专题8-2 8.5空间直线、平面的平行+8.6空间直线、平面的垂直(13大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题8-2 8.5空间直线、平面的平行 +8.6空间直线、平面的垂直 题型一：证明线面平行 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 精练核心考点 1．（2025高三下·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 2．（24-25高一下·全国·单元测试）在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，平面，，，，，点分别为的中点.求证：平面    题型二：补全线面平行的条件 典型例题 例题1．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是 ．（写出一种即可） 例题2．（23-24高一下·广东湛江·期中）如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图2）．为中点 问题：在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 精练核心考点 1．（23-24高一下·北京）如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为 . 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.点在线段上，且平面，试确定点的位置. 3．（2024高三·河北·学业考试）如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB． (1)求证：平面PAB⊥平面PAD； (2)在侧棱PC上是否存在点M，使得平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由． 题型三：线面平行的性质 典型例题 例题1．（2025高三下·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面，则GH与EF的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 例题2．（2024高三·全国·专题练习）如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 例题3．（23-24高一下·四川眉山·期中）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：. 精练核心考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：． 2．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，    (1)若为侧棱的中点．求证：平面； (2)若过的平面与交于点，求证：；    题型四：由线面平行求其他量 典型例题 例题1．（23-24高一下·浙江杭州）在正方体中，点P为线段上的动点，M，N分别为棱的中点，若平面，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时， . 例题3．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上，若直线平面，求的值 精练核心考点 1．（23-24高二上·青海海东·期中）如图，在棱长为4的正方体中，E、F分别是AB、的中点，点P是上一点，且平面CEF，则四棱锥外接球的表面积为 ． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点，为中点，在上，，平面，求的值. 3．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD． (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得PA//平面DEF？并证明你的结论． 题型五：证明面面平行 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 例题2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，四边形为菱形，，平面，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点. 证明：平面平面； 精练核心考点 1．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 2．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： (1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 (2)平面平面. 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知矩形所在的平面，且N，M，O分别为，，的中点．求证：平面平面 题型六：补全面面平行的条件 典型例题 例题1．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 例题2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面      (1)证明：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 精练核心考点 1．（2024高一·全国·专题练习）如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由． 2．（2024高二上·安徽合肥·学业考试）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，试在上确定一点，使得平面平面，并说明理由. 3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由． 题型七：面面平行的性质定理应用 典型例题 例题1．（2020高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面.    3．（2025高三·全国·专题练习）直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4，求证：平面. 6．（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 题型八：证明线面垂直 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 例题2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    精练核心考点 1．（24-25高二上·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为与的交点． (1)证明：直线平面． (2)若，求三棱锥的体积． 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点.求证： (1)∥平面； (2)平面. 3．（2022·陕西榆林·模拟预测）如图，已知三棱柱中，，平面，，M为边上的动点． (1)当时，求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 题型九：补全线面垂直的条件 典型例题 例题1．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，点，分别在棱和上. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积是，平面，试确定点的位置，并证明你的结论. 