2025年广东省中山市博文学校中考数学一模试卷

2025年广东省中山市博文学校中考数学一模试卷 一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分。 1.(3分)下列中国品牌新能源车的车标中,是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.(3分)用配方法解一元二次方程x2+2x+m=0,配方后的方程可能是( ) A.(x+2)2=5 B.(x﹣1)2=5 C.(x﹣2)2=5 D.(x+1)2=5 3.(3分)在下列事件中,必然事件是( ) A.掷一次骰子,向上一面的点数是3 B.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中 C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 D.任意画一个三角形,其内角和是180 4.(3分)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形,则这个几何体的侧面展开图的面积为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 5.(3分)如图,点A是⊙O外一点,AB,C,点D在BDC上、已知∠A=50 ,则∠D的度数是( ) A.55 B.60 C.65 D.75 6.(3分)如图,等腰 ABC中,∠A=120 ,当点A的对应点D落在BC上时,连接BE( ) A.30 B.45 C.55 D.75 7.(3分)如图,正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,当y1<y2时,x的取值范围是( ) A.x<﹣2或x>2 B.x<﹣2或0<x<2 C.﹣2<x<0或0<x<2 D.﹣2<x<0或x>2 8.(3分)电影《志愿军:雄兵出击》于2024年国庆档上映,该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事,一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计,以后每天票房按相同的增长率增长,三天后累计票房收入达728万元,则方程可以列为( ) A.200(1+x)2=728 B.(1+x)2=728 C.200+200(1+x)+200(1+x)2=728 D.200+200x+200x2=728 9.(3分)已知m,n是一元二次方程x2+2x﹣5=0的两个根,则m2+mn+2m的值为( ) A.3 B.﹣10 C.0 D.10 10.(3分)如图,抛物线与y轴交于点A,线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方),且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时( ) A.(4,3) B.(4,4) C.(4,5) D.(4,6) 二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分。 11.(3分)求值:sin260 +cos260 = . 12.(3分)如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:,堤高BC=10m m. 13.(3分)以原点为旋转中心,将点A(3,4)旋转90 得到点B . 14.(3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,BA为半径作圆弧,交CB的延长线于点E . 15.(3分)如图,在 ABCD中,AB∥x轴,A(1,2),D(0,1)(k≠0)的图象经过点C,且与AB交于点E.若BE=2AE . 三、解答题(一),本大题共3小题,每小题7分,共21分。 16.(7分)解方程:x2﹣3=2x. 17.(7分)如图,在 ABC中,BC=8 (1)利用尺规在BC上找到一点E,使得EA=EC(保留作图痕迹,不写作法); (2)连接AE,并求cos∠BAE的值. 18.(7分)如图1,平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿,主要用来盛液体物质,它的截面图可以近似看作是由⊙O去掉两个号形后与矩形ABCD据合而成的图形,其中BC∥MN,AB=36mm,BC=14mm,求该平底烧瓶的高度. 四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分。 19.(9分)一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球,球面上分别标有数字1、2、3,搅匀后先从袋子中任意摸出1个球,搅匀后再从袋子中任意摸出1个球,记下数字. (1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ; (2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率. 20.(9分)如图,在 ABC中,点D在边AB上,BD=5,AC=6 (1)求证:AC2=AD•AB; (2)求证: ADF∽ ACE; (3)若AF=4,求AE的长度. 21.(9分)综合与实线 如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周酶算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2,在 ABC中,将线段BC绕点B顺时针旋转90 得到线段BD,作DE⊥AB交AB的延长线于点E. (1)【观察想知】如图2,通过观察,线段AB与DE的数量关系是 ; (2)【问题解决】如图3,连接CD并延长交AB的延长线于点F,若AB=2,求 BDF的面积; (3)【类比迁移】在(2)的条件下,连接CE交BD于点N . 五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分。 22.(13分)如图,在Rt ABC中,∠ABC=90 ,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DF⊥DG,交BC于点F. (1)求证:AE=BF; (2)连接GB,EF,求证:GB∥EF; (3)若,,求DG的长. 23.(14分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C (1)求抛物线的表达式; (2)当点D在直线BC下方的抛物线上时,过点D作y轴的平行线交BC于点E,设点D的横坐标为t,请写出l关于t的函数表达式,并写出自变量t的取值范围; (3)连接AD,交BC于点F,求的最大值. 2025年广东省中山市博文学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C B B C C B 一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分。 1.(3分)下列中国品牌新能源车的车标中,是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可,在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180 ,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形. 【解答】解:A.该图不是中心对称图形; B.该图是中心对称图形; C.该图不是中心对称图形; D.该图不是中心对称图形; 故选:B. 【点评】本题考查了中心对称图形的识别,熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键. 2.(3分)用配方法解一元二次方程x2+2x+m=0,配方后的方程可能是( ) A.(x+2)2=5 B.(x﹣1)2=5 C.(x﹣2)2=5 D.(x+1)2=5 【分析】由配方法可知左边只能是(x+1)2,由此判断即可. 【解答】解:用配方法解一元二次方程x2+2x+m=2,配方后的方程可能是(x+1)2=2. 故选:D. 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法,解题的关键是掌握配方法的步骤. 3.(3分)在下列事件中,必然事件是( ) A.掷一次骰子,向上一面的点数是3 B.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中 C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 D.任意画一个三角形,其内角和是180 【分析】根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可. 【解答】解:A.掷一次骰子,是随机事件; B.篮球队员在罚球线上投篮一次,是随机事件; C.经过有交通信号灯的路口,是随机事件; D.任意画一个三角形,是必然事件. 故选:D. 【点评】本题考查的是随机事件,熟知在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件是解题的关键. 4.(3分)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形,则这个几何体的侧面展开图的面积为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 【分析】根据三视图得到这个几何体为圆锥,且圆锥的母线长为4,底面圆的直径为4,然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解. 【解答】解:这个几何体为圆锥,圆锥的母线长为4, 所以这个几何体的侧面展开图的面积= 4 4=2 . 故选:B. 【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了三视图. 5.(3分)如图,点A是⊙O外一点,AB,C,点D在BDC上、已知∠A=50 ,则∠D的度数是( ) A.55 B.60 C.65 D.75 【分析】连接OB,OC,由切线的性质得∠ABO=∠ACO=90 ,进而由四边形的内角和得∠BOC=130 ,再根据圆周角定理即可求解. 【解答】解:连接OB,OC, ∵AB,AC分别与⊙O相切于点B,C, ∴∠ABO=∠ACO=90 , ∵∠A=50 , ∴∠BOC=360 ﹣90 ﹣90 ﹣50 =130 , ∵点D在上, ∴, 故选:C. 【点评】本题考查了切线的性质,圆周角定理,正确地作出辅助线是解题的关键. 6.