第27章 专题(十) 巧证比例式或等积式——三点定形法（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（人教版）河南

专题(十)　巧证比例式或等积式——三点定形法 数学 九年级下册 人教版 100分闯关 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E.求证：△ABF∽△COE. 证明：∵OE⊥OB，∠BAC＝90°，∴∠BOA＋∠COE＝90°，∠BOA＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE，∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠DAC＝90°，∴∠BAF＝∠C.∴△ABF∽△COE 4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°.M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME. 5．如图，设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连接AP，它的垂直平分线交AB，AC于M，N两点，求证：BP·PC＝BM·CN. 6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且∠BCE＋∠BDE＝180°. (1)求证：△ADE∽△ACB； (2)连接BE，CD，求证：△AEB∽△ADC. 证明：(1)∵∠BCE＋∠BDE＝180°，又∵∠ADE＋∠BDE＝180°，∴∠BCE＝∠ADE，∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB　 (2)∵△ADE∽△ACB，∴AD∶AE＝AC∶AB，又∵∠EAB＝∠DAC，∴△AEB∽△ADC 1．如图，▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证： eq \f(DC,AE) ＝ eq \f(CF,AD) . 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∠A＝∠C，∴∠CDF＝∠E，∴△DAE∽△FCD，∴ eq \f(DC,AE) ＝ eq \f(CF,AD) 2．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠B的平分线BE交AC于点E，交AD于点F.求证： eq \f(BF,BE) ＝ eq \f(AB,BC) . 证明：∵BE平分∠B，∴∠ABE＝∠EBC，∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠C，∴△ABF∽△CBE，∴ eq \f(BF,BE) ＝ eq \f(AB,BC) 证明：∵∠BAC＝90°，M为BC的中点，∴AM＝BM＝CM，∴∠B＝∠BAM，∵∠B＋∠C＝90°，∴∠BAM＋∠C＝90°，∵∠C＋∠D＝90°，∴∠BAM＝∠D，∵∠AME＝∠DMA，∴△AME∽△DMA，∴ eq \f(AM,DM) ＝ eq \f(ME,AM) ，∴AM2＝MD·ME 证明：连接PM，PN，∵MN垂直平分AP，∴AM＝MP，AN＝PN，又MN为公共边，∴△AMN≌△PMN(SSS)，∴∠MPN＝∠BAC＝60°，∵∠BPM＋∠CPN＝120°，∠BPM＋∠BMP＝120°，∴∠BMP＝∠CPN，∵∠B＝∠C＝60°，∴△MPB∽△PNC，∴ eq \f(BP,NC) ＝ eq \f(BM,PC) ，即BP·PC＝BM·NC $$