例题2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 精练核心考点 1．（23-24高二下·四川遂宁·期中）如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2. (1)求PC与平面PBD所成的角； (2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由. 2．（2024·全国·模拟预测）如图，在正方体中，，. （1）求证：； （2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由. 3．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． （1）求证：BM//平面PAD． （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 题型十：线面垂直的性质定理应用 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为2．证明：． 例题2．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 精练核心考点 1．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，M是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：； 2．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 3．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在正四棱柱中，分别是的中点，且．    (1)求的长； (2)求点到平面的距离； (3)求证：． 题型十一：证明面面垂直 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）在多面体中，已知，，且，．证明：平面平面．    例题2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； 精练核心考点 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，． (1)证明：平面平面． 2．（2024·上海宝山·一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 3．（24-25高二上·山西太原·期中）如图、四棱锥的底面ABCD是菱形，，. (1)求证：平面平面ABCD； 题型十二：补全面面垂直的条件 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东佛山）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点D是线段AB上的动点． （1）当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD； （2）线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由． 例题2．（23-24高三下·浙江温州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，． (1)求的值； (2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 精练核心考点 1．（24-25高三下·湖北·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，． (1)在线段上找一点，使平面平面，求的长； 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面为正三角形，且平面平面． (1)求证：． (2)若为中点，试在上找一点，使平面平面． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 题型十三：面面垂直的性质定理应用 典型例题 例题1．（2025·北京丰台·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，.    (1)求证：平面； 例题2．（24-25高二下·广东韶关·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，． (1)求证：平面ABCD； 精练核心考点 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，，且，平面平面. (1)求证：平面； 2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，． (1)求证：平面； 3．（2025·湖南邵阳·二模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8-2 8.5空间直线、平面的平行 +8.6空间直线、平面的垂直 题型一：证明线面平行 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】连接，取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以为中点， 因为为的中点，为中点， 则，且， 因为为的中点， 则，且， 则，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】根据证明平面，利用线面平行的性质可得，从而可证平面. 【详解】因底面为平行四边形，故， 因平面，平面，故平面， 又因平面平面，平面，故， 因平面，平面， 故平面． 精练核心考点 1．（2025高三下·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】先证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可. 【详解】如图，取PD的中点G，连接GF，GC. 在中，点G，F分别为PD，AP的中点， 且. 在矩形ABCD中，点E为BC的中点， 且， 且. 四边形是平行四边形， . 又平面，平面， 平面. 2．（24-25高一下·全国·单元测试）在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】取CD中点，连接OM，EM，利用平行四边形的判定与性质得，然后利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】如图所示，取CD中点，连接OM，EM， 在矩形中，且． 又且，则且． 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，平面，，，，，点分别为的中点.求证：平面    【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】连接，可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证得； 【详解】连接，因为，， 所以.又因为，所以四边形为平行四边形， 又因为点分别为的中点，所以且， 因为，，所以且， 又因为点为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面.    题型二：补全线面平行的条件 典型例题 例题1．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是 ．（写出一种即可） 【答案】N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一） 【知识点】补全线面平行的条件 【分析】当时，连接，利用线面平行的判定定理可得答案. 