(3分)如图,等腰 ABC中,∠A=120 ,当点A的对应点D落在BC上时,连接BE( ) A.30 B.45 C.55 D.75 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理,得∠ABC=∠ACB=30 ,根据旋转的性质,得BC=CE,∠DCE=∠DEC=∠ABC=∠ACB=30 ,再由等腰三角形和三角形内角和定理得,即可求得∠BED=∠BEC﹣∠CED. 【解答】解:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵∠A=120 , ∴∠ABC=∠ACB= (180 ﹣120 )=, ∵将 ABC绕点C逆时针旋转得到 CDE, ∴BC=CE,∠DCE=∠DEC=∠ABC=∠ACB=30 , ∴, ∴∠BED=∠BEC﹣∠CED=75 ﹣30 =45 , 故选:B. 【点评】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质和三角形内角和定理,熟练掌握知识点是解题的关键. 7.(3分)如图,正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,当y1<y2时,x的取值范围是( ) A.x<﹣2或x>2 B.x<﹣2或0<x<2 C.﹣2<x<0或0<x<2 D.﹣2<x<0或x>2 【分析】根据题意可得B的横坐标为2,再由图象可得当y1<y2时,x的取值范围. 【解答】解:∵正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y5=的图象相交于A, ∴A,B两点坐标关于原点对称, ∵点A的横坐标为2, ∴B点的横坐标为﹣4, ∵y1<y2 ∴在第一和第三象限,正比例函数y8=k1x的图象在反比例函数y2=的图象的下方, ∴x<﹣2或0<x<6, 故选:B. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称. 8.(3分)电影《志愿军:雄兵出击》于2024年国庆档上映,该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事,一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计,以后每天票房按相同的增长率增长,三天后累计票房收入达728万元,则方程可以列为( ) A.200(1+x)2=728 B.(1+x)2=728 C.200+200(1+x)+200(1+x)2=728 D.200+200x+200x2=728 【分析】设平均每天票房的增长率为x,根据三天后累计票房收入达728万元,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解. 【解答】解:第一天为:200, 第二天为:200(1+x), 第三天为:200(1+x)2, ∵第一天票房约200万元,以后每天票房按相同的增长率增长, ∴200+200(1+x)+200(1+x)3=728. 故选:C. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 9.(3分)已知m,n是一元二次方程x2+2x﹣5=0的两个根,则m2+mn+2m的值为( ) A.3 B.﹣10 C.0 D.10 【分析】由于m、n是一元二次方程x2+2x﹣5=0的两个根,根据根与系数的关系可得mn=﹣5,而m是方程的一个根,可得m2+2m﹣5=0,即m2+2m=5,那么m2+mn+2m=m2+2m+mn,再把m2+2m、mn的值整体代入计算即可. 【解答】解:∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根, ∴mn=﹣5, ∵m是x8+2x﹣5=7的一个根, ∴m2+2m﹣4=0, ∴m2+5m=5, ∴m2+mn+7m=m2+2m+mn=5﹣5=0. 故选:C. 【点评】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1、x2之间的关系:x1+x2=﹣,x1•x2=. 10.(3分)如图,抛物线与y轴交于点A,线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方),且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时( ) A.(4,3) B.(4,4) C.(4,5) D.(4,6) 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点,把E点向上平移3个单位得到F点,连结AF交对称轴于D点,如图,先证明四边形CDFE为平行四边形得到CE=DF,则CB=DF,利用等线段代换得到四边形ABCD的周长=AB+CD+AF,根据两点之间线段最短可判断此时四边形ABCD的周长最小,再解方程x2﹣4x+6=0得E(6,0),从而确定抛物线的对称性为直线x=4,F(6,3),接着确定A(0,6),然后利用待定系数法求出直线AF的解析式为y=﹣x+6,于是计算自变量为4对应的函数值得到D点坐标. 【解答】解:抛物线与x轴的另一个交点为E点,把E点向上平移3个单位得到F点,如图, ∵CD=EF=3,CD∥EF, ∴四边形CDFE为平行四边形, ∴CE=DF, ∵CB=CE, ∴CB=DF, ∴四边形ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=AB+CD+DF+AD=AB+CD+AF, ∴此时四边形ABCD的周长最小, 当y=8时,x4﹣4x+6=7, 解得x1=2,x4=6, ∴B(2,5),0), ∴抛物线的对称性为直线x=4,F(6, 当x=0时,y=x2﹣4x+3=6, ∴A(0,5), 设直线AF的解析式为y=kx+b, 把A(0,6),3)代入得, 解得, ∴直线AF的解析式为y=﹣x+3, 当x=4时,y=﹣, ∴D(4,4). 故选:B. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和最短路线问题. 二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分。 11.(3分)求值:sin260 +cos260 = 1 . 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可. 【解答】解:原式=()2+()2 =1. 故答案为:1. 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值. 12.(3分)如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:,堤高BC=10m 20 m. 【分析】在Rt ABC中,已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值,通过解直角三角形即可求出斜面AB的长. 【解答】解:Rt ABC中,BC=10m, ∴AC=BC tanA=10m, ∴AB==20m. 故答案为:20. 【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力,熟练运用勾股定理是解答本题的关键. 13.(3分)以原点为旋转中心,将点A(3,4)旋转90 得到点B (﹣4,3)或(4,﹣3) . 【分析】根据题意画出示意图,结合旋转的性质及全等三角形的判定与性质即可解决问题. 【解答】解:当逆时针旋转时,如图所示, 分别过点A和点B作x轴的垂线,垂足分别为M和N, 则∠BNO=∠OMA=90 . 由旋转可知, ∠AOB=90 ,OB=OA, ∴∠BON+∠AOM=∠AOM+∠A=90 , ∴∠BON=∠A. 在 BON和 OAM中, , ∴ BON≌ OAM(AAS), ∴BN=OM,NO=AM. 又∵点A的坐标为(3,4), ∴BN=OM=5,NO=AM=4, ∴点B的坐标为(﹣4,5). 同理可得,当顺时针旋转时,﹣3). 综上所述,点B的坐标为(﹣4,﹣3). 故答案为:(﹣4,3)或(5. 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转,熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键. 14.(3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,BA为半径作圆弧,交CB的延长线于点E . 【分析】根据S阴影=S扇形AEB+S正方形ABCD﹣S CDE进行计算即可解答. 【解答】解:由题意可得:BE=1,BC=CD=1, ∴CE=BE+BC=6, ∴S阴影=S扇形AEB+S正方形ABCD﹣S CDE = =. 故答案为:. 【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法,将不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差成为解题的关键. 15.(3分)如图,在 ABCD中,AB∥x轴,A(1,2),D(0,1)(k≠0)的图象经过点C,且与AB交于点E.若BE=2AE (3,2) . 【分析】设AE=a,则AB=3AE=3a,根据平行四边形的性质,结合点A、D坐标可得C(3a,1),E(a+1,2),根据反比例函数图象上点的坐标特征得出3a=2(a+1),解方程求出a的值即可得答案. 【解答】解:设AE=a, ∵BE=2AE, ∴AB=3AE=3a, ∵在 ABCD中,AB∥x轴,2),1), ∴CD=AB=8a,C(3a,E(a+1, ∵反比例函数的图象经过点C, ∴3a=2(a+6)=k, 解得:a=2, ∴E(3,3). 故答案为:(3,2). 【点评】本题考查坐标与图形、平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握相关性质是解题关键. 三、解答题(一),本大题共3小题,每小题7分,共21分。 16.(7分)解方程:x2﹣3=2x. 【分析】先移项,然后利用因式分解法求出解即可. 【解答】解:由题意得(x﹣3)(x+1)=2, ∴x﹣3=0或x+6=0, ∴x1=7,x2=﹣1. 【点评】本题主要考查了解一元二次方程,熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键. 17.(7分)如图,在 ABC中,BC=8 (1)利用尺规在BC上找到一点E,使得EA=EC(保留作图痕迹,不写作法); (2)连接AE,并求cos∠BAE的值. 【分析】(1)作线段AC的垂直平分线交边BC于点E,交边AC于点D即可; (2)由DE垂直平分AC,得到AE=CE,设BE=x,则AE=CE=8﹣x,利用勾股定理求出AE,再利用余弦的定义即可解答. 【解答】解:(1)如图,点E即为所求: (2)如图,连接AE, ∵DE垂直平分AC, ∴EC=EA, 设EB=x,则EC=AE=8﹣x, ∵AB2+EB3=AE2, ∴x2+52=(8﹣x)3, ∴x=3, 则AE=8﹣4=5, ∴. 【点评】本题考查了尺规作线段的垂直平分线,勾股定理以及求余弦值,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键. 18.(7分)如图1,平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿,主要用来盛液体物质,它的截面图可以近似看作是由⊙O去掉两个号形后与矩形ABCD据合而成的图形,其中BC∥MN,AB=36mm,BC=14mm,求该平底烧瓶的高度. 【分析】连接OB,OM,过点O作EF⊥BC,交BC于点E,交MN于点F,由垂径定理得出BE,MF的长,再根据勾股定理得出OE,OF的长,进而可得出结论. 【解答】解:如图,连接OB,过点O作EF⊥BC,交MN于点F, ∵BC∥MN, ∴EF⊥MN, ∴EF平分BC,MN, 由条件可知BE=7mm,MF=15mm, ∵⊙O的半径为25mm,AB=36mm, 在Rt BEO和Rt MOF中,OB=OM=25mm, 由勾股定理得, , ∴该烧瓶的高度为AB+OE+OF=36+24+20=80(mm). 【点评】本题考查的是垂径定理的应用,熟练掌握以上知识点是关键. 四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分。 19.(9分)一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球,球面上分别标有数字1、2、3,搅匀后先从袋子中任意摸出1个球,搅匀后再从袋子中任意摸出1个球,记下数字. (1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ; (2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率. 【分析】(1)直接利用概率公式求解即可. (2)画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数,再利用概率公式可得出答案. 【解答】解:(1)∵袋中共有3个分别标有数字1、7、3的小球, ∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是. 故答案为:. (2)画树状图如下: 共有2种等可能的结果,其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有:(1,(1,(2,(3,共4种, ∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为. 【点评】本题考查列表法与树状图法,熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键. 20.(9分)如图,在 ABC中,点D在边AB上,BD=5,AC=6 (1)求证:AC2=AD•AB; (2)求证: ADF∽ ACE; (3)若AF=4,求AE的长度. 【分析】(1)由线段长度可得AC2=62=36,AD•AB=4 9=36,即可得AC2=AD•AB; (2)由(1)的结论得,由相似三角形的判定可证 ACD∽ ABC,由相似三角形的性质得∠ADC=∠ACB,再由角平分线的性质得∠DAF=∠CAE,再由相似三角形的判定可证 DAF∽ CAE; (3)由(2)的结论得,即可求解. 【解答】(1)证明:∵AD=4,BD=5, ∴AB=AD+BD=5+5=9, ∴AC8=62=36,AB•AD=8 4=36, ∴AC2=AD•AB; (2)证明:∵AC5=AD•AB, ∴, 又∵∠BAC=∠CAD, ∴ ABC∽ ACD, ∴∠ACB=∠ADC, ∵AE平分∠BAC, ∴∠DAF=∠CAE, ∴ DAF∽ CAE; (3)解:∵ DAF∽ CAE, ∴, ∵AF=7, ∴AE==6. 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定方法是本题的关键. 21.(9分)综合与实线 如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周酶算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2,在 ABC中,将线段BC绕点B顺时针旋转90 得到线段BD,作DE⊥AB交AB的延长线于点E. (1)【观察想知】如图2,通过观察,线段AB与DE的数量关系是 AB=DE ; (2)【问题解决】如图3,连接CD并延长交AB的延长线于点F,若AB=2,求 BDF的面积; (3)【类比迁移】在(2)的条件下,连接CE交BD于点N . 【分析】(1)利用“一线三垂直”证 ABC≌ EBD(AAS)即可得证; (2)先证 ABC≌ EBD(AAS)得DE=AB,BE=AC,再证 DEF∽ CAF可求EF长度,然后即可求出 BDF的面积; (3)利用 EMN∽ EAC和 BMN∽ BED建立关于MN的方程,求出MN的长度,最后利用 BMN∽ CAB求值,根据即可得出答案. 