精品解析： 上海浦东新区民办欣竹中学2024-2025学年下学期九年级 数学月考试卷

上海浦东新区民办欣竹中学 2024学年度第二学期九年级数学学科考1试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦直径垂直于弦 B. 过三点可以确定一个圆 C. 两圆公共弦垂直平分连心线 D. 等边三角形外接圆的面积是内切圆面积的4倍 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个反比例函数与一个一次函数在同一坐标平面内的图像如图示，如果其中的反比例函数解析式为，那么该一次函数可能的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个命题中真命题是（ ） A. 矩形的对角线平分对角 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 梯形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据，，，，，的中位数是0 B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式 C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件 D. 在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到老K的概率是 6. 如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A. 4 B. C. D. 6 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 方程的解是______． 8. 公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将175亿表示为科学记数法为______个． 9. 若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为______． 10. 关于的一元二次方程没有实数根，那么取到最小整数是______． 11. 在最近上映的《哪吒之魔童闹海》已经突破百亿票房，剧中太乙真人送哪吒的风火轮可以看成两个等圆，那这两个等圆不可能存在的位置关系是______． 12. 若一组数据“”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为______． 13. 如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是______． 14. 如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示________． 15. 温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米． 16. 已知关于x的二次函数，在的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值为______． 17. 我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____． 18. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，CD是斜边AB的中线．将△ABC绕点A旋转，点B、点C分别落在点B′、点C′处，且点B′在射线CD上，边AC'与射线CD交于点E．如果＝3，那么线段CE的长是________________． 三、简答题（本大题共7题，满分18分） 19. 计算：． 20. 解关于的不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21. 如图，在中，，以点A圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． （1）若，求度数； （2）若，，求的长． 22. 综合与实践∶ 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图 1，在 中， （1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形． （3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长． 23. 如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． （1）求抛物线M的函数表达式； （2）如图2，抛物线M的顶点为D，连接，，，，求证：； （3）记抛物线M位于x轴上方的部分为，将向下平移个单位，使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出h的取值范围． 25. 如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． （1）求的值 （2）如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海浦东新区民办欣竹中学 2024学年度第二学期九年级数学学科考1试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 过三点可以确定一个圆 C. 两圆的公共弦垂直平分连心线 D. 等边三角形外接圆的面积是内切圆面积的4倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关性质，熟练掌握垂径定理，确定圆的条件，弧、弦、圆心角的关系，正多边形与圆，两圆的连心线的性质是解答本题的关键．根据根据垂径定理，确定圆的条件，两圆的连心线的性质，正多边形与圆的关系解答即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误； B．不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误； C．两圆的连心线垂直平分公共弦，故原说法错误； D．如图，为等边三角形，为等边三角形的外接圆与内切圆， ∴， ∴， ∴， ∴的外接圆的面积为，的内切圆的面积为， ∴等边三角形外接圆的面积是内切圆面积的4倍，故原说法正确； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可． 【详解】解：A、，故正确，符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 3. 一个反比例函数与一个一次函数在同一坐标平面内的图像如图示，如果其中的反比例函数解析式为，那么该一次函数可能的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断k的符号进而分析得出一次函数各部分符号，进而得出答案． 【详解】由反比例函数图象分布在二、四象限，可得：k＜0， 由一次函数的图象经过第一、二、四象限，可得：一次项系数为负数，常数项为正数， 故只有B选项正确． 故选B． 4. 下列四个命题中真命题是（ ） A. 矩形的对角线平分对角 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 梯形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 解：矩形的对角线不能平分对角，A错误； 根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，B正确； 梯形的对角线不互相垂直，C错误； 平行四边形的对角线平分，但不一定相等，D错误． 故选B． 点评：要根据矩形、菱形、梯形和平行四边形对角线的特点做出判断． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据，，，，，的中位数是0 B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式 C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件 D. 在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到老K的概率是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数据的调查分析、事件的分类、普查与抽样调查、概率等相关知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 利用中位数的定义可判断A；带有破坏性的调查，应当采用抽样调查方式，可判断B；利用确定事件的定义判断C；利用随机事件的概率可判断D；即可得到答案． 【详解】解：A、数据，，，，，的中位数是，故本选项错误； B、质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用抽样调查方式，故本选项错误； C、购买一张福利彩票中奖是一个不确定事件，故本选项错误； D、在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到老K的概率是，故本选项正确； 故选D． 6. 如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造与相关的直角三角形．先结合正方形的性质证明为等腰直角三角形，易得，设，则，在中根据勾股定理求得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， 设，则， 在中，可有， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是无理方程的解法，先两边平方，把方程化为整式方程，再解方程并检验即可． 【详解】解：∵， 两边平方得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为： 8. 公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将175亿表示为科学记数法为______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握其表示方法是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确的确定即可． 【详解】解：175亿．   故答案为： ． 9. 若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据弦分圆周长为两部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， ∴这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形， ∴这条弦的长度为． 故答案为：． 10. 关于的一元二次方程没有实数根，那么取到最小整数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程定义与根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴，且， 解得：； ∴的最小整数值为； 故答案为：． 11. 在最近上映的《哪吒之魔童闹海》已经突破百亿票房，剧中太乙真人送哪吒的风火轮可以看成两个等圆，那这两个等圆不可能存在的位置关系是______． 