精品解析：河北沧州市2024-2025学年 上学期九年级数学期末试卷

2024—2025学年度第一学期期末综合素质检测 九年级数学试卷（人教版） 注意事项： 1、本试卷共八页，满分为120分，考试时间为120分钟. 2、请按要求在答题卡上作答． 亲爱的同学，你好！今天是展示你才能的时候了，只要你仔细审题、认真答题，把平常的水平发挥出来，你就会有出色的表现，放松一点，相信自己的实力！ 一、选择题（本大题共16个小题，1-6每小题2分,7-16每小题3分，共42分．每小题后均给出了四个选项，请把最符合题意的选项序号填在题后的括号内．） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表： 年龄（岁） 12 13 14 15 人数（名） 2 4 3 1 则这10名篮球运动员年龄的中位数为（　　） A. 12 B. 13 C. 13.5 D. 14 3. 一元二次方程x2 -2x= 0的解是（ ） A. 0 B. 0或2 C. 2 D. 此方程无实数解 4. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 5. 如图，的直径，点在上，弦，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，的半径为4，点P的坐标为，则点P的位置为( ) A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不确定 7. 数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 直径所对的圆周角是直角 C. 勾股定理的逆定理 D. 90°的圆周角所对的弦是直径 8. 在“等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（2，0），则它与x轴的另一个交点坐标是 （ ） A. （1，0） B. （﹣1，0） C. （2，0） D. （﹣3，0） 10. 定义一种新运算：a♣b=a（a﹣b），例如，4♣3=4×（4﹣3）=4，若x♣2=3，则x的值是（　　） A. x=3 B. x=﹣1 C. x1=3，x2=1 D. x1=3，x2=﹣1 11. 若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A. 4cm B. 2cm C. cm D. cm 14. 在学完反比例函数图象的画法后，嘉琪同学画出了一个函数的图象如图所示，那么关于x的分式方程的解是（　　） A. B. C. D. 15. 如图，用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5，弧长是，那么围成的圆锥的高度是（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 16. 在五边形中，，，，是边的中点，点由点出发，按的顺序运动．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共15分, 请把正确答案填在题后的横线上．） 17. 如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是_____． 18. 如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 19. 如图是反比例函数在第二象限内的图像，若图中的矩形OABC的面积为2，则k=________． 20. 如图，已知∠AOB＝30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O2017A上取点O2018，以O2018为圆心，O2018O2017为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O2的半径长是______；⊙O2018的半径长是______． 三、解答题（本大题共6个小题，共63分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 21. 已知函数图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标______； （2）对称轴为______； （3）当______时，y有最大值； （4）当______时，y随着x的增大而增大； （5）当______时，． 22. 为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛．赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有______名，并补全图1的条形统计图； （2）在图2扇形统计图中，m的值为______，表示D等级的扇形的圆心角为______； （3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 23. 如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数的图象于点B，AB=． （1）求反比例函数的解析式； （2）若P（，）、Q（，）是该反比例函数图象上的两点，且时，，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由． 24. 阅读理解： 由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b） 示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3） 问题解决： 关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，用分解因式的办法求k的取值范围． 25. 如图将小球从斜坡的O点抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=ax2+bx刻画，顶点坐标为（4，8），斜坡可以用y=x刻画． （1）求二次函数解析式； （2）若小球的落点是A，求点A的坐标； （3）求小球飞行过程中离坡面的最大高度． 26. 已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，半⊙A的半径为1，点C是半圆上任意一点，连结OC，把OC绕点O顺时针旋转6 0°到OD的位置，连结BD． （1）如图1，求证：AC＝BD． （2）如图2，当OC与半圆相切于点C时，求CD的长． （3）直接写出△AOC面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末综合素质检测 九年级数学试卷（人教版） 注意事项： 1、本试卷共八页，满分为120分，考试时间为120分钟. 2、请按要求在答题卡上作答． 亲爱的同学，你好！今天是展示你才能的时候了，只要你仔细审题、认真答题，把平常的水平发挥出来，你就会有出色的表现，放松一点，相信自己的实力！ 一、选择题（本大题共16个小题，1-6每小题2分,7-16每小题3分，共42分．每小题后均给出了四个选项，请把最符合题意的选项序号填在题后的括号内．） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入反比例函数的解析式即可求解. 【详解】把代入得： k=-4 故选：A 【点睛】本题考查的是求反比例函数的解析式，掌握反比例函数的图象和性质是关键. 2. 某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表： 年龄（岁） 12 13 14 15 人数（名） 2 4 3 1 则这10名篮球运动员年龄的中位数为（　　） A. 12 B. 13 C. 13.5 D. 14 【答案】B 【解析】 【详解】10个数，处于中间位置的是13和13， 因而中位数是：(13+13)÷2=13． 故选：B． 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 3. 一元二次方程x2 -2x= 0的解是（ ） A. 0 B. 0或2 C. 2 D. 此方程无实数解 【答案】B 【解析】 【详解】解：原方程变形为：x（x-2）=0 x1=0，x2=2 故选B． 【点睛】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 4. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，的直径，点在上，弦，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角得到，得出，得到，得出，得到，即可得到答案． 