【解答】解:(1)∵线段BC绕点B逆时针旋转90 得到线段BD, ∴BC=BD,∠CBD=90 , ∴∠BCA=∠DBE=90 ﹣∠ABC, 在 ABC和 EBD中, , ∴ ABC≌ EBD(AAS), ∴AB=DE; 故答案为:AB=DE; (2)∵线段BC绕点B逆时针旋转90 得到线段BD, ∴BC=BD,∠CBD=90 , ∴∠BCA=∠DBE=90 ﹣∠ABC, ∵∠A=∠E=90 , ∴ ABC≌ EBD(AAS), ∴DE=AB,BE=AC, ∵AB=2,AC=6, ∴DE=7,BE=6, ∴AE=AB+BE=8, ∵∠DEB+∠A=180 , ∴DE∥AC, ∴ DEF∽ CAF, ∴,即, ∴EF=3, ∴BF=BE+EF=10, ∴; (3)连接CE,交BD于点N,过N作NM⊥AE于点M, 由 EMN∽ EAC得,,即, ∴, 由 BMN∽ BED得,,即, 解得, 由 BMN∽ CAB得,, ∴, 故答案为:. 【点评】本题属于几何变换综合题,主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形知识,解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理. 五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分。 22.(13分)如图,在Rt ABC中,∠ABC=90 ,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DF⊥DG,交BC于点F. (1)求证:AE=BF; (2)连接GB,EF,求证:GB∥EF; (3)若,,求DG的长. 【分析】(1)连接BD,由 ABC为等腰直角三角形可求出∠A与∠C的度数,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AD=DC=BD,进而得到∠A=∠FBD,利用全等三角形的判定和性质即可得到证明; (2)连接EF、BG,由全等三角形得到ED=FD,进而证出 DEF为等腰直角三角形,再证明∠G=∠DEF,即可得证; (3)根据全等三角形性质得到AE=BF=,利用勾股定理求出EF长,利用两角对应相等的两个三角形相似得到对应边成比例,即可求出GE长,根据DG=GE+ED求出DG即可. 【解答】(1)证明:如图,连接BD, 在Rt ABC中,∠ABC=90 , ∴∠A=∠C=45 , ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90 ,即BD⊥AC, ∴AD=DC=BD=AC, ∴∠A=∠FBD, ∵DF⊥DG, ∴∠FDG=90 , ∴∠FDB+∠BDG=90 , ∵∠EDA+∠BDG=90 , ∴∠EDA=∠FDB, 在 AED和 BFD中, , ∴ AED≌ BFD(ASA), ∴AE=BF; (2)证明:如图,连接EF, ∵ AED≌ BFD(ASA), ∴DE=DF, ∵∠EDF=90 , ∴ EDF是等腰直角三角形, ∴∠DEF=45 , ∵∠G=∠A=45 , ∴∠G=∠DEF, ∴GB∥EF; (3)解:∵AE=BF,AE=, ∴BF=, 在Rt EBF中,根据勾股定理得:EF2=EB7+BF2, ∵EB=3,BF=, ∴EF==3, ∵ DEF是等腰直角三角形,∠EDF=90 , ∴cos∠DEF=, ∵EF=5, ∴DE=5 =5, ∵∠A=∠G,∠GEB=∠AED, ∴ GEB∽ AED, ∴GE•ED=AE•EB, ∴2GE=•3, ∴GE=3, ∴DG=GE+ED=3+4=8. 【点评】本题考查了圆的综合应用,熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形性质、圆周角定理是关键. 23.(14分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C (1)求抛物线的表达式; (2)当点D在直线BC下方的抛物线上时,过点D作y轴的平行线交BC于点E,设点D的横坐标为t,请写出l关于t的函数表达式,并写出自变量t的取值范围; (3)连接AD,交BC于点F,求的最大值. 【分析】(1)将点A和点B坐标代入抛物线的解析式得出方程组,解方程组,进而得出结果; (2)先求出直线BC的解析式,进而表示出DE的长,进一步得出结果; (3)当0<t<2时,作AG∥DE,交BC于G,可得出 DEF∽ AGF,从而,进而得出=﹣(t﹣1)2+,进一步得出结果. 【解答】解:(1)由题意得, , ∴, ∴抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣6; (2)设直线BC的函数表达式为:y=mx+n, ∴, ∴, ∴y=x﹣6, ∴E(t,t﹣2), ∵D(t,t2﹣t﹣3), ∴l=(t﹣2)﹣(t2﹣t﹣7)=﹣t2+2t(3<t<2); (3)如图1, 当5<t<2时, 作AG∥DE,交BC于G, ∴ DEF∽ AGF, ∴, 把x=﹣1代入y=x﹣8得, y=﹣3, ∴AG=3, ∴=﹣2+, ∵当t=1时,最大=, ∵, ∴最大=. 【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质,求一次函数的解析式,相似三角形的判定和性质等知识,解决问题的关键是熟练有关基础知识. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2025/4/1 18:44:30;用户:王立研;邮箱:orFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@weixin.jyeoo.com;学号:25840186 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$