精品解析：云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

玉溪一中高2026届高二下学期月考试卷 数 学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式求得正确答案. 【详解】因为，所以. 故选：B 2. 已知等比数列的前项和为，若公比，，则（ ） A. 49 B. 56 C. 63 D. 112 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式推导出与公比的关系，再结合已知条件求出的值. 【详解】∵，∴. 故选：B. 3. 郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 考虑基本事件总数时，按照指挥交通组选人，打扫街道组选人，计算基本事件总数，先计算甲乙在同一组的概率，其对立事件的概率即为所求. 【详解】根据指挥交通组选人打扫街道组选人，基本事件总数为， 甲乙在同一组包含基本事件总数为2，其概率为， 其对立事件：“甲、乙不在同一组” 所以甲、乙不在同一组概率为 故答案为：C 【点睛】此题考查古典概型，关键在于准确算出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，其中考查基本计数原理，解题中合理使用对立事件概率关系能降低解题难度. 4. 设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行时直线的方向向量和法向量的位置关系判断. 【详解】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立， 当时，则必有，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，根据圆心到直线的距离得到圆与直线的位置关系，进而求解. 【详解】因为圆可化为， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以点到直线距离的最小值是. 故选：C. 6. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求解函数的最小值，根据最小值可得答案. 【详解】， 令，解得：， 令，解得：， 故在递减,在递增， 故， 若恒成立， 则，解得， 故选：A. 7. 已知函数的定义域为R，其导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，求导确定单调性，即可求解. 详解】构造函数，R， 则，所以函数为R上的减函数， 则，即，所以，A错误，B正确； 因为，所以，即， 所以，C错误， 因为，可得：， 所以，D错误． 故选：B. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【详解】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用是的中垂线、的周长与的周长之差得到关于的方程组求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在处的瞬时变化率为3，则 B. 当时，函数在区间上的最小值为1 C. 若在上单调递增，则 D. 当时，函数图象的对称中心是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，得到，由，求得，可判定A错误；当时，得到，求得的单调区间，得出的最小值，可判定B正确；把函数在上单调递增，转化为恒成立，结合二次函数的性质，可判定C错误；当时，得到，求得对称轴为，且，得出图像的对称中心，可判定D正确. 【详解】由函数的定义域为，可得， 对于A中，因为在处的瞬时变化率为3，可得， 解得，所以A错误； 对于B中，当时，可得， 当或时，；当时，， 函数在区间上单调递增，在上单调递减， 又由，所以在区间上最小值为，所以B正确； 对于C中，函数在上单调递增，则恒成立， 则满足，解得，所以C错误； 对于D中，当时，可得，其对称轴为，且， 所以函数图像的对称中心是，D正确. 故选：BD. 10. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是17 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及求和公式一一判定选项即可. 【详解】对于A，因为等差数列中，，， 所以，，，A正确； 对于B，由上知显然当时，取得最大值，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，， 故成立的最大自然数，D错误． 故选：ABC 11. 如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ） A. 圆台的体积为 B. 圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为 C. 过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 D. 过三点的平面与圆台下底面的交线长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出圆台的高，根据体积公式可得选项A正确；把圆台补成圆锥，根据母线与平面所成的角最大可得选项B正确；利用两条母线所在直线夹角为时截面面积最大可得选项C错误；找出过三点的平面与圆台下底面的交线，结合垂径定理可得选项D正确. 【详解】A.∵，∴圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， ∴圆台的高， ∴圆台的体积，A正确. B.由，，得，由得，. 如图，将圆台补成圆锥，顶点记为，底面圆的圆心记为，连接， ∵为圆弧的中点，∴. ∵平面，平面，∴， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面， 此时母线所在直线与平面所成的角最大，最大为，，B正确. C.由得，，∴， 当两条母线所在直线夹角为时，截面面积最大，最大值为，C错误. D.如图，在梯形中，连接并延长交的延长线于点，连接交底面圆于点，则为截面与底面圆的交线. 由得，，，∴，， 取中点，则， ∴，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的焦点坐标为______. 【答案】（0,2） 【解析】 【详解】试题分析：抛物线方程可化为，则，所以焦点坐标为. 考点：抛物线的标准方程与焦点坐标. 13. 已知数列满足且则的通项公式_______. 【答案】 . 【解析】 【分析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再由等差数列通项公式计算可得. 【详解】由可知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即可得，所以. 故答案为： 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得： ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解； （2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解. 小问1详解】 由正弦定理得. 因为，所以，，. 因为在中，，所以，. 【小问2详解】 由，及余弦定理. 得，解得或（舍） 所以，. 16. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）求在上的最大值． 【答案】（1）极大值，无极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解； （2）分，和三种情况讨论得出函数在上的单调性，再根据函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 ， 当时，，所以函数在上单调递减， 此时，； 当时，令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，， 所以函数在上单调递增，此时，， 综上所述，. 17. 已知椭圆经过点 （1）求的方程和离心率； （2）若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入得到关于的方程组，解出即可得的方程，再求离心率即可； （2）易得直线方程为，求出交点坐标，再求面积即可. 【小问1详解】 由题意得解得 所以的方程为． 的离心率为． 【小问2详解】 由题意知直线的方程为， 联立得得或所以 观察可知是等腰三角形，且与轴平行， 所以． 18. 已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. （1）求和； （2）求和； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1），; （2），; （3） 【解析】 【分析】（1）由韦达定理即可求解； （2）由（1）求得，再结合韦达定理即可求解； （3），通过分组、裂项相消求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，① 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，② 由①②，解得； 所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 则，对于方程， 由韦达定理得，即， 【小问3详解】 ， 所以 . 19. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答. （2）根据“1跃点”函数的定义，列出方程，求出该方程在上有两个不同的解的实数的范围作答. （3）将问题转化为方程，即有一个实数解，再构造函数，借助导数求解作答. 【小问1详解】 函数的导函数为， 因为函数，是“跃点”函数， 则方程有解，即有解， 而，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 函数的导函数为， 依题意，方程，即在上有两个不等实根， 令，因此函数在上有两个不同零点， 则，解得或， 所以实数的取值范围是. 小问3详解】 函数的导函数为， 因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”， 则方程，显然，所以在上恰有一个实数根， 令，求导得， 由，得；由，得且，， 于是函数在上单调递减， 恒成立，函数的取值集合是， 在上单调递减，函数的取值集合是， 在上单调递增，函数的取值集合是，函数的图象，如图， 当时，直线与函数的图象有唯一公共点， 即方程恰有一个实数根，从而， 所以b的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 玉溪一中高2026届高二下学期月考试卷 数 学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列的前项和为，若公比，，则（ ） A. 49 B. 56 C. 63 D. 112 3. 郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为． A. B. C. D. 4. 设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为R，其导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在处的瞬时变化率为3，则 B. 当时，函数在区间上的最小值为1 C. 若在上单调递增，则 D. 当时，函数图象的对称中心是 10. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是17 11. 如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ） A. 圆台的体积为 B. 圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为 C. 过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 D. 过三点的平面与圆台下底面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线焦点坐标为______. 13. 已知数列满足且则通项公式_______. 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 16. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）求在上的最大值． 17. 已知椭圆经过点 （1）求的方程和离心率； （2）若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 18. 已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. （1）求和； （2）求和； （3）设，求数列的前项和． 19. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$