第8章 整式乘法与因式分解 单元测试-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第8章 整式乘法与因式分解 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第8章（整式乘法与因式分解）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．2025年春节期间，昆明翠湖公园举办新春灯会暨第十三届郁金香花展，23种约20万球各色郁金香绚烂迎春，营造出“春暖四时，花开春城”的靓丽景观，让市民游人感受到浓浓春意．某品种郁金香花粉直径约为0.000000032米，数据0.000000032用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．若，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（   ） A．9 B．3 C．12 D．6 8．若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 9．已知，则的值是（   ） A．12 B．19 C．18 D．11 10．如果将（为非负整数）展开后的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别是1，1； ，它有三项，系数分别是1，2，1； ，它有四项，系数分别是1，3，3，1； ，它有五项，系数分别是1，4，6，4，1． …… 将上述式子的各项系数排成如图所示的数表，按照规律可以续写数表，该数表在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中提过，因而叫作杨辉三角．根据上述研究方法可以确定展开后的第四项的系数为（    ） A．6 B．10 C．15 D．20 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．分解因式： ． 12．老师在黑板上书写了一个完全平方公式，随后用手掌捂住了一项，形式如下：，则被手掌盖住的这一项为 ． 13．如图所示是一个长方体，底面正方形的边长为，高为，如果它的高不变，底面正方形的边长增加，那么它的体积增加了 ． 14．已知，，则的值等于 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．计算：． 16．计算： (1) (2) (3) (4) 17．因式分解： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．已知，求值： (1)； (2)． 20．“筑牢民生之基，增强百姓奉福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）： (2)当，时，求绿化部分的面积． 21．数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法． (1)在学习第一章《整式的乘除》时，通过对图1的面积“算两次”得到公式________； (2)如图2，两个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长，，之间有什么等量关系吗？（注：写出解答过程） (3)在（2）的条件下，当，时，求的值． 22．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 23．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到： (1)由图2可以得到：_____ (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，求的值； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 整式乘法与因式分解 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第8章（整式乘法与因式分解）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，熟记以上基础的运算的运算法则是解本题的关键． 根据合并同类项可判断A，同底数幂的乘法可判断B，根据积的乘方运算可判断C，根据同底数幂的除法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：与不是同类项，求和不能继续计算，故A不符合题意； ，故B选项计算准确符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B． 2．下列各式，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的特点，两数和与两数差的乘积，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； C、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，能用平方差公式进行计算，符合题意； 故选D． 3．2025年春节期间，昆明翠湖公园举办新春灯会暨第十三届郁金香花展，23种约20万球各色郁金香绚烂迎春，营造出“春暖四时，花开春城”的靓丽景观，让市民游人感受到浓浓春意．某品种郁金香花粉直径约为0.000000032米，数据0.000000032用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据0.000000032用科学记数法表示为． 故选：B． 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据有理数乘方的逆运算可得，再根据积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解： ， 故选：D． 5．若，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方；分别计算、、的值：比较大小可得，即可求解． 【详解】解：，，． ，即． 故选：D． 6．对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，正确掌握新定义是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 7．已知，则的值为（   ） A．9 B．3 C．12 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式求解即可得． 【详解】解：， ， 故选：B． 8．若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含项，得出与的关系即可． 【详解】解：原式 展开的结果中不含有项 ． 故选：C． 9．已知，则的值是（   ） A．12 B．19 C．18 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值、平方差公式、多项式乘以多项式等知识，熟练运用相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据多项式乘以多项式法则，易得，再计算并将代入，然后利用平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故选：C． 10．如果将（为非负整数）展开后的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别是1，1； ，它有三项，系数分别是1，2，1； ，它有四项，系数分别是1，3，3，1； ，它有五项，系数分别是1，4，6，4，1． …… 将上述式子的各项系数排成如图所示的数表，按照规律可以续写数表，该数表在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中提过，因而叫作杨辉三角．根据上述研究方法可以确定展开后的第四项的系数为（    ） A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的推广、多项式乘法中的规律性问题等知识点，根据题意找出展开式的规律是解题的关键． 观察已有式子的项数、次数和各项的系数的规律，再利用这个规律即可解答． 【详解】解：通过观察可得（为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于相邻两项的系数和，展开式的项数是比所给代数式的次数多1，a的次数依次减1，b的次数依次加1 所以展开后的第四项的系数为20． 故选D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，难点在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．观察原式，找到公因式，提出公因式后发现符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得答案． 【详解】解： ． 故答案为： 12．老师在黑板上书写了一个完全平方公式，随后用手掌捂住了一项，形式如下：，则被手掌盖住的这一项为 ． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式，根据即可求解． 【详解】 解：由题意知：， 因此被手掌盖住的这一项为9， 故答案为：9． 13．如图所示是一个长方体，底面正方形的边长为，高为，如果它的高不变，底面正方形的边长增加，那么它的体积增加了 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，用变形后的长方体的体积减去原来的体积，即可． 【详解】解：； 故答案为：． 14．已知，，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握“完全平方公式：”是解题关键．利用完全平方公式求出，，的平方和，然后代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟知运算法则是正确解决本题的关键． 按实数的运算法则计算即可． 【详解】解：原式= 16．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接按照去括号的法则进行计算即可； （2）先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可； （4）按照多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查的是去括号，积的乘方运算，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练地运用以上基础运算的运算法则解题是关键． 17．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，在因式分解中，识别公因式和熟悉各种公式（如完全平方公式）是关键．通过提取公因式和应用适当的公式，可以有效地简化多项式，使其分解为更简单的因式乘积形式． （1）直接提取作为公因式进行因式分解即可； （2）先提取，接着将变成完全平方公式的形式即可． 【详解】（1）解： （2） ． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握“”和“”是解题的关键． 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 19．已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)72 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算，代入计算即可； （2）根据，积的乘方，同底数幂的乘方，积的乘方的逆运算法则，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 已知， ∴原式； （2）解：， 已知， ∴原式． 20．“筑牢民生之基，增强百姓奉福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）： (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)47平方米 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，弄清题意，列出相应的式子是解此题的关键． （1）根据绿化面积矩形面积正方形面积，利用多项式乘以多项式法则，去括号并合并即可得解； （2）将的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米， 答：绿化面积是平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：绿化面积是47平方米． 21．数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法． (1)在学习第一章《整式的乘除》时，通过对图1的面积“算两次”得到公式________； (2)如图2，两个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长，，之间有什么等量关系吗？（注：写出解答过程） (3)在（2）的条件下，当，时，求的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）利用“算两次”的方式分别计算图形的面积即可； （2）利用“算两次”的方式计算梯形的面积即可； （3）利用完全平方公式将变形为，再将，代入求值即可． 【详解】（1）解：如图1，从整体看是一个边长为的正方形，其面积为， 从局部看，由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个个长为、宽为的长方形，这四部分的面积和为． 因表示的都是同一个图形的面积， ． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图2，从整体上看是上底为，下底为，高为的直角梯形，其面积为， 从局部看，由三个直角三角形组成，三个直角三角形的面积和为， 因表示的都是同一个图形的面积， ， 整理，得：． （3）解：，， ， ， ， ． 22．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 【答案】(1)小磊； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意，掌握题目提供的方法． （1）根据题目中提供的信息进行解答即可； （2）根据老师提供的方法进行解答即可； （3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，得出，求出m、n的值． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式是， ∴小磊同学的想法是对的； （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为： ． （3）解：根据题意得： ∴，， ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴，． 23．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到： (1)由图2可以得到：_____ (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，求的值； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）本题考查了完全平方公式的几何背景，通过不同的方法计算图2中几何图形的面积，即通过大正方形面积等于六个小正方形面积之和建立等式，即可解题． （2）本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法和除法运算，以及因式分解的运用，先将用幂的形式表示出来，再结合（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：由图知，． （2）解：①由图2得， ∵，， ，， ∴． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$