精品解析：吉林省第二实验学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

吉林省第二实验学校2024-2025 学年度下学期九年级第一次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（共8小题） 1. 如图，数轴上表示的点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点是点C， 故选：C． 2. 如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的表面展开图，从这个几何体的表面展开图可以看出：这个几何体的底面是正方形，侧面是个等腰三角形，可知这个几何体是一个四棱锥． 【详解】解：从这个几何体的表面展开图， 可以看出这个几何体的底面是正方形，侧面是个等腰三角形， 这个几何体是四棱锥． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、乘方运算、合并同类项、完全平方公式，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项不能合并，故错误，不合题意； B.，故正确，符合题意； C.，故错误，不合题意； D.，故错误，不合题意； 故选：B． 4. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设共有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查古代数学问题，涉及列一元一次方程解决应用题，设共有个人，根据等量关系列出方程即可得到答案，读懂题意，由物品总价值不变建立等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设共有个人，则可列方程为， 故选：A． 5. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，一枚运载火箭从地面L 处发射，雷达站R 与发射点L 水平距离为，当火箭到达A 点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度约为（　　）． A. 6.4 B. 4.8 C. 6.2 D. 10.4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，已知，用尺规进行如下操作： ①以点B为圆心，长为半径画弧； ②以点D为圆心，长为半径画弧； ③两弧在上方交于点C，连接，． 可直接判定四边形为平行四边形的依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【详解】解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：A． 8. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 在范围内，y随x的增大而减小， 当时，， 即若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是米． 二、填空题（共6小题） 9. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意， 解得：． 故答案为：． 10. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，． 故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 12. 如图，已知的弦，，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理可知圆心角∠AOC的度数，利用扇形面积和三角形面积求出阴影部分面积即可. 【详解】连接OA、OC， ∵∠ABC、∠AOC是 所对的圆周角和圆心角，∠ABC=45°， ∴∠AOC=2∠ABC=90°， ∴OA=AC=， ∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=-=-1（cm2） 故答案为-1（cm2） 【点睛】本题考查圆周角定理及扇形面积，同弧所对的圆周角的度数是圆心角的一半，S扇=（n为圆心角，r为半径），熟记公式是解题关键. 13. 已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为，③，④．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出和长度，最后通过面积法即可求证④的结论正确；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②不对. 【详解】解： 为正方形， ，， ， ， . , , ， ， . 平分， . ， . ， ， 垂直平分， 故①正确. 由①可知，，， ， ， ， 由①可知， . 故③正确. 为正方形，且边长为4， ， 在中，. 由①可知，， ， . 由图可知，和等高，设高为， ， ， ， . 故④正确. 由①可知，， ， 关于线段的对称点为，过点作，交于，交于， 最小即为，如图所示， 由④可知的高即为图中的， . 故②不正确. 综上所述，正确的是①③④. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点. 三、解答题（共10个小题） 15. 先化简，再求值： 其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的每一项因式分解，约分是解题的关键.原式利用除法法则变形，约分后得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 16. 在五四青年节即将来临之际、某校开展以“小小演说家”为主题的大型演讲比赛，九年级准备从小张、小明两名男生和小美一名女生中随机抽选学生参赛． （1）事件“小美参赛”是 事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）若随机选出两名学生参加比赛，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据事件的分类解答即可； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据九年级准备从小张、小明两名男生和小美一名女生中随机抽选学生参赛， 则事件“小美参赛”是随机事件；． 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，选中一男一女的有4种情况， 选中一男一女的概率为． 17. 某文具店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元就可享受打折优惠．小韦准备买6支钢笔和若干本笔记本．已知每支钢笔15元，每本笔记本8元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？ 【答案】她至少买14本笔记本才能享受打折优惠 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设她买x本笔记本才能享受打折优惠，根据满200元就可享受打折优惠列出不等式求解即可． 【详解】解：设她买x本笔记本才能享受打折优惠， 由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的最小值为14， ∴她至少买14本笔记本才能享受打折优惠 答：她至少买14本笔记本才能享受打折优惠． 18. 如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴且， ∴且， 则四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查菱形的性质、等边三角形性质和矩形的判定， （1）可证明是等边三角形，根据中点得出，进一步求得四边形是平行四边形，即可得出答案； （2）利用等边三角形求得菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是等边三角形，， ∴． 19. 如图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，已知三个圆的圆心O均在格点上，且经过A、B、P三个格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． （1）在图①中，过点 A 作 的切线； （2）在图②中，作点 P 关于直径所在直线的对称点M； （3）在图③中，已知点 Q 为上任意一点（不与点 P 重合），作点Q 关于直径 所在直线的对称点N． 【答案】（1） 解：如图所示，直线为所求； （2） 解：如图所示，点为所求； （3） 解：如图所示，点为所求． 【解析】 【分析】本题考查格点作图，垂径定理的应用及垂直平分线的性质， （1）利用网格线的特点，取格点，连接，易得，直线即为所求； （2）同理（1）取格点，连接交于点M，易得，由垂径定理即可得到点M即为所求； （3）取格点G，同理（1）作交于点F，连接交于点H，连接并延长交于点N，点N即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．学生成绩的统计图如图所示（数据分为五组：，，，，）． b．成绩在这一组的是 80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89 c．成绩不低于85分为优秀． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查采用的方式是______，样本容量是______； （2）补全频数分布直方图； （3）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数． 【答案】（1）抽样调查，50； （2） 补全频数分布直方图如下： （3）160名 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查的特点即可作答，结合条形统计图和扇形统计图的数据，利用分段的人数除以其百分比即可求解； （2）先统计出成绩在这一组的共有16名，即可求出成绩在这一组的人数，据此补全图形即可； （3）七年级总人数乘以样本中优秀人数的占比即可作答． 【小问1详解】 通过题意可知，此次是抽样调查， 样本容量：， 故答案为：抽样调查，50； 【小问2详解】 成绩在这一组的共有16名， 成绩在这一组的有（名）． 【小问3详解】 ． 答：该校七年级学生达到优秀的有160名． 【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图的信息关联，利用样本估计总体等知识，注重数形结合，加强条形统计图、扇形统计图的数据关联，是解答本题的关键． 21. 综合探究： 探究主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 探究任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： （1）根据表中的信息，可以推断最大心率（次/分）是年龄（周岁）的一次函数，求关于的函数表达式． （2）已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 ①20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次/分； ②30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制什么范围？ 【答案】（1） （2）①140，160；②小美的运动心率应该控制在114次/分至133次/分 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是正确求出表达式． （1）设关于的函数关系式为（、为常数，且），然后利用待定系数法求解即可； （2）①将代入，进而求解即可； ②将代入，进而求解即可． 【小问1详解】 设关于的函数关系式为（、为常数，且）． 将，和，分别代入， 得，解得， 关于的函数关系式为； 【小问2详解】 ①当时，， （次/分），（次/分）， 小李的运动心率应该控制在140次/分至160次/分， 故答案为：140，160； ②当时，， （次/分），（次/分）． 小美的运动心率应该控制在114次/分至133次/分． 22. 【知识背景】 如图①、在中，分别以 为边向外作等腰直角 和等腰直角，，连结，可得出，其依据是 ．（填序号） ①；②； ③；④ ；⑤ 【方法探索】 数学课上，老师提出了一个问题：如图②，已知等边，点D是外一点，连接，若 ，求的长． 老师让同学们分组讨论，探索解题的方法.小铭在讨论的过程中想出一个好办法，如图③所示，以为边作等边，连接．请你根据这个解题思路，完善解题过程． 【运用创新】 如图④， 为的直径，，C是上异于A，B 的任一点，连接，点D 是外一点，且，连接．若在点 C 运动过程中，始终有 ，连接，若线段长度的最大值为a，最小值为b，则 的值为 ． 【答案】知识背景：②；方法探索：；运用创新： 【解析】 【分析】知识背景：根据等腰直角三角形的性质可得，推出，利用即可得出，进而得解； 方法探索：利用等边三角形的性质证明，推出，再根据，求出，利用勾股定理求出，即可解答； 运用创新：过点A作，使，连接．同理知识背景得：，推出，当三点共线，且点C在点O上方时，有最大值，即有最大值，当三点共线，且点C在点O下方时，有最小值，即有最小值，即可解答． 【详解】知识背景： 解：∵ 和是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， 则其依据是②； 方法探索：∵ 和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 运用创新： 如图，过点A作，使，连接． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理知识背景得：， ∴， 当三点共线，且点C在点O上方时，有最大值，即有最大值，如图， ∵， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为； 当三点共线，且点C在点O下方时，有最小值，即有最小值，如图， 同理：线段长度的最小值为； 则 ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，点到圆上距离，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等时解题的关键． 23. 在 中， ，在 上取一点，使 ，点 在边 上运动，点在射线上运动，在运动过程中使 ．当点到达点 时，点、点同时停止运动． （1）线段 的长为 ； （2）当 时，求的长； （3）当点 和点到的距离相等时，求 的长． （4）作点关于直线的对称点 ， 当直线 经过 一边中点时，直接写出的长．（写出一个即可） 【答案】（1） （2） （3）或； （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据已知得出，进而得出； （3）过点作于点，得出，分两种情况讨论，当在同侧时，当在异侧时，根据相似三角形的性质，即可求解； （4）作关于对称点，连接并延长，交于点，则，是的中点，则，分两种情况讨论，过的中点和过的中点，分别画出图形，根据相似三角形的中即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴可设，， ∴， 当时，， ∵，设，则 ∴ ∴， ∴， 即， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∵，设，则 ∴ ∵是等腰直角三角形，则 ∴是等腰三角形， ∴ ∴， ∵ ∴, 如图，当在同侧时， ∵点 和点到的距离相等， ∴ ∴ ∴ ∵ 设， ∴， ∴ 解得： ∴ 如图，当在异侧时，过点作交于点，设与交于点， ∵与到直线的距离相等，设距离为 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 设， ∴ ∴ 解得： ∴ 综上所述，或； 【小问4详解】 解： ∵ 设， 如图，作关于对称点，连接并延长，交于点，则，是的中点，则 ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴； 如图所示，是的中点，设交于点，则， ∵ ∴ ∴ ∴ 则 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 综上所述， 或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，分类讨论是解题的关键． 24. 已知二次函数 （b、c为常数）的顶点为， A，B两点为二次函数上不重合的两个点，其横坐标分别为m，（m为常数）． （1）求二次函数的解析式； （2）抛物线在A、B两点之间的部分记为图像G（包括边界）． ①在图像G中，当y随x的增大而增大时，求m的取值范围； ②若图像G 的最大值和最小值的差为，求m的值． （3）若点A 关于原点的对称点为点P，以 为对角线作矩形，且轴，当点A 在第四象限时，抛物线在矩形内部（包含边界）的最低点为E，左侧的最高点为F．当点E到直线 的距离等于点F 到y轴的距离时，直接写出 m的值． 【答案】（1） （2）①或；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法和对称轴进行求解即可； （2）①由题意可得由题意得，再分点B在点A的右侧时，点B在点A的左侧时，解不等式组求解即可；②分点在对称轴右侧，点在对称轴左侧，点在对称轴两侧，和点A或点B是顶点，四种情况讨论即可； （3）分两种情况讨论：当，当，由题意得求出点的坐标，根据题意进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的顶点为，则对称轴为直线， ∴，即， 解得：， ∵二次函数过点为， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵抛物线的对称轴为直线，点A的横坐标为m，点B的横坐标为，在图像G中，y随x的增大而增大，且， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 当点B在点A的右侧时，则， ∴， ∴； 当点B在点A的左侧时，则， ∴， ∴； 综上：m的取值范围为或； ②当点在对称轴右侧时， 则，解得：， 当，即， 则， ∵图像G 的最大值和最小值的差为，且， ∴，即（无解）， 当，即， 则， ∴，即， 解得：（舍去）或，符合题意； 当点在对称轴左侧时， 则（无解）， 当点在对称轴右侧，点B在对称轴左侧时， 则， 解得：， 当，即， 则， ∴ ∴， 解得：或（舍去） 当，即， 则， ∴ ∴（无解）， 当点在对称轴左侧，点B在对称轴右侧时， 则， 解得：， 当，即（不存在这种情况）， 当，即， 则， ∴ ∴（无解）， 当时，则，此时，（舍去）； 当时，则，此时，（舍去）； 综上，m的值为或； 【小问3详解】 解：由题意得，则， ∵四边形是矩形，抛物线对称轴为， ∴，点纵坐标为， ∵点在第四象限，则，且， 令，解得：， ∵在中，，图象开口向上， ∴， ∴， ∵ ， 当时，有最小值； 当时，有最大值； ∴； 如图，当时， ∴点E到直线的距离为， 令，即， 解得：， ∵， ∴的最小值为， ∵点在第二象限， ∴点横坐标为， ∴点到y轴的距离为， ∴，即或， 整理得：或， 解得（舍去）或（舍去）（舍去）； 则； 当时，如图， 此时，点重合，点F的横坐标与点P的横坐标相同，则点F的横坐标为， ∵，且抛物线与y轴交点为， ∴点E到直线的距离为， ∴点F到y轴的距离为， ∴， 解得（舍去）； 综上，． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，二次函数与几何综合，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验学校2024-2025 学年度下学期九年级第一次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（共8小题） 1. 