第27章 专题(七) 相似三角形的基本模型(四)——“射影定理图”（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（人教版）河南

专题(七)　相似三角形的基本模型(四)——“射影定理图” 数学 九年级下册 人教版 100分闯关 【模型展示】 已知：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC. 结论：①△ABC∽△DBA∽△DAC； ②AB2＝BD·BC； ③AC2＝CD·BC； ④AD2＝BD·CD. 【对应训练】 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝____，AC＝____． 6 2．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4.若点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P4的坐标为_____________． (16，0) 3．(2022·滨州)如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M.求证： (1)PD是⊙O的切线； (2)AM2＝OM·PM. 3 eq \r(13) 证明：(1)连接OB，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵AC是⊙O的直径，∴∠CBA＝90°，∴∠CAB＋∠OCB＝90°，∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＋∠OBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∴PD是⊙O的切线 (2)由(1)知PD是⊙O的切线，又∵直线PA与⊙O相切，∴PO垂直平分AB，∴∠AMP＝∠AMO＝90°，∴∠APM＋∠PAM＝90°，∵∠OAP＝90°，∴∠PAM＋∠OAM＝90°，∴∠APM＝∠OAM，∴△OAM∽△APM，∴ eq \f(AM,PM) ＝ eq \f(OM,AM) ，∴AM2＝OM·PM 4．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，AE⊥BD于点F，连接CF. (1)求证：AB＝CF； (2)若AB＝4 eq \r(2) ，求DF的长． 解：(1)延长AE，DC相交于点H，∵E为BC的中点，∴BE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠HCE，∠BAE＝∠H，∴△ABE≌△HCE(AAS)，∴AB＝CH，∴CD＝CH，∵BD⊥AE，∴∠DFH＝90°，∴CF＝ eq \f(1,2) DH＝CD＝AB　(2)∵BE∥AD，BE＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(1,2) AD，∴△BEF∽△DAF，∴ eq \f(BE,AD) ＝ eq \f(BF,DF) ＝ eq \f(1,2) ，设BF＝a，则DF＝2a，∵∠AFB＝∠BAD＝90°，∠ABF＝∠DBA，∴△BFA∽△BAD，∴AB2＝BF·BD，∴(4 eq \r(2) )2＝a×3a，解得a＝ eq \f(4\r(6),3) (负值舍去)，∴DF＝2a＝ eq \f(8\r(6),3) $$