【详解】当时，连接，因为，所以， 因为E，F分别为的中点，所以，从而， 又平面平面，所以平面． 故答案为：N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一）. 例题2．（23-24高一下·广东湛江·期中）如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图2）．为中点 问题：在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在；． 【知识点】补全线面平行的条件、证明面面平行 【分析】当时，过点作交于点，过点作交于点，连接，由线面平行的判定定理可得平面，平面，再由面面平行的判定定理可得，平面平面，从而可得平面， 【详解】解：存在点，使得平面， 且； 过点作交于点， 则， 过点作交于点，连接， 则， 又因为，平面，平面， 所以平面， 同理平面， 又因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面． 所以在上存在点， 使得平面，且． 精练核心考点 1．（23-24高一下·北京）如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为 . 【答案】 【知识点】补全线面平行的条件 【分析】先取中点得到过的一个平面平行平面，即知. 【详解】取中点，连接， 故，，又在平面外，平面 所以平面，平面，又相交在平面内，故平面平面，即平面，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了面面平行的判定定理，属于基础题. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.点在线段上，且平面，试确定点的位置. 【答案】点为线段上靠近点的三等分点 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线线平行、补全线面平行的条件 【分析】根据平行四边形的判定定理和性质，结合面面平行、线面平行的判定定理、面面平行的性质定理、平行线的性质进行判断证明即可. 【详解】点为线段上靠近点的三等分点，证明如下： 在取点，连接，，使得， 又，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. 又平面，，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，所以在中，，所以， 所以点为线段上靠近点的三等分点. 3．（2024高三·河北·学业考试）如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB． (1)求证：平面PAB⊥平面PAD； (2)在侧棱PC上是否存在点M，使得平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点是的中点 【知识点】补全线面平行的条件、证明面面垂直、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）由PD⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可得，结合AD⊥CD，根据线面垂直的判定定理可得平面，根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点为，的中点为，连接，，，根据中位线即可证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为，，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）存在，当点是的中点时，平面，证明如下： 如图，设的中点为，连接，，，如图所示： 所以是的中位线，即，且， 因为，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 故当点是的中点时，平面. 题型三：线面平行的性质 典型例题 例题1．（2025高三下·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面，则GH与EF的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 【答案】B 【知识点】线面平行的性质 【分析】应用线面平行的判定定理分别得出及即可判断. 【详解】因为平面，平面，且平面平面，所以， 因为平面，平面，且平面平面，所以， 因此. 故选：B. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 【答案】证明见解析 【知识点】线面平行的性质、证明线面平行 【分析】由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； 【详解】因为，，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以. 例题3．（23-24高一下·四川眉山·期中）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1），通过证明，得证平面； （2）证明平面，由线面平行的性质定理证明. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为是平行四边形，故为中点， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）因为，平面，平面，所以平面. 又因为平面平面，平面， 所以. 精练核心考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】线面平行的性质、证明线面平行 【分析】连接交于点，连接，由平行四边形可得，进而可得平面，然后根据由直线与平面平行的性质可得． 【详解】如图所示，连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 又因为平面平面，平面，且平面， 所以． 2．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）得平面，由线面平行的性质定理即可证明. 【详解】（1）连接, 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2）分别是的中点， ， 平面，平面， 平面， 若平面平面， 又平面， 所以. 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，    (1)若为侧棱的中点．求证：平面； (2)若过的平面与交于点，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】线面平行的性质、证明线面平行 【分析】（1）根据三角形中位线可得，即可由线面平行的判定求解， （2）根据线面平行的性质即可求证. 【详解】（1）设，连接，，因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故 又平面，平面， 故平面； （2）由于，平面，平面， 故平面． 又平面，平面平面, 故    题型四：由线面平行求其他量 典型例题 例题1．（23-24高一下·浙江杭州）在正方体中，点P为线段上的动点，M，N分别为棱的中点，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】：连接,交于点,则,连接,延长DP交B1D1于G, 由于平面，平面,且平面平面, 所以, 设正方体的棱长为1，则,故直角三角形中，,所以，所以, 由,所以四边形为平行四边形，所以根据,故 故选：A 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时， . 