第26章 专题(三) 反比例函数与几何的综合（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（人教版）河南

专题(三)　反比例函数与几何的综合 数学 九年级下册 人教版 100分闯关 1 1．如图，P1是反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k＞0)在第一象限图象上的一点，已知△P1OA1为等边三角形，点A1的坐标为(2，0). (1)直接写出点P1的坐标； (2)求此反比例函数的解析式； (3)若△P2A1A2为等边三角形，求点A2的坐标. 解：(1)P1(1， eq \r(3) )　 (2)∵P1在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k＞0)图象上，∴ eq \r(3) ＝ eq \f(k,1) ，即k＝ eq \r(3) ，则此反比例函数的解析式为y＝ eq \f(\r(3),x) 　 (3)设等边三角形P2A1A2的边长为a(a＞0)，则A2(2＋a，0)，过P2作P2H⊥x轴，垂足为点H，∴A1H＝ eq \f(1,2) a，P2H＝＝ eq \f(\r(3)a,2) ，∴P2(2＋ eq \f(1,2) a， eq \f(\r(3)a,2) )，∵P2在反比例函数y＝ eq \f(\r(3),x) 的图象上，∴ eq \f(\r(3)a,2) ＝ eq \f(\r(3),2＋\f(1,2)a) ，即a2＋4a－4＝0，解得a1＝2 eq \r(2) －2，a2＝－2 eq \r(2) －2(舍去)，∴2＋a＝2 eq \r(2) ，∴A2(2 eq \r(2) ，0) 2．如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A(m，－2). (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； (3)若双曲线上点C(2，n)沿OA方向平移 eq \r(5) 个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论． 解：(1)设反比例函数的解析式为y＝ eq \f(k,x) (k＞0)，∵A(m，－2)在y＝2x上，∴－2＝2m，∴m＝－1，∴A(－1，－2)，又∵点A在y＝ eq \f(k,x) 上，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝ eq \f(2,x) (2)观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为－1＜x＜0或x＞1　 (3)四边形OABC是菱形．证明：∵A(－1，－2)，∴OA＝ eq \r(12＋22) ＝ eq \r(5) ，由题意知：CB∥OA且CB＝ eq \r(5) ，∴CB＝OA，∴四边形OABC是平行四边形，∵C(2，n)在y＝ eq \f(2,x) 上，∴n＝1，∴C(2，1)，OC＝ eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) ，∴OC＝OA，∴四边形OABC是菱形 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，双曲线y＝ eq \f(k,x) 在第一象限经过点D. (1)求D点的坐标及双曲线表示的函数解析式； (2)将正方形ABCD沿x轴向左平移____个单位长度时，点C的对应点C′恰好落在(1)中的双曲线上． 解：(1)过点D作DE⊥x轴于点E.则∠DEA＝90°，∵直线y＝－2x＋2与x轴、y轴相交于点A，B，∴当x＝0时，y＝2，即OB＝2.当y＝0时，x＝1，即OA＝1.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠BAO＋∠DAE＝90°.∵∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠BAO＝∠ADE，在△AOB和△DEA中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AOB＝∠DEA＝90°，,∠BAO＝∠ADE，,AB＝DA，)) ∴△AOB≌△DEA(AAS)，∴DE＝AO＝1，AE＝BO＝2，∴OE＝3.∴点D的坐标为(3，1).把(3，1)代入y＝ eq \f(k,x) 中，得k＝3.∴双曲线表示的函数解析式为：y＝ eq \f(3,x) $$