精品解析：四川省巴中市恩阳区2024--2025学年下学期3月月考九年级数学试卷

2025年春学期九年级3月学情调研 数学试卷 （全卷满分150分，120分钟完卷） 第I卷选择题（共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑） 1. 在实数，有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案． 【详解】∵是有理数，其4个 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 3. .下列函数中，自变量x的取值范围为的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件分别判定即可． 【详解】解：A中分式分母不能为零．所以1-x≠0.则x取值范围为x≠1.同理，B中x≠0. C中根号下的数值要为非负数，易知1-x≥0.则x取值范围为x≤1.而D中只判断根号x的取值范围与C相似，但由于根号的位置为分式分母．故舍去1-x=0的情况，则x的取值范围为x＜1. 选D． 【点睛】本题，主要考查学生解函数自变量取值范围的学习，需要结合分式即实数的意义等知识点． 4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数轴得到实数，，的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可. 【详解】∵，∴，故A选项错误； 数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B选项正确； ∵，，∴，故Ｃ选项错误； ∵，，，∴，故D选项错误． 故选：B. 【点睛】主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算.观察数轴是解题的关键. 5. “红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（ ）． A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案． 【详解】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分， 7个有效评分与5个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变． 故选:A 【点睛】此题考查中位数的定义，解题关键在于掌握其定义． 6. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 7. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书得到每个B型包装箱可以装书（x+15）本，再利用数量=总数÷每个包装箱可以装书数量，即可得出关于x的分式方程． 【详解】∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，依题意得： 故选：C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 8. 如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若．．则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性质及已知条件即可求得△CEG的面积． 【详解】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE ∴△CEG∽△ADG ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质是本题的关键． 9. 如图，点在半圆上，直径，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，得到的面积与的面积相等，从而把阴影部分的面积转化为扇形的面积，再根据圆周角定理求出，最后代入扇形面积的计算公式求出即可． 【详解】解：点B在半圆O上，是半圆O的直径，， ， 点O是的中点， 线段是的中线， ， 阴影部分面积扇形的面积， ， ， 阴影部分面积为：． 故选：A． 10. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，若是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A. B. C. 25 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出和的长是解题的关键．作于点F，根据等腰三角形的性质求出的长，再根据黄金分割点的定义求出、的长度，得到中的长，利用三角形面积公式即可解题． 【详解】解：过点A作于点F，如图所示： ∵， ∴， 在，， ∵D是边的两个“黄金分割”点， ∴即， 解得， 同理， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如图，矩形的面积为28，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…依此类推，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设矩形ABCD的面积为S，则平行四边形AOC1B的面积=矩形ABCD的面积=S，平行四边形AO1C2B的面积=平行四边形AOC1B的面积=，…，平行四边形AOn-1CnB的面积= ，平行四边形AOnCn+1B的面积=，即可得出结果． 【详解】解：设矩形ABCD的面积为S 根据题意得：平行四边形AOC1B的面积=矩形ABCD的面积=S 平行四边形AO1C2B的面积=平行四边形AOC1B的面积=，… 平行四边形AOn-1CnB的面积= ∴平行四边形AOnCn+1B的面积= ∴平行四边形的面积= 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、规律推论等知识，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质，得出平行四边形AOnCn+1B的面积=是解题的关键． 12. 如图，二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴有2个交点，其中一个交点坐标为，与轴交点纵坐标在1和2之间(不包括1和2)．有下列结论：①；②；③；④(为非负数)；⑤为任意实数)；⑥．其中正确的结论有(　　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是准确识图，熟练运用数形结合思想进行推理判断．根据抛物线的图象和顶点坐标、经过，得出关于二次函数系数的相关式子，利用式子之间的关系推导即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，且与y轴交点在1和2之间， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，代入解析式得，； 又∵，代入上式得，，即； ∵，即，解得，，故②正确； 由图象可知，当时，；当时，； ∴， ∴ ，即 ，故③正确； ∵ ，且抛物线开口向下， ∴ ，即，故④正确； ∵抛物线开口向下，，顶点坐标为，纵坐标最大， ∴，，，故⑤错误； ∵顶点坐标为， ∴， ∵， ∴，即，故⑥正确； 综上所述：正确的有①②③④⑥，共5个． 故选：D． 第II卷非选择题（共102分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 13. 若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长． 根据题意得圆锥的母线长为，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为：5． 14. 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】17 【解析】 【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案． 【详解】解：解方程得x1=2，x2=6， 当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去； 当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17. 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 15. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 【答案】或 【解析】 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 17. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，过作交延长线于．若，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由作图知，平分，得到，根据平行线的性质得出，求得，得到，作于，根据等腰三角形的性质得出，，根据相似三角形的判定与性质计算即可得出答案． 