【答案】/0.5 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据线面平行的性质得出线线平行，从而得出结果. 【详解】如图，连结交于点，连结. ，E为AD的中点， , PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC ，PA平面PAC， PA∥OF， . 故答案为：. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上，若直线平面，求的值 【答案】1∶2 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接与交于点，连接，进而根据线面平行性质定理得. 【详解】解：连接与交于点，连接， ∵，， ∽，， 又∵平面，平面，且平面平面 ∴ ，即 精练核心考点 1．（23-24高二上·青海海东·期中）如图，在棱长为4的正方体中，E、F分别是AB、的中点，点P是上一点，且平面CEF，则四棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据线面平行的性质定理可得，进而，然后根据长方体的性质及球的表面积公式即得. 【详解】连接BD交CE于O，连接OF，则， 因为平面，平面，平面平面， 所以，． ∵F是的中点，， 所以， ∴三棱锥外接球直径为， 所以所求表面积为． 故答案为：． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点，为中点，在上，，平面，求的值. 【答案】 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】设交于点，连接，根据相似得到，根据线面平行得到，得到，得到答案. 【详解】设交于点，连接，如图所示： ，分别是，的中点，，则，则， 平面，面，平面平面， 故，故，故. 3．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD． (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得PA//平面DEF？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)能；证明见解析 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据面面垂直性质定理，结合菱形的性质，可得答案； （2）假设存在，根据线面平行性质定理，可得线线平行，利用菱形性质，可得三角形相似，进而得到线段成比例，结合平行线的性质，可得答案. 【详解】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD． （2）连接DE，EF，DF，设DE交AC于点H，连接HF 因为PA//平面DEF，PA平面PAC，平面PAC平面DEF，所以； 由于底面ABCD为菱形，为的中点，易证，所以，由PA//，可得， 所以存在点为棱上靠近的三等分点，可使PA//平面DEF. 题型五：证明面面平行 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）证明出，得到四点共面； （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行. 【详解】（1）∵，分别是，的中点， ∴是的中位线，∴， 又在三棱柱中，，∴， ∴，，，四点共面. （2）∵在三棱柱中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 又，是，的中点，所以，又. 所以， ∵平面，平面，∴平面. 又，平面， 所以平面平面. 例题2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，四边形为菱形，，平面，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点. 证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明面面平行 【分析】利用面面平行的判定定理即可证明得出结论. 【详解】因为四边形为菱形，所以， 又E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点， 所以，，故， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面. 因为，，平面， 所以平面平面. 精练核心考点 1．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】根据题意结合三角形的中位线定理可得，，则由线面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 因为M、Q分别是、的中点.， 所以，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面， 所以平面平面. 2．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： (1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题、证明面面平行、空间中的点（线）共面问题、证明线面平行 【分析】（1）证明即可得证四点共面；与是两条相交的直线，证明直线过它们的交点即可得证三线共点. （2）证明平面和平面即可根据面面平行的判定定理得证平面平面. 【详解】（1）分别是的中点， 是的中位线，，且 又在三棱柱中，，且， 由平行的传递性，，且， 四点共面； 由上可知四边形是梯形，故与是两条相交的直线， 设，下证， 平面，且平面， 平面，且平面， 平面平面， ，即三线共点. （2）分别为的中点，， 平面平面， 平面， 在三棱柱中，，且， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面， ，平面， 平面平面. 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知矩形所在的平面，且N，M，O分别为，，的中点．求证：平面平面 【答案】证明见解析 【知识点】证明面面平行 【分析】根据题意，由线面平行的判定定理可证平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】因为N，M，O分别为，，的中点，所以， 又因为平面，且平面， 所以平面， 同理平面， 又平面,平面,且， 所以平面平面． 题型六：补全面面平行的条件 典型例题 例题1．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【知识点】证明面面平行、补全面面平行的条件、证明线面平行 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 例题2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面      (1)证明：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为中点 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、补全面面平行的条件 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得为的中点. （2）通过证明面面平行的方法来确定点的位置. 【详解】（1）连接，设，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又底面为平行四边形，所以为的中点， 所以为的中点． （2）存在，为中点时，平面平面， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面.    精练核心考点 1．（2024高一·全国·专题练习）如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由． 【答案】存在为中点使面面，理由见解析 【知识点】补全面面平行的条件、证明面面平行 【分析】取的中点，连接，由面面平行的判定定理即可证明平面平面． 【详解】存在为中点，使得平面平面，理由如下： 当为中点，连接， 又是的中点，是的中点， 所以，， 而平面，平面，所以平面， 同理可证面， 又，即平面平面， 综上，为中点时平面平面． 2．（2024高二上·安徽合肥·学业考试）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，试在上确定一点，使得平面平面，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)当为的中点时平面平面，证明见解析 【知识点】补全面面平行的条件、证明线面垂直、证明面面平行 【分析】（1）由线面垂直得到，再说明，即可得证； （2）当为的中点时平面平面，由可得平面，根据中位线的性质得到，即可得到平面，从而得证. 【详解】（1）证明：平面，平面，， ，，， 又，平面，平面，平面； （2）解：当为的中点时平面平面， 证明：因为，平面，平面，所以平面， 又为的中点，为的中点，所以， 平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. 3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【知识点】证明线面平行、补全面面平行的条件 【分析】（1）根据中位线的性质可得A，再根据线面平行的判定可得B即可； （2）取的中点，连接，根据中位线的性质判定即可 【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面． （2）取的中点，连接，因为为的中点所以． 因为平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面 故在线段上存在一点，使平面平面． 题型七：面面平行的性质定理应用 典型例题 例题1．（2020高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 【答案】在线段上 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】根据平面平面，可知平面内任意一条直线都与平面平行，而点在四边形上及其内部运动，所以满足条件． 【详解】 连接，，，,． 由题易知,，平面,平面, 平面 又，同理可证平面, 又，，平面， 平面平面． 点在四边形的边上及其内部运动，平面平面,． 故答案为：在线段上, 例题2．（2025高三·全国·专题练习）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】设是的中点，连接，通过证明平面平面，可得线面平行关系. 【详解】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线面平行 【分析】方法一：取PD的中点F，连接EF，FA，先证明，得到四边形ABEF为平行四边形，进而得到，进而求证即可； 方法二：延长DA，CB相交于H，连接PH，结合题设可得B为HC的中点，进而得到，进而求证即可； 方法三：取CD的中点H，连接BH，HE，可得，进而得到平面PAD，再结合题设得到，进而得到平面PAD，进而得到平面平面PAD，进而求证即可. 【详解】方法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．    由题意知EF为的中位线， ∴，且． 又∵，， ∴，且， ∴四边形ABEF为平行四边形，∴． 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法二：如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，    ∵，，， ∴， 即B为HC的中点， 又E为PC的中点，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE，    ∵E为PC的中点， ∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又由题意知且， ∴四边形ABHD为平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又，BH，平面BHE， ∴平面平面PAD， 又平面BHE，∴平面PAD． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线面平行 【详解】设，连接，根据题意可得，，可证平面平面，再利用面面平行的性质分析证明即可得. 【分析】设，连接， 因为为正方形，则为的中点， 又因为是的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 由题意可知：四边形是平行四边形，， 且平面，平面，所以平面， 且，平面，可得平面平面， 由平面，可得平面.    3．（2025高三·全国·专题练习）直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4，求证：平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】根据线线平行可证明平面平面，即可由面面平行的性质求证. 【详解】由题意得，， 平面，平面， 平面，平面 而，平面，平面平面， 又平面平面 6．（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【答案】证明见解析 【知识点】面面平行证明线线平行 【分析】由面面平行的性质定理可证明，再由平行的传递性即可证明. 【详解】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以， 又，，所以． 题型八：证明线面垂直 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】由为矩形及线面垂直的性质得、，再应用线面垂直的判断和性质有，最后应用线面垂直的判定证平面. 【详解】为矩形， 平面平面 ， 又，平面， 平面，又平面， ， 又，平面， 平面. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用线面垂直性质以及菱形性质可得，，根据线面垂直判定定理即可得出平面. 【详解】因为平面，平面， 所以， 因为底面是菱形，所以， 因为，平面， 所以平面. 精练核心考点 1．（24-25高二上·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为与的交点． (1)证明：直线平面． (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】（1）通过证明证得直线平面． （2）根据锥体体积计算公式求得三棱锥的体积. 【详解】（1）底面为菱形， 平面平面， 又平面，平面． （2）． 在中，， 因为平面， 所以三棱锥的体积． 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点.求证： (1)∥平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）根据平面性质可得，再根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为E，F分别为，的中点，，， 则且，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面， 所以∥平面. （2）因为四边形为正方形，则， 且，则， 又因为平面，平面，则. 且，则， 且，平面，所以平面. 3．