精品解析：江苏省无锡市天一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024级高一数学阶段性练习（二） 编制：凌家辉 一、单选题 1. 下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D. 存在三棱锥，其四个面都是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个底面全等的斜棱柱拼接可判断A；利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接可判断B；考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；在正方体中，取三棱锥即可判断D. 【详解】对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，A错误； 对于B，如图2，利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接而成的几何体满足B中条件， 但该几何体不是棱台，B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，C错误； 对于D，如图3，在正方体中，连接， 因为平面，平面， 所以，所以为直角三角形. 又平面，平面， 所以，所以为直角三角形. 所以三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确. 故选：D 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出的实部和虚部，即可得出其对应的点. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 所以，则在复平面内对应的点为. 故选：. 3. 已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在方向上的投影向量可求得，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量和满足，由在方向上的投影向量为， 可得，解得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D. 4. 充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由已知可得选项C绕对称轴旋转才能形成充满气的车轮内胎，故选C. 考点：空间几何体. 5. 已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先结合圆的性质可得，则，再利用正弦定理求解可得答案. 【详解】O是△ABC的外心，则在上的投影向量为， 所以，解得， 由正弦定理，∴， 故选：B. 6. 已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由图形可知 ．故选B． 7. 如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（ ） A. B. 16 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【详解】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 8. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 30m B. 20m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中由正弦得出AM，再结合中由正弦定理得到CM，进而能求CD． 【详解】由题意知：，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 且 在中， (m)． 故选：C． 二、多选题 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据两个虚数无大小关系判断C；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断D. 【详解】对于A，设，显然，但，故A错误； 对于B，设，，则， 所以， ， 所以，故B正确； 对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量， 为和为邻边构成平行四边形的对角线的长度， 所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，，则正确的有（ ） A. B. 与方向相反的单位向量是 C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量是 【答案】AC 【解析】 【分析】由坐标表示向量的数量积可得A正确；先求出与方向同向的单位向量再求其相反向量可得B错误；由向量夹角的余弦计算可得C正确；由投影向量的计算可得D错误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与方向同向的单位向量是，所以相反的单位向量为，故B错误； 对于C，，又，所以与的夹角为，故C正确； 对于D，在上的投影向量是，故D错误. 故选：AC 11. 已知锐角三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的最小值为 C. 的面积最大值为 D. 的值可能为3 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据为锐角三角形，求出的范围，再根据正弦定理结合三角函数的性质求出的范围，则利用的取值范围判断A，利用平面向量数量积的定义结合余弦定理将数量积表示为一元函数，再利用二次函数的性质求解最值判断B，利用三角形面积公式判断C，利用余弦定理求出的范围，再判断D即可. 【详解】对于A，因为为锐角三角形，且， 所以，解得， 同理可得，则的取值范围为，故A正确， 对于B，由余弦定理得，即， 则，而， ， 令，由正弦定理得， 则， 因为，所以，得到， 则，而，得到， 由二次函数性质得在上单调递增，则， 即的最小值不为，故B错误， 对于C，由三角形面积公式得， 则的面积最大值不为，故C错误， 对于D，因为，所以， 因为， 而，所以的值可能为3，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：解题关键是结合题意求出的取值范围，然后利用平面向量数量积的定义结合余弦定理得到，再利用二次函数的性质得到所要求的最值即可． 三、填空题 12. 如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为____.  【答案】 【解析】 【分析】设的面积为，三棱台的高为，可知，利用台体的体积公式可求得的值，再利用台体和锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设的面积为，三棱台的高为， 易知，且，则， 则，可得， ， 所以，沿平面截去三棱锥， 则剩余的部分几何体的体积为. 故答案为：. 13. 已知的三个内角分别为、、，，求的值___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理，即可得到结果. 【详解】由余弦定理得：， 由正弦定理（r为外接圆的半径）， 得， 则， 故答案为： 14. 在中，是边的中点，是线段的中点．设，，若，的面积为，则当______．时，取得最小值． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量加减法的线性运算求解，由的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值时、的值，再利用余弦定理求出的值． 【详解】是边的中点，是线段的中点， 则，， 所以， 如图所示，中，， 所以的面积为， 所以， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为6， 所以此时，，， 所以， 所以． 故答案为：2． 四、解答题 15. 已知复数 （1）若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； （2）若复数满足，求． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件，即可列方程求解， （2）由复数的除法运算可得，即可由模长公式求解. 【小问1详解】 ，所以， 【小问2详解】 由可得 故 16. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得，利用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解； （2）利用向量的线性运算可得，结合题意由、向量数量积及面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以， ，即， 又，故，即. 【小问2详解】 ，所以， ， , 又,即, , 或（舍）, 故. 17. 在直角梯形中，，，，点是边上的中点. （1）若点满足，且，求的值； （2）若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； （2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果. 【小问1详解】 如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； 【小问2详解】 法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得 18. 养殖户承包一片靠岸水域，如图为直岸线，，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知. （1）求岸线上点与点之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，求的取值范围. 【答案】（1）千米 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，结合题意，可得答案； （2）由正弦定理，表示出边，整理利润的三角函数表达式，可得答案. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得 即岸线上点A与点之间的直线距离为千米. 【小问2详解】 在中，设， ， 故有， ， 设两段网箱获得的经济总收益为万元，则 ， 故的取值范围为. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可； （2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得； （3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得. 【小问1详解】 因， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 依题意，， 由可得， 即， 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象. 因方程在上有且仅有四个不相等的实数根 等价于函数与函数的图象在上有四个交点. 由图知，当且仅当或时，两者有四个交点. 故实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一数学阶段性练习（二） 编制：凌家辉 一、单选题 1. 下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D. 存在三棱锥，其四个面都是直角三角形 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（     ） A. B. C. D. 4. 充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（ ） A. B. C. D. 5. 已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是 A. B. C. D. 7. 如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（ ） A. B. 16 C. D. 12 8. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 30m B. 20m C. D. 二、多选题 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 10. 已知，，则正确的有（ ） A. B. 与方向相反的单位向量是 C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量是 11. 已知锐角三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的最小值为 C. 的面积最大值为 D. 的值可能为3 三、填空题 12. 如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为____.  13. 已知的三个内角分别为、、，，求的值___________． 14. 在中，是边的中点，是线段的中点．设，，若，的面积为，则当______．时，取得最小值． 四、解答题 15. 已知复数 （1）若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； （2）若复数满足，求． 16. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 17. 在直角梯形中，，，，点是边上的中点. （1）若点满足，且，求的值； （2）若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 18. 养殖户承包一片靠岸水域，如图为直岸线，，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知. （1）求岸线上点与点之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，求的取值范围. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $