第27章 专题(十) 与切线有关的计算与证明（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（华东师大版）河南

专题(十)　与切线有关的计算与证明 数学 九年级下册 人教版 100分闯关 2．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求DE的长． 5．(河南中考)如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连结DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连结BC交DO于点F. (1)求证：CE＝EF； (2)连结AF并延长，交⊙O于点G.填空： ①当∠D的度数为 _______ 时，四边形ECFG为菱形； ②当∠D的度数为 _______ 时，四边形ECOG为正方形． 30° 22.5° 证明：(1)连结OC，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，即∠ECB＋∠OCB＝90°，∵DO⊥AB，∴∠OFB＋∠B＝90°，又∵∠OFB＝∠CFE，∴∠CFE＋∠B＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠ECB＝∠CFE，∴CE＝EF 6．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连结BE. (1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由； (2)若CA＝2，CD＝4，求DE的长． 1．(2023·安徽)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径． (1)如图①，连结OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD； (2)如图②，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3 eq \r(3) ，AE＝3，求弦BC的长． 解：(1)∵OA⊥BD，∴ eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(AD) ，∴∠ACB＝∠ACD，即CA平分∠BCD　 (2)延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，∴AD∥NC，CD∥AM，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD＝3，∴BC＝ eq \r(BD2－CD2) ＝ eq \r(（3\r(3)）2－32) ＝3 eq \r(2) 解：(1)连结OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝ ∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线　 (2)过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝ eq \r(AO2－AF2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°.∴四边形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4 3．如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是 eq \x\to(AE) 上一点，连结AE并延长至点C.使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF·DB. 证明：(1)∵∠BDE＝∠EAB，∠CBE＝∠BDE，∴∠CBE＝∠EAB.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴∠EAB＋∠EBA＝90°.∴∠CBE＋∠EBA＝90°，即∠CBA＝90°，∴CB⊥AB，又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线　(2)∵BD平分∠ABE，∴∠EBD＝∠DBA，∵∠EBD＝∠DAF，∴∠DBA＝∠DAF，又∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴ eq \f(DF,AD) ＝ eq \f(AD,DB) ，∴AD2＝DF·DB 4．(2023·扬州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝ eq \f(1,2) ∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点． (1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若sin B＝ eq \f(3,5) ，⊙O的半径为3，求AC的长． 解：(1)直线AB与⊙O相切，理由：连结OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DOB＝∠OCD＋∠ODC＝2∠BCD，∴∠BCD＝ eq \f(1,2) ∠BOD，∵∠BCD＝ eq \f(1,2) ∠A，∴∠BOD＝∠A，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠BOD＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切　(2)∵sin B＝ eq \f(OD,OB) ＝ eq \f(3,5) ，OD＝3，∴OB＝5，∴BC＝OB＋OC＝8，在Rt△ACB中，sin B＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,5) ，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝4x＝8，∴x＝2，∴AC＝3x＝6 解：(1)直线BE与⊙O相切，理由：连结OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)，∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切　(2)设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2＋DC2＝OC2，即r2＋42＝(r＋2)2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8，由(1)得△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，∴82＋BE2＝(4＋DE)2，∴64＋DE2＝(4＋DE)2，∴DE＝6，∴DE的长为6 7．(2023·随州)如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是 eq \x\to(BE) 的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F. (1)求证：DC是⊙O的切线； (2)若AE＝2，sin ∠AFD＝ eq \f(1,3) ， ①求⊙O的半径； ②求线段DE的长． 解：(1)连结OC，∵AD⊥DF，∴∠D＝90°，∵点C是 eq \x\to(BE) 的中点，∴ eq \x\to(CE) ＝ eq \x\to(CB) ，∴∠DAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∴∠OCF＝∠D＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线　 (2)①过点O作OG⊥AE，垂足为G，∴AG＝EG＝ eq \f(1,2) AE＝1，∵OG⊥AD，∴∠AGO＝∠DGO＝90°，∵∠D＝∠AGO＝90°，∴OG∥DF，∴∠AFD＝∠AOG，∵sin ∠AFD＝ eq \f(1,3) ，∴sin ∠AOG＝sin ∠AFD＝ eq \f(1,3) ，在Rt△AGO中，AO＝ eq \f(AG,sin ∠AOG) ＝ eq \f(1,\f(1,3)) ＝3，∴⊙O的半径为3　②∵∠OCF＝90°，∴∠OCD＝180°－∠OCF＝90°，∵∠OGE＝∠D＝90°，∴四边形OGDC是矩形，∴OC＝DG＝3，∵GE＝1，∴DE＝DG－GE＝3－1＝2，∴线段DE的长为2 $$