（2022·陕西榆林·模拟预测）如图，已知三棱柱中，，平面，，M为边上的动点． (1)当时，求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】（1）由平面，可得，由，，可得，即可证得平面； （2）由已知可得点C到平面距离为，又当M点在上运动时，的面积是定值，由三棱锥体积公式，即可求得三棱锥的体积． 【详解】（1）平面， 又平面，， ，，， 又，平面， 平面． （2），， ， 则点C到平面距离为， 在三棱柱中，平面， 则四边形为矩形， 当M点在上运动时，的面积是定值， 又， ， ． 题型九：补全线面垂直的条件 典型例题 例题1．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，点，分别在棱和上. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积是，平面，试确定点的位置，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算、补全线面垂直的条件 【分析】（1）依题意可得、，从而得到平面，即可得证； （2）当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，首先求出，过点在平面内作交于点，连接，交于点，即可得到，从而证明平面，则，结合（1）即可得证. 【详解】（1） 连接、，因为正方体， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以； （2）当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，证明如下： 因为三棱锥的体积是， 所以， 即， 解得，所以，即， 过点在平面内作交于点， 连接，交于点， 因为，所以， 当时， 所以，所以， 又，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 由（1）可知，，平面， 所以平面. 例题2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【知识点】证明线面平行、补全线面垂直的条件、求点面距离 【分析】（1）连结，交于点，连结．利用线面平行的判定定理证明出平面； （2）利用等体积可得，即可解出点到平面的距离； （3）在对角线上存在点，且，使得平面．由平面，得到，即可求得时，平面． 【详解】（1）连结，交于点，连结． 因为四边形是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以．因为平面，平面，所以平面． （2）因为正方体的棱长为1，是的中点， 所以,所以边上的高为，所以. 因为，所以，解得：，即点到平面的距离为． （3）在对角线上存在点，且，使得平面． 证明如下：因为四边形是正方形，所以． 因为平面，平面，所以．因为，所以平面． 因为平面，所以平面平面．作于，因为，所以． 因为平面，平面平面，所以平面． 由,得．所以当时，平面． 精练核心考点 1．（23-24高二下·四川遂宁·期中）如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2. (1)求PC与平面PBD所成的角； (2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)30° (2)存在，E为PB的中点 【知识点】补全线面垂直的条件、求线面角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）设AC交BD于O，易得BD⊥AC，根据PD⊥平面ABCD，得PD⊥AC，congestion可得OC⊥平面PBD，即可得OC⊥OP，则∠CPO为PC与平面PBD所成的角，从而可得出答案； （2）先确定E 为PB的中点，取PC的中点F，取PB的中点E，连结EF，易证得BC⊥平面PDC，从而可得DF⊥BC，，PC⊥EF，再根据线面垂直的判定定理可得PC⊥平面DEF，证明，则平面即为平面，从而可得出结论. 【详解】（1）解：设AC交BD于O， ∵PD⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PD⊥AC， 又BD⊥AC，且，∴OC⊥平面PBD， 又平面PBD，∴OC⊥OP， ∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角， ∵PD=AD=2，∴AC=，∴OC= ，PO= ， ∴tan∠CPO= = ，∴∠CPO=30° ， 即PC与平面PBD所成的角为30°； （2）解：在线段PB上存在一点E，E 为PB的中点，使得PC⊥平面ADE ， 因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以， 又因， 所以BC⊥平面PDC，因为平面PDC，所以DF⊥BC， 又取PC的中点F，取PB的中点E，连结EF，则， 所以PC⊥EF， 因为PD=DC，所以DF⊥PC， 又因为，所以PC⊥平面DEF， 因为，所以， 则平面即为平面， 所以PC⊥平面ADE. 所以在线段PB上存在一点E，E 为PB的中点时，PC⊥平面ADE. 2．（2024·全国·模拟预测）如图，在正方体中，，. （1）求证：； （2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【知识点】补全线面垂直的条件 【分析】（1）根据三角形的中位线定理和正方形的对角线的性质可得证．. （2）根据线面垂直的判定定理可证得平面． 【详解】（1）如图，连接，因为，，所以，分别为，的中点，所以， 又，所以. （2）如图，取的中点，连接，， 因为平面，所以，又，所以. 因为，，所以. 因为，所以平面， 所以在线段上，存在点，使得平面. 【点睛】关键点睛：本题考查空间中的线线垂直，线面垂直关系的证明，关键在于准确地应用判定定理，满足判定定理所需的条件得以证明． 3．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． （1）求证：BM//平面PAD． （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N为AE的中点． 【知识点】证明线面平行、补全线面垂直的条件 【分析】（1）取PD的中点E，连接EM，AE，由中位线性质可证ABME是平行四边形，根据线面平行的判定可证BM∥平面PAD． （2）由线面垂直的判定及性质可得PD⊥平面ABME，作MN⊥BE，交AE于点N，由线面垂直的性质得MN⊥PD，即有MN⊥平面PBD，利用△BME∽△MEN得到线段比例关系证N为AE的中点. 【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且， ∴，. ∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE． ∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD， ∴BM∥平面PAD． （2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下： ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD， ∵PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABME． 作MN⊥BE，交AE于点N， ∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E， ∴MN⊥平面PBD． 易知△BME∽△MEN，而， ∴，即，而， ∴N为AE的中点． 【点睛】关键点点睛： （1）由中位线性质证平行四边形，根据线面平行的判定证线面平行； （2）综合应用线面垂直的判定及性质证MN⊥平面PBD，结合三角形相似确定N的位置. 题型十：线面垂直的性质定理应用 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为2．证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【分析】利用线面垂直的判断定理证明平面，再利用线面垂直的性质定理即可证得. 【详解】在正方体中， ， 平面，平面， ． 又，、平面， 平面． 又平面， ． 例题2．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由题意可得为直线与平面ABCD所成的角，然后在中求解即可； （2）由平面，可得，再由底面是正方形可得，然后利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可证得. 【详解】（1）平面， 为直线与平面ABCD所成的角， 在中，， 直线与平面ABCD所成角的正切值为. （2）证明：平面，平面，， 又四边形为正方形，则， ∵，平面， 平面， 平面，. 精练核心考点 1．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，M是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1），连接，由中位线得到，进而可求证； （2）由条件易得，，即可求证； 【详解】（1） 证明：设，连接， 在四棱柱中，四边形是正方形， 为中点，又为中点，， 又平面平面， 平面； （2）在四棱柱中，平面，又平面，， 又在正方形中，，且，.平面平面， 平面，又平面， ； 2．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明面面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理得平面，又平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可； （2）先根据线面垂直的判定定理得平面，再根据线面垂直的性质定理证明即可. 【详解】（1），F分别是和的中点，且． 四边形是平行四边形，． 又平面，平面，平面． 是的中位线，． 又平面，平面，平面． 又，平面平面． （2）连接BD，，底面是正方形，． ，，平面． 平面，． 3．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在正四棱柱中，分别是的中点，且．    (1)求的长； (2)求点到平面的距离； (3)求证：． 【答案】(1)3 (2) (3)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）应用正四棱柱的线面垂直得出勾股定理求解； （2）应用线面平行及线面垂直计算求值； （3）先证明平行四边形即可得出线线平行，进而应用勾股定理计算证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为， 所以在中； （2）    过点C作交于点， 因为平面，不在平面内， 得平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离． 又因为平面，平面，所以， 由平面，得平面， 即得点到平面的距离为． 在中； 所以点到平面的距离为. （3）过点M作分别交与点，连接，    由且点M是EF的中点，所以点E是的中点． ，四边形是平行四边形，即， 在中，， 由得，， 即证：. 题型十一：证明面面垂直 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）在多面体中，已知，，且，．证明：平面平面．    【答案】证明见解析. 【知识点】证明面面垂直 【分析】分别取，的中点、，连接、、，证得，结合，再根据线面垂直的判断定理，以及面面垂直的判断定理，即可求证． 【详解】如图，分别取，的中点、，连接、、，则且，    因为且， 所以且 则四边形为平行四边形， 所以且， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 又因为，、平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 例题2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明面面垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）通过证明和得出平面，再由直线在面内，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系并表达出各点坐标，得出对应的向量和平面的法向量，即可求出点B到平面的距离. 【详解】（1）由题意证明如下， ∵四边形是正方形， ∴． ∵平面平面，所以 ∴． 平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面． 精练核心考点 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，． (1)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 【知识点】面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）依题意可得平面平面，根据面面垂直的性质得到平面，即可得证； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可. 【详解】（1）因为底面，平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； 2．（2024·上海宝山·一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）由四棱锥的体积为得到高 ，取的中点为，计算出，从而底面即可得证. （2）因为，所以即为异面直线和所成的角或其补角，最后在中利用余弦定理即可求出夹角. 【详解】（1）证明：设该四棱锥的高为，则体积 ， 从而， 等腰中，设边的中点为，易知， 在中，，所以，     所以该四棱锥的高为即为，                       即底面，又平面， 所以面底面.                            （2）因为， 所以即为异面直线和所成的角或其补角；             由（1）知平面底面，且平面底面， 在矩形中，，所以平面， 因为平面，从而，      中，，所以，            同理可得，       中，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 3．（24-25高二上·山西太原·期中）如图、四棱锥的底面ABCD是菱形，，. (1)求证：平面平面ABCD； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）作出辅助线，得到，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直，面面垂直； 【详解】（1）证明：设是AD的中点，连结OP，OB， ， ，，由勾股定理得， ， ， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，故为等腰直角三角形， ∴， ∵， ， ， ∵平面，， 平面ABCD， ∵平面， 平面平面ABCD； 题型十二：补全面面垂直的条件 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东佛山）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点D是线段AB上的动点． （1）当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD； （2）线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）AD＝. 【知识点】补全面面垂直的条件、证明线面平行 【分析】（1）在中，利用中位线定理得DE∥AC1，再利用线面平行的判定定理即证； （2）作CD⊥AB时，即证CD⊥平面ABB1A1，证得平面ABB1A1⊥平面CDB1，再利用直角三角形中的射影定理求得AD即可. 【详解】（1）证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE， 则点E是BC1的中点，又点D是AB的中点，由中位线定理得DE∥AC1，. 因为DE⊂平面B1CD， AC1⊄平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.. (2)当CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1. 证明：因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC， 所以AA1⊥CD. 又CD⊥AB，AA1∩AB＝A， 所以CD⊥平面ABB1A1， 因为CD⊂平面CDB1，所以平面ABB1A1⊥平面CDB1， 故点D满足CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1. 因为AB＝5，AC＝3，BC＝4，所以AC2＋BC2＝AB2， 故△ABC是以角C为直角的三角形，又CD⊥AB，所以利用直角三角形中的射影定理得. 例题2．（23-24高三下·浙江温州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，． (1)求的值； (2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，. 【知识点】空间垂直的转化、余弦定理解三角形、线面垂直证明线线垂直、补全面面垂直的条件 【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出平面，可得出，进而可得出，利用勾股定理可求得的长； （2）过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，过点作，分别交、于点、，可得出平面平面，求出的长，可得出，即可得解. 【详解】（1）解：取线段的中点，连接、， 因为四边形是边长为的菱形，则，， 因为，由余弦定理可得， ，所以，即， 又且是的中点，, ，、平面，平面， 平面，，，， ，； （2）解：过点在平面内作，垂足为点， 因为平面，平面， 所以，平面平面， 平面平面，平面，， 所以，平面， 过点作，分别交、于点、， 因为，则， 所以，、、、四点共面， 因为平面， 所以，平面平面， 因为，，， 则， 因为，，由余弦定理可得， 所以，， ， 所以，, ， 因为，所以，. 精练核心考点 1．（24-25高三下·湖北·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，． (1)在线段上找一点，使平面平面，求的长； 【答案】(1) 【知识点】补全面面垂直的条件、线面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）取中点为，连接，可得，又可得，进而可得平面，可得平面平面，可求得的长； 【详解】（1）取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面，， 因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 此时； 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面为正三角形，且平面平面． (1)求证：． (2)若为中点，试在上找一点，使平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点 【知识点】线面垂直证明线线垂直、补全面面垂直的条件 【分析】（1）通过构造线面垂直的方法来证得. （2）结合面面垂直的判定定理判断出点的位置. 【详解】（1）取的中点，连接，，， ∵，∴． 在底面菱形中，∵，∴三角形是等边三角形，则， 由于平面， 所以平面，由于平面，所以. （2）为的中点，连接交于点．连接， ∵，，∴所以四边形是平行四边形， ∴为的中点，则． ∵平面平面且交线为，，平面， ∴平面， 则平面， 由于平面， ∴平面平面， 所以是的中点. 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】存在， 【知识点】补全面面垂直的条件、证明线面垂直 【分析】先判断存在符合题意的点，即当点为的中点即时，平面平面.然后通过证明平面，利用面面垂直的判定定理即可证明结论. 【详解】当点为的中点，即时，平面平面. 证明如下：设的中点为，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以且， 又为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为，M为棱的中点，故, 又因为平面ABC,平面ABC, 故，由平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 题型十三：面面垂直的性质定理应用 典型例题 例题1．（2025·北京丰台·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，.    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据余弦定理求得即可得到，利用面面垂直的性质定理可证明结论. 【详解】（1）∵在中，，，， ∴，故. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面. 例题2．（24-25高二下·广东韶关·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，． (1)求证：平面ABCD； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理得到，然后根据线面垂直的判定定理即可得出答案； 【详解】（1）由题， 在中，，，， 所以， 平面底面ABCD ，，且平面底面， 所以平面，又平面，所以，平面ABCD， 所以平面ABCD； 精练核心考点 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，，且，平面平面. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先根据题意利用平面图形的知识得到，，再根据平面平面，根据面面垂直线面垂直线线垂直，得，结合即可证得结论； 【详解】（1）连接，由得， 由，，， 得， 所以，， 所以，，即，， 由平面平面平面，平面平面，， 得平面， 又平面，所以， 由，，平面， 所以平面. 2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）利用三线合一得到出，再利用面面垂直的性质定义得到平面，进而利用线面垂直的判定与性质定理即可得证； 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示， 因为，是的中点， 所以，且， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，得， 因为，所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又在三棱柱中，， 所以四边形是菱形，所以， 又，平面， 所以平面． 3．（2025·湖南邵阳·二模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）先由勾股定理证明，再由面面垂直的性质定理得到面，最后再由线面垂直的判定定理可得； 【详解】（1）证明：，，，故． 又面面，面面，面， 面． 面，， 又，面，，面． 学科网（北京）股份有限公司 $$