第1章 中考素养提升专练(一)（作业课件）-100分闯关2023-2024学年七年级数学下册（北师大版）河南

中考素养提升专练(一) 数学 七年级下册 北师版 100分闯关 C 2 3 4 5 6 4．【类比思想】图①是一个长为4a、宽为b的长方形纸片，沿较长中虚线用剪刀平均分成四块小长方形纸片，然后用四块小长方形纸片拼成一个“回形”正方形纸片(如图②). 7 5．先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式(x±y)2＝x2±2xy＋y2及(x±y)2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式x2＋4x＋5的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 10 11 12 1．如图，将图①中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是 ( ) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 C．a2－2ab＋b2＝(a－b)2 D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab 2．请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据下图中的条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积和(只需表示，不必化简)； (2)由图你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； (3)如果图中的a，b(a＞b)满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值． 解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为a2＋b2或(a＋b)2－2ab　 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab　 (3)①由(2)，得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，所以a＋b＝±9.又因为a＞0，b＞0，所以a＋b＝9.②因为(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝25，所以a－b＝±5.又因为a＞b＞0，所以a－b＝5，所以a4－b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)＝53×9×5＝2385 3．阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023的值． 解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22022＋22023①， 将等式两边同时乘2，得 2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22023＋22024②， 用②式减去①式，得2S－S＝22024－1， 即S＝22024－1， 所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023＝22024－1. 请你仿照此法计算： (1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210； (2)1＋4＋42＋43＋44＋…＋4n(其中n为正整数). 解：(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210①，将等式两边同时乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋211②，用②式减去①式，得2S－S＝211－1，即S＝211－1，所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211－1　 (2)设S＝1＋4＋42＋43＋44＋…＋4n①，将等式两边同时乘4，得4S＝4＋42＋43＋44＋45＋…＋4n＋1②，用②式减去①式，得4S－S＝4n＋1－1，即3S＝4n＋1－1，所以1＋4＋42＋43＋44＋…＋4n＝ eq \f(1,3) (4n＋1－1) (1)图②中的阴影部分的面积为 _____________________________________； (2)观察图②，请你写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系：______________； (3)根据(2)中的结论，若p－q＝－4，pq＝ eq \f(9,4) ，则(p＋q)2＝________； (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了______________________； (5)试画一个几何图形，使它的面积能表示(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2. 解：(1)(b－a)2　(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab　(3)25　(4)(3a＋b)(a＋b)＝3a2＋4ab＋b2　(5)如图： 解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2)2＋1. 因为(x＋2)2≥0， 所以(x＋2)2＋1≥1， 所以当(x＋2)2＝0时，(x＋2)2＋1的值最小，最小值是1， 所以x2＋4x＋5的最小值是1. 又如探求多项式2x2＋12x－4的最大(小)值时，我们可以这样处理： 解：原式＝2(x2＋6x－2)＝2(x2＋6x＋9－9－2)＝2[(x＋3)2－11]＝2(x＋3)2－22.因为无论x取什么数，都有(x＋3)2的值为非负数，所以(x＋3)2的最小值为0，此时x＝－3，进而2(x＋3)2－22的最小值是2×0－22＝－22，所以当x＝－3时，原多项式的最小值是－22. 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当x＝________时，代数式x2－6x＋12有最小值，最小值是________； (2)多项式3x2－6x＋15的最小值是多少？并写出对应的x的取值； (3)多项式－x2－2x＋6的最大值是多少？并写出对应的x的取值． 解：(1)3　3　 原式＝3(x2－2x＋5)＝3(x2－2x＋1＋4)＝3[(x－1)2＋4]＝3(x－1)2＋12.因为无论x取什么数，都有(x－1)2的值为非负数，所以(x－1)2的最小值为0，此时x＝1，进而3(x－1)2＋12的最小值是3×0＋12＝12，所以当x＝1时，原多项式的最小值是12　 (3)原式＝－(x2＋2x－6)＝－(x2＋2x＋1－1－6)＝－[(x＋1)2－7]＝－(x＋1)2＋7.因为无论x取什么数，都有－(x＋1)2的值为非正数．所以－(x＋1)2的最大值为0，此时x＝－1，进而－(x＋1)2＋7的最大值是0＋7＝7，所以当x＝－1时，原多项式的最大值是7 $$