如图，数轴上表示的点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 2. 如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 圆锥 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设共有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一枚运载火箭从地面L 处发射，雷达站R 与发射点L 水平距离为，当火箭到达A 点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度约为（　　）． A. 6.4 B. 4.8 C. 6.2 D. 10.4 7. 如图，已知，用尺规进行如下操作： ①以点B为圆心，长为半径画弧； ②以点D为圆心，长为半径画弧； ③两弧在上方交于点C，连接，． 可直接判定四边形为平行四边形的依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 8. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 二、填空题（共6小题） 9. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是___________． 10. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为______． 12. 如图，已知的弦，，则图中阴影部分的面积是________． 13. 已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是______． 14. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为，③，④．其中正确的有______．（填序号） 三、解答题（共10个小题） 15. 先化简，再求值： 其中． 16. 在五四青年节即将来临之际、某校开展以“小小演说家”为主题的大型演讲比赛，九年级准备从小张、小明两名男生和小美一名女生中随机抽选学生参赛． （1）事件“小美参赛”是 事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）若随机选出两名学生参加比赛，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率． 17. 某文具店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元就可享受打折优惠．小韦准备买6支钢笔和若干本笔记本．已知每支钢笔15元，每本笔记本8元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？ 18. 如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 19. 如图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，已知三个圆的圆心O均在格点上，且经过A、B、P三个格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． （1）在图①中，过点 A 作 的切线； （2）在图②中，作点 P 关于直径所在直线的对称点M； （3）在图③中，已知点 Q 为上任意一点（不与点 P 重合），作点Q 关于直径 所在直线的对称点N． 20. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．学生成绩的统计图如图所示（数据分为五组：，，，，）． b．成绩在这一组的是 80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89 c．成绩不低于85分为优秀． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查采用的方式是______，样本容量是______； （2）补全频数分布直方图； （3）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数． 21. 综合探究： 探究主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 探究任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： （1）根据表中的信息，可以推断最大心率（次/分）是年龄（周岁）的一次函数，求关于的函数表达式． （2）已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 ①20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次/分； ②30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制什么范围？ 22. 【知识背景】 如图①、在中，分别以 为边向外作等腰直角 和等腰直角，，连结，可得出，其依据是 ．（填序号） ①；②； ③；④ ；⑤ 【方法探索】 数学课上，老师提出了一个问题：如图②，已知等边，点D是外一点，连接，若 ，求的长． 老师让同学们分组讨论，探索解题的方法.小铭在讨论的过程中想出一个好办法，如图③所示，以为边作等边，连接．请你根据这个解题思路，完善解题过程． 【运用创新】 如图④， 为的直径，，C是上异于A，B 的任一点，连接，点D 是外一点，且，连接．若在点 C 运动过程中，始终有 ，连接，若线段长度的最大值为a，最小值为b，则 的值为 ． 23. 在 中， ，在 上取一点，使 ，点 在边 上运动，点在射线上运动，在运动过程中使 ．当点到达点 时，点、点同时停止运动． （1）线段 的长为 ； （2）当 时，求的长； （3）当点 和点到的距离相等时，求 的长． （4）作点关于直线的对称点 ， 当直线 经过 一边中点时，直接写出的长．（写出一个即可） 24. 已知二次函数 （b、c为常数）的顶点为， A，B两点为二次函数上不重合的两个点，其横坐标分别为m，（m为常数）． （1）求二次函数的解析式； （2）抛物线在A、B两点之间的部分记为图像G（包括边界）． ①在图像G中，当y随x的增大而增大时，求m的取值范围； ②若图像G 的最大值和最小值的差为，求m的值． （3）若点A 关于原点的对称点为点P，以 为对角线作矩形，且轴，当点A 在第四象限时，抛物线在矩形内部（包含边界）的最低点为E，左侧的最高点为F．当点E到直线 的距离等于点F 到y轴的距离时，直接写出 m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $