专题10.2 10.2事件的相互独立性(4大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题10-2 10.2事件的相互独立性 题型一：独立事件的判断 典型例题 例题1．（24-25高二下·上海·期中）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（   ） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、判断命题的真假、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】分别写出对应的样本空间，结合互斥事件与独立事件的概念即可判断命题的真假. 【详解】若该家庭中有两个小孩， 样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， (男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)， 则M与N不互斥，故命题①错误； 若该家庭中有三个小孩， 样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)， (男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， 则，于是， 所以M与N相互独立，故命题②正确． 故选：C． 例题2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则 ，共18个基本事件，则， 设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是9， 则共4个基本事件，则， 且，则， ，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件两次朝上面的数字之和是10， 则，则， 且，则， 因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：C. 例题3．（24-25高二下·湖南邵阳·期中）数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 【答案】C 【知识点】独立事件的判断、独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概率和相互独立的公式即可求解. 【详解】对于选项A：两次掷出的点数之和是6的情况可为， 由乘法公式可得所以可能情况为种，所以，故选项A错误； 对于选项B：，，，，故选项B错误； 对于选项C：，，， 所以，所以与相互独立，故选项C正确； 对于选项D：，，，故选项D错误. 故选：C. 例题4．（多选）（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（    ） A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁 【答案】ABC 【知识点】独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的定义来判断各选项中的两个事件是否相互独立.分别求出各事件发生的概率以及它们同时发生的概率，然后进行比较. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，每次都有种不同的结果. 事件甲：第一次点数为奇数，即第一次掷出、、，共种情况，所以. 事件乙：第二次点数为偶数，即第二次掷出、、，共种情况，所以. 事件丙：两次点数相同，即、、、、、，共种情况，所以. 事件丁：两次点数之和为偶数，可分为“两次点数均为奇数”和“两次点数均为偶数”. “两次点数均为奇数”有种情况，“两次点数均为偶数”也有种情况，所以. 甲与丙：甲与丙同时发生，即第一次点数为奇数且两次点数相同，有、、， 共种情况，所以. 而，即，所以甲与丙相互独立. 乙与丙：乙与丙同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数相同，有、、，共种情况，所以. 而，即，所以乙与丙相互独立. 乙与丁：乙与丁同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数之和为偶数， 也就是第一次点数也为偶数，有种情况，所以. 而，即，所以乙与丁相互独立. 丙与丁：丙与丁同时发生，即两次点数相同且两次点数之和为偶数， 也就是两次点数均为偶数或均为奇数，有、、、、、，共种情况， 所以. 而，即，所以丙与丁不相互独立. 甲与丙、乙与丙、乙与丁相互独立. 故选：ABC. 精练核心考点 1．（2026高三·全国·专题练习）设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则事件M，N相互独立 C．若，则事件M，N相互独立 D．若，则事件相互独立 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】对于A，由互斥事件的概率加法公式可判断真假；对于B，由独立事件的概率公式可判断真假； 对于C、D，由对立事件和独立事件的概率公式可判断真假. 【详解】对于A，由互斥事件的概率加法公式得，故A是假命题； 对于B，因为，所以事件相互独立，故B是真命题； 对于C，由得，， 所以事件不相互独立，故C是假命题； 对于D，由题意得，，若相互独立，则，故D是假命题． 故选：B. 2．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【知识点】独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误. 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 3．（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得. 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 4．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（   ） A．A与C B．A与D C．B与C D．B与D 【答案】ABC 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据给定条件，列举出样本空间，求出有关概率，再利用相互独立事件的判定公式逐项计算判断. 【详解】掷两个质地均匀的骰子的样本空间： ，共36个样本点， ，共18个样本点， ，共24个样本点， ，共10个样本点， ，共9个样本点， ， 对于A，，，A是； 对于B，，，D是； 对于C，，，C是； 对于D，，，D不是. 故选：ABC 题型二：相互独立事件与互斥事件 典型例题 例题1．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【知识点】独立事件的判断、相互独立事件与互斥事件 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 例题2．（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【知识点】写出基本事件、相互独立事件与互斥事件、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 例题3．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、相互独立事件与互斥事件 【分析】首先列举样本空间，利用样本空间法，结合互斥，对立事件的定义，判断ABD，根据与的关系，判断C. 【详解】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个， 其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故， 事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故； 事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故， 事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故， 因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确； 因为,所以C与D不相互独立，故C错误. 因为,所以C与D不互斥，故D正确. 故选:C. 例题4．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【知识点】相互独立事件与互斥事件、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项. 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 精练核心考点 1．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【答案】B 【知识点】相互独立事件与互斥事件、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可. 【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确； 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误. 故选：B. 2．（23-24高二上·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式 【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互斥，不对立；再利用算出即可得到答案 【详解】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 3．（2024·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 【答案】A 【知识点】独立事件的判断、相互独立事件与互斥事件、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】利用互斥事件，独立事件的定义即得. 【详解】由题意得，， 所以. 所以与，与均相互独立，与，与均不互斥. 故选：A. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（    ） A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立 【答案】A 【知识点】相互独立事件与互斥事件 【分析】结合相互独立事件的概念直接判断即可 【详解】因为事件A是否发生对事件B、C是否发生不产生影响，所以A与B，A与C均相互独立. 故选：A 题型三：独立事件的乘法公式 典型例题 例题1．（24-25高二下·上海·期中）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 【答案】C 【知识点】概率的基本性质、独立事件的乘法公式 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及概率的基本性质计算得解. 【详解】由事件与事件相互独立，，得， 所以. 故选：C 例题2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得 元． 【答案】60 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】分别求出小王、小明最终获胜的概率，即可求出结论. 【详解】若小王最后获胜的情况为第四局小王赢或第五局小王赢、 故小王赢的概率为， 若小明最后获胜的情况为后两局小明获胜，故小明获胜的概率为， 故两人获胜的比例为，故按获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得元. 故答案为：. 例题3．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知事件A，B相互独立，且，，则当 时，取得最大值，最大值为 ． 【答案】 / / 【知识点】独立事件的乘法公式、概率的基本性质 【分析】先根据概率的性质得，然后利用相互独立事件的乘法公式求得，根据二次函数性质求解最大值即可. 【详解】由得， 则， 当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：； 例题4．（24-25高二下·上海青浦·期中）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为.乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，则至少有一个一等品的概率 ． 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据题意先求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率，记为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件，即计算即可. 【详解】设分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有,解得, 记为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件， 则, 故答案为： 精练核心考点 1．（24-25高二下·上海闵行·期中）甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为0.8，0.5，已知两人是否投中互不影响，则两人中至少有一个人投中的概率为 . 【答案】/ 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】由事件的相互独立性计算两人都没有投中的概率，再根据对立事件的概率公式求两人至少有一人投中的概率即可. 【详解】由事件的相互独立性可知：两人都没有投中的概率为， 所以两人中至少有一个人投中的概率. 故答案为：. 2．（2025·四川绵阳·三模）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲､乙､丙3个问题，已知他答对甲､乙､丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为 . 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意，至少能够连续将2道题都答对， 包含的情况有：甲乙都对，丙正误都可；甲错误，乙丙对， 则小张获得额外加分的概率为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·江苏盐城·期中）甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是， ，那么两人都解错的概率是 . 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意知，甲、乙解对题的概率分别是和 ，且甲、乙两人相互独立， 所以两人都解错的概率为. 故答案为：. 4．（2025·上海普陀·二模）已知事件与事件相互独立，若，则 . 【答案】/ 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式来求解即可. 【详解】由独立事件性质， ， , 故答案为： 题型四：独立事件的实际应用 典型例题 例题1．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． (1)若乙投球2次均未命中的概率为，求； (2)若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案. 【详解】（1）由题意知，，故； （2）用表示“两人共命中2次”， ． 例题2．（23-24高一下·河南新乡·期末）某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他在科目考试第一次合格的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他可获得证书的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）根据独立事件概率计算公式求解即可； （2）先计算他考试的次数为2、3、4且获得证书的概率，进而即可求解. 【详解】（1）科目考试合格的概率为， 则他在科目考试第一次合格的概率为. （2）他考试的次数为2且获得证书的概率为， 他考试的次数为3且获得证书的概率为， 他考试的次数为4且获得证书的概率为， 所以他可获得证书的概率为. 例题3．（23-24高一下·河南开封·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.已知在某局双方平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为，求的值； (2)在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率. 【答案】(1)的值为 (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据题意得到事件的可能情况进而列出方程求解； （2）根据题意分析知所对应的事件为前两球甲乙各得1分、后两球均为甲得分，根据题意的先后手情况，列出式子求解即可. 【详解】（1）由题意可知，甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束， 所对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”， 所以， 解得，即的值为 （2）由题意可知，若两人又打了4个球且甲获胜， 所对应的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”， 因为甲发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为， 乙发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为， 所以 精练核心考点 1．（23-24高二上·云南·阶段练习）某地为宣传防疫政策,组织专家建设题库供各单位学习,半个月后,当地电视台举办中小学学生防疫知识竞答闯关比赛,规则如下:每队三人,需要从题库中选三道题依次回答,每人一题．第一道题回答正确得10分,回答错误得0分;第二道题回答正确得20分,回答错误扣10分;第三道题回答正确得30分,回答错误扣20分．每组选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛,选拔了三位选手,这三位选手在进行题库训练时的正确率如下表: 选手 1号 2号 3号 正确率 80% 80% 90% 假设选手答题结果互不影响,用频率代替概率． (1)若学校安排1号、2号、3号依次出场回答,则“闯关成功”的概率是多少？ (2)如何安排出场顺序使“闯关成功”的概率最大？ 【答案】(1)0.864 (2)出场顺序为1号、2号、3号 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的实际应用 【分析】(1)若闯关成功,则有三种情况: 三道题全对;第一道题答错、其余都答对;第二道题答错、其余都答对,求出各种情况的概率并相加即可; (2)因为1号与2号答题的正确率相同,所以只需考虑3号出场顺序即可,分三种情况,3号排第一,第二,第三,分别求出闯关成功概率,比较大小即可. 【详解】（1）解:根据题意,“闯关成功”则必须三道题全对或者第一道题答错、其余都答对或者第二道题答错、其余都答对,而其他各种答题结果总得分都低于30分, 若三道题全对,则得分60, 此时概率． 若第一道题答错、其余都答对,则得分50, 此时概率． 若第二道题答错、其余都答对,则得分30, 此时概率． 所以“闯关成功”的概率; （2）由于1号与2号答题的正确率相同,所以只需考虑以下三种出场顺序: ①3号排第一;②3号排第二;③3号排第三． 若3号排第一,则“闯关成功”的概率, 若3号排第二,则“闯关成功”的概率, 若3号排第三,由（1）知“闯关成功”的概率, 综上可知,出场顺序为1号、2号、3号时,“闯关成功”的概率最大． 2．（23-24高一下·山东泰安·期末）某工厂有，，三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是非合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，记事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品． (1)求事件，，的概率； (2)随机从，，三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，求恰有2个合格品的概率． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】（1）借助对立事件的概率公式，把相互独立的事件同时发生的概率表示出来，然后联立方程组求解即可得到每个事件发生的概率； （2）随机从三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，恰有2个合格品的情况分为、、三种，根据相互独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）因为事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品，则事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是非合格品，且，，相互独立，，，也相互独立． 由得 解得，，， （2）由（1）知，，， 记事件为抽取的三个汽车配件中合格品为2个，则 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立． (1)若乙对同一目标射击两次，求恰有一次命中目标的概率； (2)若甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式进行求解；（2）先求目标没被命中的概率，进而用对立事件的概率公式进行求解. 【详解】（1）设乙第一次命中目标为事件，第二次命中目标为事件， 乙对同一目标射击两次，恰有一次命中目标为事件， 则， ． （2）设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件，丙命中目标为事件， 三人对同一目标射击，目标被命中为事件， 可知，三人对同一目标射击，目标不被命中为事件， 有， 由已知， ， 三人对同一目标各射击一次，目标被命中的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10-2 10.2事件的相互独立性 题型一：独立事件的判断 典型例题 例题1．（24-25高二下·上海·期中）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（   ） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 例题2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 例题3．（24-25高二下·湖南邵阳·期中）数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 例题4．（多选）（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（    ） A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁 精练核心考点 1．（2026高三·全国·专题练习）设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则事件M，N相互独立 C．若，则事件M，N相互独立 D．若，则事件相互独立 2．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 3．（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（   ） A．A与C B．A与D C．B与C D．B与D 题型二：相互独立事件与互斥事件 典型例题 例题1．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 例题2．（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 例题3．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 例题4．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 精练核心考点 1．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 2．（23-24高二上·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 3．（2024·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 4．（24-25高一下·全国·课后作业）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（    ） A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立 题型三：独立事件的乘法公式 典型例题 例题1．（24-25高二下·上海·期中）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 例题2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得 元． 例题3．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知事件A，B相互独立，且，，则当 时，取得最大值，最大值为 ． 例题4．（24-25高二下·上海青浦·期中）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为.乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，则至少有一个一等品的概率 ． 精练核心考点 1．（24-25高二下·上海闵行·期中）甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为0.8，0.5，已知两人是否投中互不影响，则两人中至少有一个人投中的概率为 . 2．（2025·四川绵阳·三模）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲､乙､丙3个问题，已知他答对甲､乙､丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为 . 3．（24-25高二下·江苏盐城·期中）甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是， ，那么两人都解错的概率是 . 4．（2025·上海普陀·二模）已知事件与事件相互独立，若，则 . 题型四：独立事件的实际应用 典型例题 例题1．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． (1)若乙投球2次均未命中的概率为，求； (2)若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 例题2．（23-24高一下·河南新乡·期末）某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他在科目考试第一次合格的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他可获得证书的概率． 例题3．（23-24高一下·河南开封·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.已知在某局双方平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为，求的值； (2)在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率. 精练核心考点 1．（23-24高二上·云南·阶段练习）某地为宣传防疫政策,组织专家建设题库供各单位学习,半个月后,当地电视台举办中小学学生防疫知识竞答闯关比赛,规则如下:每队三人,需要从题库中选三道题依次回答,每人一题．第一道题回答正确得10分,回答错误得0分;第二道题回答正确得20分,回答错误扣10分;第三道题回答正确得30分,回答错误扣20分．每组选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛,选拔了三位选手,这三位选手在进行题库训练时的正确率如下表: 选手 1号 2号 3号 正确率 80% 80% 90% 假设选手答题结果互不影响,用频率代替概率． (1)若学校安排1号、2号、3号依次出场回答,则“闯关成功”的概率是多少？ (2)如何安排出场顺序使“闯关成功”的概率最大？ 2．（23-24高一下·山东泰安·期末）某工厂有，，三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是非合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，记事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品． (1)求事件，，的概率； (2)随机从，，三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，求恰有2个合格品的概率． 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立． (1)若乙对同一目标射击两次，求恰有一次命中目标的概率； (2)若甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$