【详解】解：的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，的半径为4，点P的坐标为，则点P的位置为( ) A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据两点间的距离公式求出点点到圆心的距离，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：由两点间的距离公式可得：， 即， 点P在外． 故选：A． 7. 数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 直径所对的圆周角是直角 C. 勾股定理的逆定理 D. 90°的圆周角所对的弦是直径 【答案】B 【解析】 【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断． 【详解】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角． 故选B． 【点睛】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键． 8. 在“等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在上述图形中任取一种，共有6种等可能的结果，其中既是中心对称图形又是轴对称图形有正方形、矩形、正六边形3种, ∴P（恰好既是中心对称图形又是轴对称图形）=. 故选D. 9. 已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（2，0），则它与x轴的另一个交点坐标是 （ ） A. （1，0） B. （﹣1，0） C. （2，0） D. （﹣3，0） 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，，即可求出另一根，即可解答． 【详解】解：∵a=1，b=1， ， 即：2+x=-1，解得：x=-3， ∴二次函数与x轴的另一个交点为（-3，0）， 故选D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解决此题时，根据根与系数的关系直接计算更简单． 10. 定义一种新运算：a♣b=a（a﹣b），例如，4♣3=4×（4﹣3）=4，若x♣2=3，则x的值是（　　） A. x=3 B. x=﹣1 C. x1=3，x2=1 D. x1=3，x2=﹣1 【答案】D 【解析】 【详解】∵x♣2=3， ∴x（x﹣2）=3， 整理得x2﹣2x﹣3=0， （x﹣3）（x+1）=0， x﹣3=0或x+1=0， 所以x1=3，x2=﹣1． 故选D． 11. 若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，随的增大而减小，推出，可知二次函数的图象的开口向下，与则交于负半轴上，由此即可判断． 【详解】解：，随的增大而减小， ， 二次函数的图象的开口向下，与则交于负半轴上， 故选：A． 【点睛】本题参考二次函数的性质、正比例函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正比例函数以及二次函数的性质，属于中考常考题型． 12. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∵点A，，点B，，点C，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握函数值的计算是解题的关键． 13. 如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A. 4cm B. 2cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E，根据折叠的性质及垂径定理得到AE=BE，再根据勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E， ∵折叠后恰好经过圆心， ∴OE=DE, ∵半径为4， ∴OE=2， ∵OD⊥AB， ∴AE=AB， 在Rt△AOE中，AE==2 ∴AB=2AE=4 故选A. 【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用. 14. 在学完反比例函数图象的画法后，嘉琪同学画出了一个函数的图象如图所示，那么关于x的分式方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求函数解析式，解分式方程等知识点，观察到函数的图象经过点是解题的关键． 由图可知，函数的图象经过点，则，解得，则分式方程即为，然后解方程并检验即可． 【详解】解：由图可知，函数的图象经过点，则： ， 解得：， 则分式方程即为， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故选：． 15. 如图，用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5，弧长是，那么围成的圆锥的高度是（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设底面圆的半径为r，根据弧长等于底面圆的周长可求得底面圆的半径，在利用勾股定理即可求解 ． 【详解】解：设底面圆的半径为r，则， 解得：， 圆锥的高为：， 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥的高及勾股定理，熟练掌握圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长是解题的关键． 16. 在五边形中，，，，是边的中点，点由点出发，按的顺序运动．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，可以求出各段的函数解析式．根据已知条件，可以分别求出各段对应的函数解析式，从而可以得到各段对应的函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：由已知可得， 当点从到的过程中，； 当点从到的过程中，； 点从到的过程中，． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共15分, 请把正确答案填在题后的横线上．） 17. 如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是_____． 【答案】8+8 【解析】 【详解】解设直角三角形直角边长是x， 由勾股定理知22 解得x= 所以周长等于8+8． 故答案为8+8 18. 如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 19. 如图是反比例函数在第二象限内的图像，若图中的矩形OABC的面积为2，则k=________． 【答案】-2 【解析】 【详解】解：因为反比例函数，且矩形OABC的面积为2，所以|k|=2，即k=±2，又反比例函数的图象在第二象限内，k＜0，所以k=﹣2．故答案为﹣2． 20. 如图，已知∠AOB＝30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O2017A上取点O2018，以O2018为圆心，O2018O2017为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O2的半径长是______；⊙O2018的半径长是______． 【答案】 ①. 2 ②. 22017 【解析】 【分析】如图，作分别，找出圆半径的规律，然后求解即可． 【详解】解：如图，作分别， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴推导出一般性规律为：圆的半径呈2倍递增 ∴的半径为 ∵的半径为 ∴的半径为 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了圆切线的性质，30°角所对直角边是斜边一半的性质，解题的关键在于找出圆半径的规律． 三、解答题（本大题共6个小题，共63分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 21. 已知函数图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标______； （2）对称轴为______； （3）当______时，y有最大值； （4）当______时，y随着x的增大而增大； （5）当______时，． 【答案】（1） （2）直线 （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由抛物线与轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得对称轴； （3）根据抛物线顶点坐标即可求解； （4）根据二次函数的性质即可求解； （5）抛物线在轴上方的部分对应的的取值即为所求． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点， 顶点横坐标为， 由图可知顶点纵坐标为， 故顶点坐标为：； 【小问2详解】 解：对称轴为； 【小问3详解】 解：当时，y有最大值是； 【小问4详解】 解：当时，y随着x的增大而增大； 【小问5详解】 解：当时，． 22. 为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛．赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有______名，并补全图1的条形统计图； （2）在图2扇形统计图中，m的值为______，表示D等级的扇形的圆心角为______； （3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20；补全条形统计图如下： （2）40，72° （3） 【解析】 【分析】（1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，按要求补全条形图； （2）用C等级人数除以总人数即可求出m的值，用D等级人数除以总人数再乘以360°即可求解； （3）采用列表法列举即可求解． 【小问1详解】 根据题意得：3÷15%＝20（人）， 即参赛学生共20人， 则B等级人数（人）． 【小问2详解】 C等级的百分比为，即m＝40， 表示D等级的扇形的圆心角为， 故答案为：40，72°． 【小问3详解】 列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，女） 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， 则P（恰好是一名男生和一名女生）． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合是解答本题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数的图象于点B，AB=． （1）求反比例函数的解析式； （2）若P（，）、Q（，）是该反比例函数图象上的两点，且时，，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由． 【答案】（1）；（2）P在第二象限，Q在第三象限． 【解析】 【详解】试题分析：（1）求出点B坐标即可解决问题； （2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．利用反比例函数的性质即可解决问题； 试题解析：解：（1）由题意B（﹣2，），把B（﹣2，）代入中，得到k=﹣3，∴反比例函数的解析式为． （2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．理由：∵k=﹣3＜0，∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，∴P、Q在不同的象限，∴P在第二象限，Q在第三象限． 点睛：此题考查待定系数法、反比例函数的性质、坐标与图形的变化等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24. 阅读理解： 由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b） 示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3） 问题解决： 关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，用分解因式的办法求k的取值范围． 【答案】 （1）证明：∵在方程x2-（k+3）x+2k+2=0中， △=[-（k+3）]2-4×1×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）k的取值范围为k＜0． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵x2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0， ∴x1=2，x2=k+1． ∵方程有一根小于1， ∴k+1＜1，解得：k＜0， ∴k的取值范围为k＜0． 【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式． 25. 如图将小球从斜坡的O点抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=ax2+bx刻画，顶点坐标为（4，8），斜坡可以用y=x刻画． （1）求二次函数解析式； （2）若小球的落点是A，求点A的坐标； （3）求小球飞行过程中离坡面的最大高度． 【答案】（1）y=﹣x2+4x（2）（7，）（3）当小球离点O的水平距离为3.5时，小球离斜坡的铅垂高度最大，最大值是 【解析】 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（4，8）可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可； （2）联立两解析式，可求出交点A的坐标； （3）设小球飞行过程中离坡面距离为z，由（1）中的解析式可得到z和x的函数关系，利用函数性质解答即可． 【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为（4，8）， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为：y=﹣x2+4x； （2）联立两解析式可得： ， 解得： 或 ， ∴点A的坐标是（7，）； （3）设小球离斜坡的铅垂高度为z，则z=﹣x2+4x﹣x=﹣（x﹣3.5）2+， 故当小球离点O的水平距离为3.5时，小球离斜坡的铅垂高度最大，最大值是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解坡面的高度是解题关键，注意掌握配方法求二次函数最值得应用，难度一般． 26. 已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，半⊙A的半径为1，点C是半圆上任意一点，连结OC，把OC绕点O顺时针旋转6 0°到OD的位置，连结BD． （1）如图1，求证：AC＝BD． （2）如图2，当OC与半圆相切于点C时，求CD的长． （3）直接写出△AOC面积的最大值． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件易证△OAC≌△DOB，由全等三角形的性质即可得AC＝BD；（2）根据勾股定理求得OC的长，再证明△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得CD的长；（3）当h最大时，S△AOC最大，即当C在半圆A的中点时，h最大，此时h＝1，计算面积可得结论． 【详解】证明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝60° ∴∠COA+∠AOD＝∠BOD+∠AOD ∴∠COA＝∠BOD 在△OAC和△OBD中， ∵ ∴△OAC≌△DOB（SAS） ∴AC＝BD； （2）如图2，∵OC是⊙A的切线， ∴AC⊥OC，∠OCA＝90°， 在Rt△OCA中，由勾股定理得：OC2+AC2＝OA2， ∴OC2+12＝42， ∴OC＝， 在△COD中，∵OC＝OD，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OC＝； （3）设点C到OA的距离为h， ∵S△AOC＝OA•h， ∵OA＝4， ∴当h最大时，S△AOC最大，即当C在半圆A的中点时，h最大，此时h＝1， ∴S△AOC＝OA•h＝＝2． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转变换、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $