2025年九年级中考数学二轮专题复习圆中相似三角形综合问题

2025年九年级中考数学二轮专题复习圆中相似三角形综合问题 1．如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点，点为弧的中点． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 2．已知的半径为是其内接三角形，． (1)如图1，求； (2)如图2，弦，连接分别交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的长． 3．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 4．如图1，在半径为2的扇形中，，点是上的一个动点（不与点、重合），点是的中点，交于，于． (1)当时，求线段的长； (2)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由． (3)设，，求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围． 5．如图，I是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)若于点M．求证：． 6．如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． (1)连接，求的度数； (2)求证：与相切； (3)点F在弧上，，交于点N．若，求的长． 7．如图，在中，，于点C，交的外接圆于点D．连接，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)当，时，求线段的长及的外接圆的半径长． 8．如图，在中，．以为直径的圆分别交，于点，．过点作圆的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 9．如图1，为上一点，点在直径的延长线上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，时，求的的半径； (3)若，，平分，求的长 10．如图，是的内接三角形，连接，过点作，交的切线于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的半径为10，，求的长． 11．已知为直径，弦交于点（点不与重合），连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作于点，交于点F，求的值 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点为弧上一点，连接交于点P，若，，，求圆O的周长 12．如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆．点D为上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交和于点E、F，取的中点M． (1)当时，求劣弧的度数； (2)当时，求的长； (3)连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 13．综合探究 如图，在中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作圆，分别交于点，交于点，交于点，连接，且为的中点． 【问题初探】求证：为的切线； 【深入探究】连接，求证：； 【问题拓展】若，，求，的长． 14．已知：内接于，，连接并延长交于点D，交于点E，于点F，交于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点H，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点R为弧上一点，连接、，交于点P，若，，，求的长． 15．定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”． (1)已知为边的“幸福线”，，，，则的长为________； (2)如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线”，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学二轮专题复习圆中相似三角形综合问题》参考答案 1．(1)的半径为； (2)． 【分析】（1）连接交于点，由垂径定理、含的直角三角形特征推得且，再结合含的直角三角形特征、勾股定理得到，求解即可得到半径； （2）连接、，由圆周角定理推得，解直角三角形求出，由即可得解． 【详解】（1）解：连接交于点， 点为弧的中点，即平分， 且， ，，， ， ， ，， ，， 即， ， 的半径为． （2）解：连接、， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、含的直角三角形特征、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程、圆周角定理、解直角三角形、求正切值，解题关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理． 2．(1)； (2)①见解析；②或． 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出 ，再根据同弧所对的圆周角相等可得出，进而可得出． （2）①连接并延长交于点，连接，由勾股定理得出，进而可得出，由题意可得出，进而可得出，根据同弧所对的圆周角相等可得出，进而可证明． ②分两种情况：当点与点重合时，由垂径定理可知，由（1）可知，进而可得出．当点与点不重合时，作，截取，连接．证明，由全等三角形的性质以及等量代换可得出，由等边对等角可得出，设，则，得出，再由进而可求出． 【详解】（1）解：在图①中，连接并延长交于点，连接， 是直径， ． 由题， 是所对的圆周角， ， （2）①证明：连接并延长交于点，连接， 在中，， ， ∴， 同理可证，， ∴， 则， ， 即． ②当点与点重合时，如下图，此时为直径， 于点． 由， 可得． 当点与点不重合时， 如下图，作，截取，连接． ， ， ． 由① ， 又， ， 又， ， 又 ， ． 设，则，，，． ， ∴， 由（1）知， 设，则，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、直径所对的圆周角为直角、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质，解题的关键是熟练解直角三角形和圆的性质． 3．(1)当时，平分； (2)； (3)存在，当时，与相切． 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得，运用勾股定理可得，再证得，可得，利用角平分线性质可得，建立方程求解即可得出答案； （2）过点作于点，利用相似三角形性质可得，再运用面积法求得，再根据三角形面积即可求得答案； （3）过点作于点，利用相似三角形性质和圆的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意得：，，，，， 是的直径， ， 在中，， ，， ， ，即， ， ， 当时，平分， ， 解得：， 当时，平分； （2）解：如图，过点作于点， ， ，即， ， ，， ，即， ， ； （3）解：存在某一时刻，使与相切．理由如下： 如图，过点作于点， 由（1）（2）知：，，，，，， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， ，即， 解得：， 当时，与相切． 4．(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）根据垂径定理有，再根据勾股定理即可求出的长度； （2）连接，根据勾股定理易求的长度，因为点和点是和的中点，根据三角形中位线定理即可求出； （3）由勾股定理有，根据，，，易得 ，过点作，垂足为点G，利用三角函数表示出和，由（2）知，由勾股定理表示出，从而表示出，根据三角形的面积公式即可得解． 【详解】（1）解：点是圆心，，， ， 又， ； （2）解：存在，是不变的． 如图，连接，则， 点是圆心，， 点是的中点， 点和点是和的中点， ； （3）解：如图，连结，过点作，垂足为点， ， ， ，，， ， ， 由（2）知， ， ， ， 点是上的一个动点（不与点、重合）， ，即， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，三角形的面积等，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题． 5．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，理解内心的概念及性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键， （1）连接，根据是的内心，可得，由数量关系可得，由此即可求解； （2）连接交于点E，可得，，，可证，由数量代换即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的内心， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：连接交于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ． 6．(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）由和是的中点，得出垂直平分，再利用三角函数可以得到，进而得到是等边三角形，． （2）先通过证明，则，所以，结合，则，即可作答． （3）先得出，因为，可以证明，，由（1）可知，，再根据特殊角的三角函数值可以得到的数值． 【详解】（1）解：如图，连接，， 是的直径，， 垂直平分， 是的中点， ， ， ， 又， 是等边三角形， ． 故答案为：60； （2）证明：，是的直径， ， 是的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ∵是半径， 与相切． （3）解：如图，连接，， 于， 是中点， ， ， ， ， ， 由（1）可知， ， 在中，，，， ， 在中，，，， ， 由（1）知， ， 在中，，，， ． 【点睛】本题考查圆的综合运用，垂径定理、切线的判定，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，需要学生能具有较强的推理和运算能力．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．(1)见解析； (2)， 【分析】本题考查圆的基本性质，垂径定理，全等三角形等知识点，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）先证得，，由圆周角定理的推论得出，于是推出，根据等边对等角得出，问题得证； （2）过点A作于G，设，在中根据勾股定理即可求出的长；设，分别在和中根据勾股定理表示出，即可求出的值，再证，即可求出的长，根据圆周角定理的推论得出为直径，从而得出半径长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点A作于G， 由（1）知， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴的外接圆的半径长为． 8．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的相关性质，勾股定理，三角函数，平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识． （1）由等腰三角形的性质证出，由平行线的判定可得出结论； （2）连接，交于，由勾股定理求出，由垂径定理求出，得出，证出，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ； （2）解：连接，交于， 为的直径， ， 在中，，， ， ，， ， ， 在中， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．(1)与相切，理由见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）连接，先判断出，再根据，判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而得出，再判断出，得出，得到，，即可得出结论； （3）如图2，连接，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，过点作于，根据角平分线的定义得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：与相切，理由： 如图1，连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 与相切； （2）解：由（1）知，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， 的半径为3； （3）解：如图2，连接， 为的直径， ， ， 过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键． 10．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，锐角三角函数的定义，垂径定理等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，由切线的性质及直角三角形的性质证出，得出，则可得出结论； （2）过点作于，则，由勾股定理求出，由锐角三角函数的定义证出，得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）解：证明：连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于，则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题是一道圆的综合题目，考查了线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和判定，圆周角定理，三角函数等知识点，同时对学生的模型思想有一定要求，考查了两个重要模型，即圆内接等腰三角形模型和二倍角模型． （1）因为，由垂直平分线的判定，可以得到在的垂直平分线上，同理，也在的垂直平分线上，由于两点确定一条直线，所以是的垂直平分线； （2）利用“八字图”，可以证得，由同弧所对的圆周角相等得到，所以可以证得，由于，通过计算可以得到，从而得到为等腰三角形，利用“三线合一”可以证明，即可求解； （3）设，利用，得到，因为，所以，在中，利用三角形内角和为，得到，从而计算得到，设，延长至，使，得到，所以，同理在中，也可以表示出，列出方程，求出，即可求解． 【详解】（1）解：证明：如图，连接，， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分上， 两点确定一条直线， 是的垂直平分线， ； （2）如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）如图，连接，，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 延长至，使，连接， ， 为圆直径， ， 在中， 设，则，， ， 同理，， ， ， 解得或5， ， ， 圆的周长为． 12．(1) (2) (3)①见解析；②存在，最小值为6 【分析】（1）由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可； （2）由切线长连接，过点D作于点G，根据已知条件证明C、D在线段的垂直平分线上，证明平分， 根据角平分线的性质得出，根据勾股定理得出，根据等积法求出即可； （3）①由切线长推出经过中点M，此时垂直平分，故而得证与目标线段相关的两三角形相似，最后利用相似对应边成比例得证； ②证明，得出，证明，得出，证明，求出，说明点M在以为直径的圆上运动，取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）解：如图，连接、． ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴ ∴劣弧为； （2）解：连接，过点D作于点G，如图所示： ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴C、D在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）解：①连接，，，如图所示： 根据解析（2）可知：垂直平分， ∵点M为的中点， ∴点M在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①可得，C、D、M三点共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴为定值， ∵， ∴点M在以为直径的圆上运动， 取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为6． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，四边形内角和，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质． 13．[问题初探]证明见解析；[深入探究]证明见解析；[问题拓展]的长为，的长为 【分析】[问题初探]如图，连接，得，，根据等弧所对的圆周角相等得，证明，继而得到，即可得证； [深入探究]根据直径所对的圆周角是直角，得，继而得到，根据切线的性质得，继而得到，可推出，即可得证； [问题拓展]根据锐角三角函数得，求出，根据勾股定理得，由得，设，则，在中，，求出，得出的值，，再根据，得，得，再代入即可． 【详解】[问题初探] 证明：如图，连接， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点在圆上， ∴为的切线； [深入探究] 如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； [问题拓展] 解：∵为的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， 在中，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴，， 又∵，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等弧所对的圆周角相等，切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识点．掌握圆的基本性质，相似三角形的判定和性质及锐角三角函数是解题的关键． 14．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接、，由可判定，由全等三角形的性质得，结合等腰三角形的性质，即可得证； （2）连接AH，，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，由三角形的中位线得，由直角三角形的特征即可得证； （3）连接，过点G作交于，设，则有，，由勾股定理得 ，由得，从而可求出，由勾股定理得 ，由正弦函数得 ，可求出，由正切函数得，可得，由角的和差得 ，由勾股定理得 ， ，由余弦函数得，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 在和中 ， ()， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：连接AH，， ， ， ， ， 由（1）得： ， ， 在和中 ， ()， ， ，为直径， 平分BC， ， 为的中位线， ， ，， ， ； （3）解：连接，过点G作交于， 为直径， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 同理可证：()， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，垂径定理及其推论，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形等，掌握相关的判定方法及性质，熟练解直角三角形求解，能根据圆中常见辅助线，作出恰当的辅助线是解题的关键． 15．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题目中“幸福线”的定义，得，根据邻补角的定义得，即可得，易证得，根据它们的对应边成比例求解即可； （2）如图2，连接，由“幸福线”定义得，根据邻补角的定义得，即可证得，根据圆的半径，及圆周角定理得，再通过角的等量交换，可得，即可证得结论； （3）如图3，连接交于点，根据“在同圆（或等圆）中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等”，及“三角形外接圆的圆心是这个三角形的外心”可得，且，然后利用据勾股定理求得的值为8，进而求得，然后根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”，先证明，，，得，的值，，，设，则,根据，即可得式子，令，根据二次函数的性质，可得当，即时，四边形的面积最大，此时点与点重合，根据，通过相似三角形对应边成比例，求出，的值，进而得到的值，过点作，垂足为点，则，易得，利用相似三角形对应边成比例，求出，的值，根据在中，，即可得出答案 【详解】（1）解：为边的“幸福线”， ， ， ， ， ， ， ，，， ． （2）解：如图2，连接,令与交点为， 为边的“幸福线”， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：如图3，连接交于点， 为弧的中点， ，且， ， ，， ， ， 由（2）得， 又， ， ， 为边的“幸福线”， ， ， ， 又， ， ， 同理得， 设，则， ,, 令，则当时，的值最大， 当时，四边形的面积最大，此时点与点重合， ，，     ，， ，， ， ， 如图，过点作，垂足为点，则， ， ， ，， ， 在中，． 【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形外接圆性质，勾股定理，求直角三角函数的正切值，灵活利用相似三角形的相似比求对应的边及三角形面积，利用割补法求不规则图形面积，利用二次函数变形为顶点式求最值，合理添加辅助线构造直角三角形并利用勾股定理解三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$