【详解】解：由作图知，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 如图，作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质，正确地作出辅助线是解此题的关键． 18. 如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD'E'，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接CE′，过B作BH⊥CE′于H，根据等腰直角三角形的性质可得AB＝BC＝，BD＝BE＝2，根据旋转的性质可得∠D′BD＝∠ABE′，D′B＝BE′＝BD＝2，根据角的和差关系可得∠ABD′＝∠CBE′，利用SAS可证明△ABD′≌△CBE′，可得∠D′＝∠CE′B＝45°，可得出BH＝E′H＝BE′＝，利用勾股定理可求出CH的长，进而可得CE′的长. 【详解】如图，连接CE′，过B作BH⊥CE′于H， ∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝， ∴AB＝BC＝，BD＝BE＝2， ∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′， ∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′， ∴∠ABD′＝∠CBE′， 在△ABD′和△CBE中 ∴△ABD′≌△CBE′（SAS）， ∴∠D′＝∠CE′B＝45°， 过B作BH⊥CE′于H， 在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝BE′＝， 在Rt△BCH中，CH＝=， ∴CE′＝， 故答案为 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题关键. 三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上） 19. （1）计算：． （2）求不等式组的解集． （3）先化简，再求值：，选一个你喜欢的数代入求值． 【答案】（1）； （2）； （3），（取值不唯一）取时，原式． 【解析】 【分析】（1）先结合乘方运算、零指数幂、负整数指数幂运算、特殊三角函数值、求一个数的绝对值进行计算，再结合实数的加减运算法则即可得解； （2）结合不等式性质分别得出式和式的解，再综合起来即可得到该不等式组的解集； （3）结合公式法分解因式、分式的混合运算法则进行化简，再选值代入即可． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）由可得，， ， ， 由可得，， ， ， ， 综上，不等式组的解集为； （3）原式， ， ， ， ， 取代入，则原式． 【点睛】本题考查的知识点是整数指数幂的运算、特殊三角函数值、求一个数的绝对值、实数的加减运算法则、解不等式组、分式的化简求值、公式法分解因式，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 20. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩（x） 人数 A 15 B a C 18 D 7 根据图表信息，回答下列问题： （1）表中__________；扇形统计图中，C等级所占的百分比是_________；D等级对应的扇形圆心角为________度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有_______人． （2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率 【答案】（1）20,30%，42°，450人；（2） 【解析】 【分析】（1）先由A等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到a的值，再根据C和D占总人数的比例，求出百分比或圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为A等级的人数； （2）先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解． 【详解】解：（1）总人数为人， ∴， C等级所占的百分比， D等级对应的扇形圆心角， 若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A等级的学生共有人； （2）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 甲乙 乙丙 乙丁 丙 甲丙 乙丙 丙丁 丁 甲丁 乙丁 丙丁 共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种， ∴P(甲、乙两人至少有1人被选中)． 【点睛】本题考查统计与概率，能够从扇形统计图和统计表中获取相关信息是解题的关键． 21. 图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． （1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，，然后在中，根据勾股定理求出即可； （2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作，垂足为E， 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ，， ，． ， ． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为； 【小问2详解】 解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G． 由题意可知，四边形为矩形， ． 在中，， ． ， ， ，． ，， ，． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为． 22. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2， （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象求的解集； （3）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为36，求平移后的直线表达式． 【答案】（1）y＝﹣； （2）﹣6＜x＜0或x＞6； （3）y＝﹣x+6 【解析】 【分析】（1）利用y＝﹣x求出点A的坐标为（﹣6，2），将点A（﹣6，2）代入反比例函数中求出k即可； （2）根据对称性得到点B的横坐标为6，再结合图象即可得到解集； （3）连接AC、BC，设平移后的解析式为y＝﹣x+b，根据平移的性质得到S△ABD＝S△ABC，列得b×12＝36，求出b即可得到函数解析式． 【小问1详解】 解：（1）令一次函数y＝﹣x中y＝2，则2＝﹣x， 解得：x＝﹣6，即点A的坐标为（﹣6，2）， ∵点A（﹣6，2）在反比例函数的图象上， ∴k＝﹣6×2＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为y＝﹣； 【小问2详解】 由对称性可知：xB＝﹣xA， ∵xA＝﹣6， ∴xB＝6， 由图象可知，﹣x＜的解集为﹣6＜x＜0或x＞6； 【小问3详解】 连接AC、BC如图所示． 设平移后的解析式为y＝﹣x+b， ∵该直线平行直线AB， ∴S△ABD＝S△ABC， ∵△ABD的面积为36， ∴S△ABC＝OC•（xB﹣xA）＝36， ∴b×12＝36， ∴b＝6， ∴平移后的直线的函数表达式为y＝﹣x+6． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键． 23. 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长； （3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明． 【答案】 （1）证明：连接OD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥BE， ∵BE⊥DE， ∴OD⊥DE， ∴DE与⊙O相切． （2）4； （3）解：结论CE＝AB﹣BE， 理由：过D作DH⊥AB于H， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BE， ∴DH＝DE， 在Rt△BED与Rt△BHD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL）， ∴BH＝BE， ∵∠DCE＝∠A，∠DHA＝∠DEC＝90°， ∴△ADH≌△CDE（AAS）， ∴AH＝CE， ∵AB＝AH+BH， ∴AB＝BE+CE， ∴CE＝AB﹣BE． 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠ODB＝∠CBD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论； （2）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DE，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝6，tanA＝， ∴BD＝AD， 设AD＝m，则BD＝m， ∴m2+2m2＝36， ∴m＝2或﹣2（舍弃）， ∴AD＝2，BD＝2， ∵BE⊥DE， ∴∠ADB＝∠BED＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∴△ABD∽△DBE， ∴， ∴， ∴BE＝4． （3）略 【点睛】本题属于圆的综合问题，考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题． 24. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】 问题背景：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：证明：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：略 问题探究：略 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标； （3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）四边形BECD面积的最大值为，E（，）；（3）存在．N的坐标为（，）或（，）或（，）． 【解析】 【分析】（1）由直线解析式求得B、C两点坐标，结合A点坐标利用待定系数法进行求解即可； （2）易求AD的解析式为，进而D（，）．求得CD的解析式为，进而求出CD与x轴的交点坐标，易求△BCD的面积为，设E（x，），表示出SBECD的面积，进而利用二次函数的性质即可求得答案； （3）存在．先求出抛物线的顶点坐标，根据平移规律求平移后抛物线解析式，设M（，m），N（xn，yn），易根据平行四边形对角线互相平分及中点公式．分类讨论即可得答案． 【详解】（1），当x=0时，y=2， 当y=0时，，解得：x=， 所以B（，0），C（0，2）， 将A（，0），B（，0）代入y=ax2+bx+2， 得 ， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）∵AD//BC， ∴设直线AD解析式为：． 将A（，0）代入得：， 解得：m=-， 所以AD的解析式为， 联立 ， 解得：，， ∵A（，0）， ∴D（，）． 设CD解析式为y=kx+2， 将点D坐标代入得：， 解得：k=， 所以CD的解析式为：， 当y=0时，即， 解得：x=， 则CD与x轴的交点为（，0）． 所以S△BCD==， 设E（x，）， 则SBECD= =， 当x=时，四边形BECD面积最大，其最大值为，此时E（，）． （3）存在．N的坐标为（，），或（，），或（，）． 过程如下：， 所以抛物线的顶点是（，）， 将抛物线向左平移个单位， 则平移后抛物线解析式为． 设M（，m），N（xn，yn）， ①当AM为对角线时，则， 解得：xn=，代入解析式得yn=． 所以N（，），如图 对角线交点坐标为（0，），M坐标为（，） ②当AE为对角线时，则， 解得：xn=，代入解析式得yn=． 所以N（，），如图 对角线交点坐标为（，），M坐标为（，0） ③当AN为对角线时，则， 解得：xn=，代入解析式得yn=． 所以N（，）．如图 对角线交点坐标为（，），M坐标为（，-8）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数的最值，平行四边形的性质等，综合性较强，有一定的难度，准确识图，把握并灵活运用相关知识是解题的关键，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期九年级3月学情调研 数学试卷 （全卷满分150分，120分钟完卷） 第I卷选择题（共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑） 1. 在实数，有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. .下列函数中，自变量x的取值范围为的是 A. B. C. D. 4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( ) A. B. C. D. 5. “红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（ ）． A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 6. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 7. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若．．则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，点在半圆上，直径，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，若是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A. B. C. 25 D. 11. 如图，矩形的面积为28，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…依此类推，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴有2个交点，其中一个交点坐标为，与轴交点纵坐标在1和2之间(不包括1和2)．有下列结论：①；②；③；④(为非负数)；⑤为任意实数)；⑥．其中正确的结论有(　　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷非选择题（共102分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 13. 若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____． 14. 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 15. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 17. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，过作交延长线于．若，，则______． 18. 如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD'E'，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'＝_______． 三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上） 19. （1）计算：． （2）求不等式组的解集． （3）先化简，再求值：，选一个你喜欢的数代入求值． 20. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩（x） 人数 A 15 B a C 18 D 7 根据图表信息，回答下列问题： （1）表中__________；扇形统计图中，C等级所占的百分比是_________；D等级对应的扇形圆心角为________度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有_______人． （2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率 21. 图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． （1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 22. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2， （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象求的解集； （3）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为36，求平移后的直线表达式． 23. 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长； （3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明． 24. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标； （3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $