精品解析：2025年广东省佛山市中考一模数学试题

佛山市2024~2025学年九年级“市级供题训练” 数学 本试卷共7页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 2025.03 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴得到点A表示的数为﹣2，再求﹣2的相反数即可． 【详解】解：点A表示的数为﹣2， ﹣2的相反数为2， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的性质，利用合并同类项法则、幂的乘方法则，二次根式的性质逐项判断即可． 详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、 ，原计算正确，符合题意； C、，不是同类项不能合并，原计算错误，不符合题意； D、 ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和平角的定义，利用两直线平行的性质得到角关系是解答此题的关键．由平角定义先求，再由平行线性质求得，进而求，，即可作出判断． 【详解】解：由平角定义可知，， ∵纸条两边平行， ∴，， 又三角板为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【详解】解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为． 故选：A． 6. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是正面向上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种， 两次都是正面向上的概率为． 故选：C． 7. 如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则图中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴得出坐标轴如图所示位置： ∴点的坐标为． 故选：D． 8. 一元一次不等式组：的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤和确定不等式组解集的公共部分．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 故选：C 9. 反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键在于根据题意求出反比例函数解析式．设，利用待定系数法求出解析式，再结合解析式求解，即可解题． 【详解】解：由题意设， ∵当时，， ∴， ∴与之间的函数关系式为：； A、当时，，即在图象上方，故该选项不符合题意； B、当时，，即在图象上方，故该选项符合题意； C、当时，，即在图象上，故该选项不符合题意； D、当时，，即图象下方，故该选项不符合题意； 故选：B． 10. 定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 则， ∴． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键． 12. 若，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值．整体代入是解题的关键．由题意知，，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：3． 13. 若一组数据，，…，平均数为，则数据，，…，的平均数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数，根据“如果一组数据，，，的平均数为，那么另一组数据，，，的平均数为”，求解即可． 【详解】解：∵数据，，…，的平均数是， ∴数据，，…，平均数为， 故答案为：． 14. 如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定及切线长定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．连接，则可得，根据切线的判定可得直线，与相切，即可得结论． 【详解】解：连接，∵为的直径， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切， 同理，直线与相切， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，其中点在边上，点在边上，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形、正方形的性质，解直角三角形，根据正方形及矩形的性质可得，即，进而列出边的比例关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，其中点在边上，点在边上， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 故答案为： 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先整理得，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 17. 某游乐场的大型摩天轮旋转1周需要，如图1反映了摩天轮上一点的高度与旋转时间之间的关系．如图2所示，小明从摩天轮的最低点出发开始观光，摩天轮逆时针旋转后到达点，求此时小明离地面的高度？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，圆的相关知识，解直角三角形，根据最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的直径，过点作，垂足为点，则小明离地面的高度等于点离地面的高度，由题意可知，进而求得，则，进而可得答案． 【详解】解：由图可知，摩天轮的直径为，则， 过点作，垂足为点，则小明离地面的高度等于点离地面的高度， ∵摩天轮旋转1周需要，摩天轮从点逆时针旋转后到达点， ∴， ∴，则， ∵摩天轮最低点与地面相距， ∴此时小明离地面的高度． 18. 阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． （1）请根据上述规律计算： ； ． （2）我们可以用所学的知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请证明上述阅读材料中的结论． 【答案】（1）5621，7224 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查数字的变化规律，从简单情形考虑，找出一般规律，利用规律解决问题． （1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案； （2）根据，，利用多项式乘多项式的运算法则即可证明． 【小问1详解】 解：由上述规律可知，， ， 故答案为：5621，7224； 【小问2详解】 证明：∵， ． 19. 某射击队进行选手选拔，对甲、乙、丙三名队员连续射击10次的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图： ②丙队员射击成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10 ③三名队员命中环数的平均数和中位数如下： 甲 乙 丙 平均数 8 8 中位数 8 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ； （2）从甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图可知，队员 发挥的稳定性更好；（填“甲”或“乙”） （3）如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为应该推荐哪位队员？请说明理由． 【答案】（1）8，8 （2）乙 （3）推荐乙，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数、方差，中位数以及频数直方图，理解中位数、平均数以及方差的定义，掌握中位数、平均数以及方差的计算方法是正确解答的关键． （1）根据算术平均数和中位数的定义进行分析即可； （2）甲、乙两位选手成绩，计算出方差进行判断即可； （3）根据选手的稳定性进行判断即可． 【小问1详解】 解：甲选手的10次测试成绩分别为6，6，6，7，8，8，9，10，10，10， 则， 丙队员射击成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， 则， 故答案为：8，8； 【小问2详解】 ∵， ， ∴， 则队员乙发挥的稳定性更好； 故答案为：乙； 【小问3详解】 推荐乙，理由是：三位选手的平均成绩一样，但乙发挥更稳定，推荐乙获胜的把握更大． 20. 根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 【答案】（1），商品的销售单价分别是16元，20元；（2）①；②；（3）购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）设，商品的销售单价分别是元，元，根据“若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元”列出方程组求解即可； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）由题意可知，使用外卖配送服务更合算，再结合实际，即可求解． 【详解】解：（1）设，商品销售单价分别是元，元， 由题意可知，， 解得：， 答：，商品的销售单价分别是16元，20元； （2）①若使用外卖配送商品，共需要元； ②若不使用外卖配送商品，共需要元； 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得：， 又∵，且为整数， ∴购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）点是轴上一动点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图像于点，连接，若的面积为15，求线段的长度． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要查了一次函数的图像和性质，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）点代入，可得点C的坐标，再把点B，C得坐标代入，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，可得点D的坐标为，点E的坐标为，从而得到，然后根据的面积为15，列出关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设点P的坐标为，则， ∵轴于点P， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵的面积为15，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 22. 如图，在矩形中，，连接，点关于的对称点为点，连接、、、，与交于点．以点为圆心，为半径作圆． （1）如图1，当点在上时，求证：； （2）如图2，当点在上时，求的值； （3）如图3，、分别交于点、，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形、轴对称及圆的性质证明，，进而可证得； （2）根据矩形、轴对称得，则，进而可知，连接，可知，则，再证，由，得，，结合，，得，可知，进而得，即可求解； （3）连接，交于点，由矩形的性质得，，，可知，由轴对称可知，，，再证，得，可知，再证是的中位线，得，可知，得，进而可知，得，即可证得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵点、关于对称， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 在与中， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点、关于对称， ∴， ∴， ， ∴，则， ，， ∴， 连接， ∵点在上， ∴，则， ， ∴， ∵， ∴， ， ∵，则， ， 则， ∴； 【小问3详解】 ，证明如下： 连接，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点、关于对称， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，点在轴上． （1）填空：点的坐标为 ， 度． （2）连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①求证：四边形是菱形； ②当是等腰三角形时，直接写出的长度． （3）在（2）的条件下，设，四边形的面积为，求关于的函数关系式． 【答案】（1）， （2）①见解析；②或或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，可求得，从而知道菱形的边长，从而求得点，借助求得，从而算得； （2）①连接，设交于点，先利用菱形的性质，求得，接着利用外角得到，从而推出，接着证明，得到，，接着证明 ，推出，从而知道，，借助，，可得到四边形是平行四边形，加上邻边相等，得证；②分成，，三种情况分类讨论，利用等腰三线合一，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半计算即可得出答案； （3）作，作，先利用勾股定理，得出，得到，在中利用勾股定理求得，从而表示出，得出，从而得到函数关系式． 【小问1详解】 解：点，的坐标分别是和， ，， ， ，， ， ， ， 以线段为边向右侧作菱形， ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①证明：连接，设交于点，如图所示， 由（1）可知，四边形是菱形，，，， 四边形是菱形，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； ②解：或或，理由如下： 当时，点在上时，作交于，如图， 由①可知，，，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ； 当，点在的延长线上时，作，如图， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ； 当时， ， ， ， 、、都在轴上， 和重合，或者和重合， ， ， ， 只能是和重合，如图所示： 此时不存在，故矛盾； 当，如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长度为或或． 【小问3详解】 解：作，作，如图所示： 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并数形结合分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 佛山市2024~2025学年九年级“市级供题训练” 数学 本试卷共7页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 2025.03 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. 2 D. 3 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A. B. C. D. 7. 如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则图中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 一元一次不等式组：的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：________． 12. 若，则_____． 13. 若一组数据，，…，的平均数为，则数据，，…，的平均数为_____． 14. 如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论：_____． 15. 如图，四边形是矩形，四边形是边长为4正方形，其中点在边上，点在边上，若，则_____． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程：． 17. 某游乐场的大型摩天轮旋转1周需要，如图1反映了摩天轮上一点的高度与旋转时间之间的关系．如图2所示，小明从摩天轮的最低点出发开始观光，摩天轮逆时针旋转后到达点，求此时小明离地面的高度？ 18. 阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． （1）请根据上述规律计算： ； ． （2）我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请证明上述阅读材料中的结论． 19. 某射击队进行选手选拔，对甲、乙、丙三名队员连续射击10次的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图： ②丙队员射击成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10 ③三名队员命中环数的平均数和中位数如下： 甲 乙 丙 平均数 8 8 中位数 8 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ； （2）从甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图可知，队员 发挥的稳定性更好；（填“甲”或“乙”） （3）如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为应该推荐哪位队员？请说明理由． 20. 根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）点是轴上一动点，过点作轴垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图像于点，连接，若的面积为15，求线段的长度． 22. 如图，在矩形中，，连接，点关于对称点为点，连接、、、，与交于点．以点为圆心，为半径作圆． （1）如图1，当点在上时，求证：； （2）如图2，当点在上时，求的值； （3）如图3，、分别交于点、，请探究与的数量关系，并证明． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，点在轴上． （1）填空：点的坐标为 ， 度． （2）连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①求证：四边形是菱形； ②当是等腰三角形时，直接写出的长度． （3）在（2）的条件下，设，四边形的面积为，求关于的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$