2． ②能确定．， 点在线段上时，点的坐标为． 如图，过点作交于点，则，   ，， ， ； ③分以下两种情况： ．如图2所示：点在上．   当时，点在上， 此时，，，，， 则，． 依题意得或， 解得（不合题意，舍去）或， 点的坐标为； ．如图3所示：点当在上．   时，点当在上，此时，， 直线将四边形分为五边形和三角形两部分． ， ． 依题意得或， 解得（不合题意，舍去）或， ， 点的坐标为． 综上所述，当点运动到或的中点时，直线将四边形的面积分成两部分，此时，点的坐标为或． 1．（24-25七年级·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是边长为个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点依次放在点，的位置，然后向右滚动，第次滚动使点落在点的位置，第次滚动使点落在点的位置，按此规律滚动下去，则第次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：滚动次后，， 滚动次后，， 滚动次后，， 滚动次后，， 滚动次后，， ， 每滚动次为个循环 ， ∴，，，， ∵， ∴，即， 故选：． 2．（24-25七年级·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m．则以下说法错误的是（　　） A．当，点B是线段的中点 B．当，点P一定在线段上 C．存在唯一一个m的值，使得 D．存在唯一一个m的值，使得 【答案】D 【详解】解：A.当时，，，． ∵，， ∴， 又∵A、B、P三点都在x轴上， ∴点B是线段的中点， 故A选项正确； B. 当时，，则点P在点A右侧， 又∵， ∴点P又在点B左侧， ∴点P一定在线段上． 故B选项正确； C. ，，，， ，． 若， 则， ， ， 解得， ∴当时，． 故C选项正确； D.∵，， 若， 则， 则或， 解得或， ∴当或时，． 故D选项错误． 故选：D． 3．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 4．（24-25七年级·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接、交于点E，则三角形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ，，，， ，，，， 设， ， ； ， ； 解方程组得，， ． 故答案为：． 5．（23-24七年级·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数． （1）当时，t的最大值为 ； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为 ． 【答案】 2 【详解】解：（1）当时，，根据绝对值的意义，可知表示与直线之间的距离， 当点与点重合时，距离最大，此时． （2）如图，直线， 此时，折线段上，点、距离直线的距离最大，都是， 当时，，表示与直线之间的距离， 当点与点重合时，取得最大值， 如图：当直线，在直线上方，即，， 此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线之间的距离，由于P不与点A重合， 此时不存在最大值． 当直线，在直线下方，即，， 此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线之间的距离，此时存在最大值，即当在点处时取得最大值． 综上所述，，t存在最大值． 故答案为：①2；②． 6．（23-24七年级·江苏南通·期中）如图，平面直角坐标系中，点 的坐标分别为，是轴上的两个动点，且 为线段上一动点，则的最小值为 【答案】4 【详解】解：如图所示，把点C向右平移2个单位长度得到点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴可以看做是平移得到的， ∴， ∴， ∴当且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 7．（23-24七年级·辽宁·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，其坐标分别是，，，，若，，，且． (1)求三角形的面积； (2)求证：； (3)如图2，若，延长到Q，使，线段交y轴于点K，求的值． 【答案】(1)6(2)见解析(3)1 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴线段可看作是由线段平移得到， ∵平移到， ∴平移得到， 设K点的坐标为， ，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ，， ∴． 8．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则△AB的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1)(2)9(3)或 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）如图，作轴于点， 由（1）可得，，， ， ， ． （3）由题意，①如图，当点在线段上时， ， ， ， 边上的高是边上的高的3倍， ， 的纵坐标为2， ， ， ， 边上的高是边上的高的， ， 的横坐标为2， ； ②如图，当点在的延长线上时， ， 是线段的中点， 设， ，， ，， ，， ； ③当点在的反向延长线上时， 不成立，不合题意； 综上所述，或． 9．（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，且实数a、b满足． (1)直接写出A、B 两点的坐标； (2)如图1，C为线段 上一点，且，求点C的坐标； (3)如图2，将线段 平移至，使点 A 的对应点 D 落在x轴上，点B 的对应点E 落在y轴上，连接、，P为线段上一点，为y 轴上一动点，若 ，求t的取值范围． 【答案】(1)，(2)(3)且 【详解】（1）， ， ， ，． （2）， ， ， ， ， ． ． （3）点，，由平移可得点，， 设与y交于K， 连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 只需即可， 又点Q不能与点K重合， ， 当时，，解得． 当时，，解得． 综上所述，t的取值范围是且． 10．（23-24七年级·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上，且点在点的左边，将线段进行平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)若点，，． 点的坐标为___________，的面积为 ___________； 若直线交轴于点，求点的坐标． (2)点是第四象限上的一个动点，过点作垂直轴于点，连接，，．若点，，，，的面积为，点到直线的距离为．求面积的取值范围． 【答案】(1)；；； (2)． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 如图，作 轴，连接，设点坐标为． ， ∴，，， 可得 ， 解得， ∴． 故答案为：；．． （2）根据题意得 解得：． ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为． ∵点，在轴正半轴上， ∴， ∵点是第四象限上的一个动点，垂直轴于点，点到直线的距离为． ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴点，的横坐标相同， ∴轴，， ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 平面直角坐标系单元总复习（5大压轴题型） 【点坐标规律1大题型+点坐标综合4大题型】 1．（24-25七年级·河南信阳·阶段练习）如图所示，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；…依次类推，经过第2025次翻滚，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级·云南曲靖·期中）如图，在平面直角坐标系中， ，，一只瓢虫从点出发以个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第秒瓢虫在（　　）处． A． B． C． D． 3．（24-25七年级·河北邢台·阶段练习）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以4所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移），每次平移1个单位长度．“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：．若“和点”按上述规则连续平移10次后，到达点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第2025次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级·安徽安庆·期中）如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级·湖北随州·期末）如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（  ） A．（2022，8） B．（63，5） C．（64，5） D．（64，4） 8．（24-25七年级·江苏盐城·阶段练习）数学家高斯被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则 ． 9．（24-25七年级·山西大同·阶段练习）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，三角形、三角形、三角形都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形，若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为 ． 10．（24-25七年级·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，顶点依次用、、、表示，则顶点的坐标为 ． 11．（24-25七年级·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，从点，依次扩展下去，则的坐标为 ． 12．（24-25七年级·黑龙江大庆·开学考试）如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 ． 13．（24-25七年级·黑龙江·期末）如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2025次碰到长方形边上的点的坐标为 ． 14．（24-25七年级·湖南衡阳·阶段练习）如图，在一单位为1的方格纸上，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，， 则依图中所示规律，的坐标为 ． 1．（24-25七年级·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点从点出发以每秒2个单位沿轴负方向运动． (1)________，________； (2)如图1，连接、交于点，则当点运动多少秒时，； (3)如图2，点是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，在直线上取两点、（点在点右侧），满足，．当点运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 2．（24-25七年级·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点P从点A出发，沿路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿路线运动到点D停止．若P，Q两点同时出发，且点P的运动速度为，点Q的运动速度为． (1)当P，Q两点出发时，试求三角形的面积； (2)设两点运动的时间为，用含t的式子表示运动过程中三角形的面积S（单位：）． 3．（23-24七年级·全国·单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点C的坐标． (2)如图2，设D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段上运动时，作交于M点，，的平分线交于N点，则点D在运动过程中，∠N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 4．（24-25七年级·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点，分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)直接写出点、的坐标：　　　，　　　； (2)如图1，若点在线段上，且，点以每秒1个单位长度的速度从点沿轴正半轴向上运动，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，射线以的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点，过作交于，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由． ·5．（23-24七年级·吉林白城·阶段练习）如图．在平面直角坐标系中，点、、．且满足：．点从点出发，沿轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动．点从点出发．沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． (1)直接写出点的坐标 ；点的坐标 ；点的坐标 ． (2)当、分别在线段、上运动时，连接、，当时，求出点的坐标； (3)在、运动的过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 6．（23-24七年级·辽宁抚顺·期末）在平面直角坐标系中，，，满足，过点C作轴于点B． (1)如图1，连接，求三角形的面积． (2)如图2，连接，若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，求？ (3)如图3，过C作垂直于点D，连接，点P从D点出发，沿“”移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间t秒，当P运动到什么位置时，直线将四边形面积分为两部分？求出的坐标？ 7．