第27章 中考素养提升专练(二)（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（华东师大版）河南

中考素养提升专练(二) 数学 九年级下册 人教版 100分闯关 1．(河南中考)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长． 使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为B，___________________________． 求证：__________________________． AB＝OB，EN切半圆O于点F EB，EO把∠MEN三等分 证明：连结OF.∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE(SAS).∴∠1＝∠2.∵EN切半圆O于点F，∴OF⊥EN. ∵BE⊥OB，OB＝OF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠2＝∠3.∴EB，EO把∠MEN三等分 2．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 克罗狄斯·托勒密论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下： 圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有______________． 任务： (1)材料中划横线部分应填写的内容为 ____________________________； (2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，∠COD＝120°，求证：BD＝AB＋BC. AC·BD＝AB·CD＋BC·AD 证明：连结AC.∵∠COD＝120°.∴∠CBD＝∠CAD＝60°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝60°.∴∠ACD＝60°.∴△ACD是等边三角形．∴AC＝AD＝CD.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴AC·BD＝AB·CD＋BC·AD，即AC·BD＝(AB＋BC)·CD.∴BD＝AB＋BC 垂径 勾股 135°或 45° 3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，其中1尺＝10寸，求出直径CD的长．解题过程如下： 连结OA，设OA＝r寸，则OE＝r－CE＝(r－1)寸， ∵AB⊥CD，AB＝1尺，∴AE＝ eq \f(1,2) AB＝5寸， 在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2， 即r2＝52＋(r－1)2，解得r＝13. ∴CD＝2r＝26寸． 任务： (1)上述解题过程运用了 _________ 定理和 _________ 定理； (2)若原题改为已知DE＝25寸，AB＝1尺，请根据上述解题思路，求直径CD的长； (3)若继续往下锯，当锯到AE＝OE时， eq \x\to(AB) 所对圆周角的度数为____________． 解：(2)连结OA，设OA＝r寸，则OE＝DE－OD＝(25－r)寸．∵AB⊥CD，AB＝1尺，∴AE＝ eq \f(1,2) AB＝5寸．在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2， 即r2＝52＋(25－r)2，解得r＝13.∴CD＝2r＝26寸 4．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是 eq \x\to(BC) 上的一点，且 eq \x\to(CF) ＝ eq \x\to(CA) ，连结BF可得BF＝BE. (1)将上述问题中弦AB改为直径AB，如图1所示，试证明BF＝BE； (2)如图2所示，若直径AB＝10，EO＝ eq \f(1,2) OB，作直线l与⊙O相切于点F，过点B作BP⊥l于点P，求BP的长． 解：(1)如图①，连结CE，BC，∵CD⊥AB，AD＝DE，∴AC＝CE.∴∠CAE＝∠CEA，又∵∠A＋∠F＝180°，∠CEA＋∠CEB＝180°，∴∠CEB＝∠F.∵ eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(CF) ，∴∠FBC＝∠EBC.又∵BC＝BC，∴△CEB≌△CFB(AAS).∴BE＝BF　 (2)如图②，连结AF，∵AB＝10，EO＝ eq \f(1,2) OB，∴EB＝7.5，∴BF＝7.5.∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.∵l与⊙O相切于点F，∴∠OFP＝90°.∴∠AFO＝∠BFP.又∵OF＝OA，∴∠OAF＝∠OFA.∴∠OAF＝∠BFP.∵BP⊥l，∴∠BPF＝90°.∴∠ABF＝∠PBF，过点F作FH⊥AB于点H，则△BFH≌△BFP，∴BH＝BP，在Rt△ABF中，AF＝ eq \r(AB2－BF2) ＝ eq \f(5,2) eq \r(7) ，∴FH＝ eq \f(AF·BF,AB) ＝ eq \f(15,8) eq \r(7) ，在Rt△BFH中，BH＝ eq \r(BF2－FH2) ＝ eq \f(45,8) ，∴BP＝ eq \f(45,8) $$