第27章 专题(六) 相似三角形的基本模型(三)——旋转型（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（人教版）河南

专题(六)　相似三角形的基本模型(三)——旋转型 数学 九年级下册 人教版 100分闯关 C 4．如图，已知AC，EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线，点E在△ABC内，连接BF，∠CAE＋∠CBE＝90°. (1)求证：△CAE∽△CBF； (2)若BE＝1，AE＝2，求CE的长． 【模型展示】 等角的顶点重合且等角的两边对应成比例的两个三角形旋转，得相似三角形． 旋转过程中，旋转任意角度都有 eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(AE,AF) ，∠CAB＝∠EAF，则△ACB∽△AEF 【对应训练】 1．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( ) A.∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(BC,DE) D． eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AC,AE) 2．将含30°角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE，BD，求 eq \f(AE,BD) 的值． 解：∵△EDC与△ACB为两个直角三角形，且∠DEC＝∠BAC＝30°，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB＋∠DCA＝ ∠ECD＋∠DCA，∴∠DCB＝∠ECA，在Rt△ACB中， eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(\r(3),3) ，在Rt△ECD中， eq \f(DC,EC) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(DC,EC) ，在△ECA与△DCB中， eq \f(DC,EC) ＝ eq \f(BC,AC) ，∠DCB＝∠ECA，∴△ECA∽△DCB，∴ eq \f(AE,BD) ＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \r(3) 3．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC. 求证：(1)△ADE∽△ABC； (2) eq \f(AD,AE) ＝ eq \f(BD,CE) . 证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE，即∠DAE＝∠BAC.∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC (2)∵△ADE∽△ABC，∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(AE,AC) ，∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC，∴ eq \f(AD,AE) ＝ eq \f(BD,CE) 解：(1)∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(CE,CF) ＝ eq \r(2) ，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF (2)∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF， eq \f(AE,BF) ＝ eq \f(AC,BC) ，又∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°，又∵ eq \f(AE,BF) ＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \r(2) ，AE＝2.∴ eq \f(2,BF) ＝ eq \r(2) ，∴BF＝ eq \r(2) ，∴EF2＝BE2＋BF2＝3，∴EF＝ eq \r(3) ，∵CE2＝2EF2＝6，∴CE＝ eq \r(6) $$