（23-24七年级·广东广州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，点在第一象限，轴，且． (1)点C的坐标为：______； (2)一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度向左运动． ①如图2，过点作交轴于点与的角平分线相交且交点为与交于点，求的度数； ②点沿射线运动时，射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，记点的横坐标为，当的面积大于6时，求的取值范围． 8．（24-25七年级·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在y轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，连接，P是x轴上一动点. (1)点C的坐标是______，点D的坐标是______；与的数量与位置关系是______． (2)当的面积是的面积的3倍时，求点P的坐标； (3)若，判断α，β，θ之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明. 9．（23-24七年级·广东惠州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C． (1)填空，点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．线段平移到扫过的面积为_______． (2)若点P是y轴上的动点，连接． ①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段与线段相交于点E，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标． 10．（23-24七年级·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足，． (1)如图，将线段平移至，点的对应点为，连接、． ①点的坐标为________； ②求面积是多少？ (2)如图，点，轴于，点以每秒个单位长度的速度从出发向运动，同时另一动点以每秒个单位长度的速度从出发，在射线上运动，当点运动到时两点都停止运动，当时，求运动时间的值（单位：秒）． 1．（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发，沿轴的正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．                                    　备用图 (1)点的坐标为______；点的坐标为______；和的位置关系是______． (2)当点分别在线段上时，连接，若，求点的坐标． (3)在点的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 2．（23-24七年级·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，且． (1)直接写出、两点的坐标； (2)如图，将平移至△ADE，点对应点为，点对应点为，点B对应点为D，若E点坐标为．求△ABC的面积； (3)如图，在（2）中，若，分别与轴交于点，，点是轴上的一个动点． ①当点在线段不含端点上运动时，证明：； ②当点在轴上线段之外运动时，请直接写出，，，之间的等量关系． 3．（24-25七年级·江西宜春·期中）如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段向左平移3个单位长度，得到线段，连接．                       图1                                                                            图2 (1)直接写出点C、点D的坐标． (2)如图2，延长交y轴于点E，点F是线段上的一个动点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)在坐标轴上是否存在点P使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 4．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，且满足，是轴上一点，是线段上一点． (1)求出点A，B，C的坐标；并直接写出与的位置关系； (2)当点在线段上时，连接，，，探究，和的数量关系，并说明理由； (3)若三角形的面积等于四边形的面积，直接写出点P的坐标． 5．（23-24七年级·广东东莞·期末）如图1，在平面直角坐标系中， 点， ， ， 且满足 P点在线段上运动（不与O、A重合）． (1)直接写出点A的坐标 ，B的坐标 ，C的坐标 ； (2)如图2，Q点在线段上运动， 与 的平分线交于点M，当时，点P在运动过程中， 的大小是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由： (3)若点Q在y轴上运动（不与O、C重合），当 与 的角平分线交于点M时，根据点Q的运动位置，直接写出 和 三者的数量关系． 6．（23-24七年级·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角） (1)直接写出点的坐标． (2)射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系． (3)连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 7．（23-24七年级·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，有点，且a，b满足将线段向上平移k个单位得到线段． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点为线段上任意一点，点为线段上任意一点，．点为线段与线段之间一点，连接，，且，．试写出与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图2，若，过点作直线轴，点为直线上一点，若的面积为8，求点的坐标； 8．（23-24七年级·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 9．（23-24七年级·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标系原点，点在第一象限，过点 向 轴作垂线，垂足为点 ，连接 ，．点 从点 出发，沿 轴的正半轴以每秒 个单位长度的速度运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动，点 与点 同时出发，设点 的运动时间为 秒，连接 ，，．    (1)直接写出 的值，_____； (2)当 时， ①请探究 ，， 之间的数量关系，并说明理由； ②试判断四边形 的面积是否变化？若不变化，请求出四边形 的面积；若变化，请说明理由； (3)当 时，请求出 的值及 的面积． 10．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接的延长线交y轴于点K． (1)点A的坐标________，点B的坐标________． (2)点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． (3)连接，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 1．