【答案】内切与内含 【解析】 【分析】本题考查的是两圆的位置关系，根据两个等圆的半径相等，可得两个等圆的位置关系不可能是内切与内含． 【详解】解：剧中太乙真人送哪吒的风火轮可以看成两个等圆，那这两个等圆不可能存在的位置关系是：内切与内含； 故答案为：内切与内含 12. 若一组数据“”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数据的平均数、众数及方差，先根据这组数的平均数及众数求出都是，再利用方差公式计算即可． 【详解】∵一组数据的众数为5， ∴中至少有一个是5， ∵一组数据的平均数为， ∴， ∴， ∴都是， ∴这组数据的方差为； 故答案为：． 13. 如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心角的度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴正六边形的中心角是， 故答案为：36． 14. 如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵向量，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键． 15. 温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接， ， 设半径为米，则米， ∵跨度为24米，， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴这个弧形石拱桥设计的半径为米， 故答案为：． 16. 已知关于x的二次函数，在的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值为______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据题意先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x=-1时，y=7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值． 【详解】解：∵y=x2-4x+m=（x-2）2+m-4， ∴对称轴为直线x=2，抛物线开口向上， ∵二次函数在-1≤x≤3取值范围内最大值7， 当x=-1时，y=7， ∴7=（-1）2-4×（-1）+m， 解得：m=2， ∴当x=2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2-4=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 17. 我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC． 易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线， ∵△OBC是等边三角形 ∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°， ∵OE=OC ∴∠OEC=∠OCE， ∵∠BOC=∠OEC+∠OCE ∴∠OEC=∠OCE=30° ∴∠BCE=90°， ∴△BEC是直角三角形 ∴=cos30°=， ∴λ6= 考点：1.正多边形与圆；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数 18. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，CD是斜边AB的中线．将△ABC绕点A旋转，点B、点C分别落在点B′、点C′处，且点B′在射线CD上，边AC'与射线CD交于点E．如果＝3，那么线段CE的长是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，作出图形，求出AD、CD、AE．利用相似三角形性质求出，即可利用EC＝B′C﹣B′E求解． 【详解】解：根据已知，作出的图形 ∵△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB的中线． ∴AD＝CD＝DB＝AB＝3， ∴∠DAC＝∠ACD， 根据旋转性质：∠B′AE＝∠B′CA， ∴△B′AE∽△B′CA， ∴， ∵=3， ∴， ∴， ∴B′C＝8，B′E＝， ∴EC＝B′C﹣B′E＝8﹣＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题掌握的压轴题． 三、简答题（本大题共7题，满分18分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，零次幂，化简绝对值，先计算二次根式的除法，零次幂，绝对值，乘方运算，再合并即可． 【详解】解： ； 20. 解关于的不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示解集，先求出两个不等式的解集，再求其公共解并表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得，， ， 解得， 由②得，， ， ， 解得， 所以不等式组的解集为：， 把解集在数轴上表示出来如下： 21. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可． （2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，进而利用垂径定理可得结论 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作，垂足为F． ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的内角和定理，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 22. 综合与实践∶ 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图 1，在 中， （1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形． （3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长． 【答案】（1）72，；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质即可得出答案， （2）先证明，可得，进而得出一元二次方程，求出解即可； 对于拓展应用：根据菱形的性质得出是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，可求出，进而求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可知． ， ； 根据折叠可知，，， ， ， ， ． 故答案为：72，； （2）证明：，， ． 由折叠知， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：（舍去）， ； 拓展应用：解：菱形较长对角线． 如图3，在上截取，连接， 得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形， 根据黄金三角形的底与腰的比值为，由， 可得， ． ，， ， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，黄金分割，相似三角形和性质和判定，菱形的性质，解一元二次方程等，理解黄金三角形并应用是解题的关键． 23. 如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交的延长线于，证明，得出，，由题意得出，再由等腰三角形的性质即可得出答案； （2）由角平分线的定义结合等腰三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，，，证明， 得出，结合，即可得证． 【小问1详解】 证明：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． （1）求抛物线M的函数表达式； （2）如图2，抛物线M的顶点为D，连接，，，，求证：； （3）记抛物线M位于x轴上方的部分为，将向下平移个单位，使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出h的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解抛物线解析式，求解抛物线与坐标轴的交点，抛物线的平移，相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键． （1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出顶点坐标，分别计算出，，，的长，利用三边对应成比例的两个三角形相似即可判定； （3）先求出直线的解析式，根据题意可知，求出平移后的解析式，将交点问题转化为方程，解方程后根据解的情况求解即可． 【小问1详解】 解：把、分别代入， 得：， 解得：， 抛物线M的函数表达式为； 【小问2详解】 证明， 点， 令， 解得：，， 点B的坐标为， 、， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 把点、分别代入中，得：， 解得：， 直线的解析式为， 将向下平移个单位， 则平移后的解析式为， 如图， ， 当与没有交点时， 没有实数根， 即没有实数根， ， 解得：， 当与线段只有两个交点时，如图， 即方程有两个负实数根， ， 解得：， h的取值范围为． 25. 如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． （1）求的值 （2）如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 【答案】（1） （2）①y关于x的函数表达式为；②当x为时的值最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）连接，先求出的长，可得，，由此可求的长，结合三角形面积公式即可求解； （2）①证明可得，即可求解； ②如图，连接，证明，可得，得到，然后用含x的代数式表示出，最后根据二次函数的最值求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵切半圆于点D， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∵， ∴，， ∴； 小问2详解】 解：①∵为半圆O的直径，，设， ∴， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点G，如图2， ∵， ∴， ∴. ∵P为线段上一点， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； ②连接，如图3， ∵圆周角所对的弧是， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：， ∴当x为时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的应用，求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，准确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$