（2024七年级·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，，，，记，，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是　　； ②点在轴上，若，则点的坐标是 ． (2)点，在轴上，点在点的上方，，点的坐标为． ①当点的坐标为时，求的值； ②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标． 2．（23-24七年级·广东广州·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”例如：的“2属派生点”为，即． (1)求点的“3属派生点”的坐标； (2)若点P的“5属派生点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求k的值． 3．（23-24七年级·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，对于图形M与图形N给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点P与图形N上的所有点的距离的最小值为k，将点P延x轴正方向平移个单位长度得到点，称点是点P关于图形N的“关联点”，图形M上所有点的“关联点”组成的新图形记为，称是图形M关于图形N的“相关图形”． (1)已知，，，其中． ①若，点关于线段的“关联点”的坐标是______； ②若，请用尺规在图中画出点关于线段的“关联点”（保留作图痕迹）；    (2)如图，线段关于图形N的“相关图形”如图所示（为曲线且除外，其余点的横坐标大于6），如果图形N上的点都在同一条直线上，请在图中画出图形N．    4．（23-24七年级·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，对点P进行如下操作：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点横坐标不变，纵坐标变为其相反数得到点，称点为点P的“倍对应点”．若图形W上存在一点Q，且点Q的“倍对应点”恰好也在图形W上，则称图形W为“倍对应图形”．已知点，． (1)点A的“倍对应点”的坐标为_________，若点C的“倍对应点”为B，则点C的坐标为_________； (2)若点（其中b为非零整数）与线段组成的图形记为图形W，图形W是“倍对应图形”，直接写出点D的坐标． (3)已知点，，，，顺次连接EFGH得到一个长方形，若长方形的边上存在点的“倍对应点”，直接写出的取值范围． 5．（23-24七年级·湖北武汉·期末）【提出问题】在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特别地，当时，点P与点Q也互为“进取点”． 【数学思考】已知点，点． (1)如图1，在平面直角坐标系中画点：，并直接写出其中与点A互为“进取点”的是 ； (2)如果一个点的横，纵坐标都是整数，则称这个点为整点，在满足的所有整点中（如图2） ①已知点为第一象限中的整点，且与点A，B均互为“进取点”，求所有符合题意的点Р坐标； ②在第一象限的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点互为“进取点”，直接写出n的最大值为 ； 6．（23-24七年级·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形，如果线段与图形有公共点，则称点为关于图形的“亲近点”． 如图，已知点，，连接． (1)在，，，这四个点中，关于线段的“亲近点”是点______； (2)线段，线段上所有的点都是关于线段的“亲近点”，若点的横坐标是3，那么线段最长值为______； (3)已知直线经过点，与直线交于点，若当时，直线上的点都是线段的“亲近点”，写出的取值范围______． 7．（23-24七年级·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，，，，如果，那么称点Q是点P的m阶“生长点”．例如：点，，，．点Q是点P的2阶“生长点”．如图，已知点，，． (1)点B是点A的______阶“生长点”； (2)已知点是点A的2阶“生长点”，点是点B的3阶“生长点”． ①若三角形的面积为4，求点C的坐标； ②若，求b的值； (3)若点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，当时总有，则m的取值范围为______． 8．（23-24七年级·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点作直线平行于轴． (1)如果线段与轴有公共点，求的取值范围； (2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出的值； (3)若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点_____（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将△ABC平移到，平移后点、点、点分别对应点、点、点，点F刚好落在直线上，点E落在轴上且纵坐标为，如果的面积为4，过点A作直线平行于轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 9．（24-25八年级·浙江宁波·期中）若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知． (1)下列选项中，是的“系矩点”的有_____． ①；②；③；④． (2)若点为的“系矩点”，则_____，_____． (3)若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围． 1．（23-24七年级·湖北·期中）已知，如图1，在平面直角坐标系中，轴于点B，点满足，平移线段，使点A与原点对应，点B的对应点为点C．    (1)填空： ， ； (2)如图2，P是线段所在直线上一动点，连接平分，以为边，在外部，作射线，若，当点P在直线上运动的过程中，请探究与的位置关系，并证明； (3)如图3，点是线段上一个动点． ①连接，请利用，，的面积关系（“”表示三角形），求出m，n满足的关系式； ②过点A作直线轴，在l上取点M，使得，若△CDM的面积为1，请直接写出点D的坐标． 2．（23-24七年级·北京东城·期中）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．如图，已知点，，，． (1)d（点O，） ， ； (2)记线段组成图形G已知点，若d（点T，G），求m的取值范围； (3)若四边形内部的点和点满足（，四边形），请直接写出t的取值范围． 3．（23-24七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于不重合的两点和点，给出如下定义：如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特殊地，当时，点P与点Q也互为“进取点”． 已知点，点．    (1)如图1，在点，，，中，与点A互为“进取点”的是_________； (2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足的所有整点中（如图2）： ① 已知点为第一象限中的整点，且与点A，点B均互为“进取点”．所有符合题意的点P共有_________个； ② 在所有的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点都互为“进取点”，n的最大值为_________． 4．（24-25七年级·河南信阳·期末）如图9，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴，x轴上，将三角形AOB沿x轴正方向平移一段距离，平移后的图形为三角形CED，连接AC． (1)观察发现 如图①，点C到x轴的距离为7，到y轴的距离为6．直接写出点C的坐标______． (2)探究证明 如图②，若平分线BF与CD交于点F，连接AF，则，，三个角满足的关系是什么？并说明理由． (3)拓展延伸 如图③，F是线段CD上一点，连接AF，BF，取平面内一点P，连接AP，BP，若，，请直接写出的值． 5．（23-24七年级·湖北黄冈·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，连接与轴，轴分别相交于点，点，点满足．    (1)【基础训练】请你直接写出两点的坐标； (2)【能力提升】如图2，点在线段上，满足，点在轴负半轴上，连接交轴的负半轴于点，且，求点的坐标； (3)【拓展延伸】如图3，为直线上一点（异于三点），过点作的垂线交轴于点和的平分线所在的直线相交于点．当在直线上运动时，请直接写出的度数． 6．（23-24七年级·湖南长沙·期中）溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足．    (1)填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； (2)为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向AA点走去，到达a点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； (3)①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ ②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由． 7．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且、满足，现同时将点，分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．    (1)求点C，D的坐标及四边形的面积． (2)点是四边形上的一个动点，连接，．当点在上移动时（不与，重合）求的值． (3)当点运动到什么位置时，直线将四边形的面积分成两部分？（直接写出答案） 8．（24-25七年级·湖北恩施·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足、，线段交y轴于点，点D是y轴正半轴上的一点．    (1)如图1，求出点A、B的坐标； (2)如图2，若，，且、分别平分、，求的度数；（用含α的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得的面积是△ABC的面积的一半？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 9．（23-24七年级·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，两点坐标中，、的值使式子 成立．    (1)求，两点的坐标． (2)如图1，若为轴负半轴上的一个动点，当时，与的平分线交于点，求的度数； (3)如图2，连接交轴于点，若为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点．问是否存在点，使得？若存在，请求出点的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级·四川南充·期末）如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴负方向平移，平移后的图形为三角形，且点的坐标为．    (1)点E的坐标为________，点B的坐标为________； (2)在四边形中，点从点出发，沿“”移动．若点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题： ①当________时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数； ②当时，设，，，试问，，之间的数量关系能否确定？若能，请用含，的式子表示；若不能，请说明理由． ③当点运动到什么位置时，直线将四边形的面积分成两部分？ 1．（24-25七年级·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是边长为个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点依次放在点，的位置，然后向右滚动，第次滚动使点落在点的位置，第次滚动使点落在点的位置，按此规律滚动下去，则第次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m．则以下说法错误的是（　　） A．当，点B是线段的中点 B．当，点P一定在线段上 C．存在唯一一个m的值，使得 D．存在唯一一个m的值，使得 3．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25七年级·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接、交于点E，则三角形的面积为 ． 5．（23-24七年级·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数． （1）当时，t的最大值为 ； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为 ． 6．（23-24七年级·江苏南通·期中）如图，平面直角坐标系中，点 的坐标分别为，是轴上的两个动点，且 为线段上一动点，则的最小值为 7．（23-24七年级·辽宁·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，其坐标分别是，，，，若，，，且． (1)求三角形的面积； (2)求证：； (3)如图2，若，延长到Q，使，线段交y轴于点K，求的值． 8．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则△AB的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 9．（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，且实数a、b满足． (1)直接写出A、B 两点的坐标； (2)如图1，C为线段 上一点，且，求点C的坐标； (3)如图2，将线段 平移至，使点 A 的对应点 D 落在x轴上，点B 的对应点E 落在y轴上，连接、，P为线段上一点，为y 轴上一动点，若 ，求t的取值范围． 10．（23-24七年级·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上，且点在点的左边，将线段进行平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)若点，，． 点的坐标为___________，的面积为 ___________； 若直线交轴于点，求点的坐标． (2)点是第四象限上的一个动点，过点作垂直轴于点，连接，，．若点，，，，的面积为，点到直线的距离为．求面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$