第1章 重点强化专题 “化斜为直”构造直角三角形的四种常见类型（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

重点强化专题　解直角三角形 ——“化斜为直”构造直角三角形的四种常见类型 第一章 直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 100分闯关 2 3 4 5 6 7 8 【方法技巧】锐角三角函数是在直角三角形中定义的，与锐角三角函数有关的问题都需要在直角三角形中解决． 类型一　作高→解非直角三角形(斜三角形) 1．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，sin A＝ eq \f(12,13) ，求tan B的值． 解：过点C作CD⊥AB于点D，∵在Rt△ACD中，sin A＝ eq \f(CD,AC) ＝ eq \f(12,13) ，∴可设CD＝12a，则AC＝AB＝13a，AD＝ eq \r(AC2－CD2) ＝5a，∴BD＝AB－AD＝8a，∴在Rt△BCD中，tan B＝ eq \f(CD,BD) ＝ eq \f(12a,8a) ＝ eq \f(3,2) 类型二　作垂线→解决已知三角函数不能直接运用的问题 2．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝ eq \f(1,3) ，求tan A的值． 解：过点D作DE⊥CD交BC于点E.∵tan ∠BCD＝ eq \f(DE,CD) ＝ eq \f(1,3) ，∴可设DE＝a，CD＝3a，∵DE∥AC，∴ eq \f(DE,AC) ＝ eq \f(BD,AB) ＝ eq \f(1,2) ，∴AC＝2DE＝2a，∴在Rt△ACD中，tan A＝ eq \f(CD,AC) ＝ eq \f(3a,2a) ＝ eq \f(3,2) 类型三　延长→解决隐含直角三角形的问题 3．如图，在四边形ABCD中，tan A＝ eq \f(\r(3),2) ，∠B＝120°，∠C＝150°，AB＝4，CD＝ eq \r(3) ，求BC的长. 解：延长AB与DC相交于点E，则∠EBC＝60°，∠ECB＝30°，∴∠E＝90°，设BE＝x，则CE＝ eq \r(3) x，BC＝2x.∴DE＝ eq \r(3) x＋ eq \r(3) ，AE＝4＋x，∵在Rt△ADE中，tan A＝ eq \f(DE,AE) ＝ eq \f(\r(3),2) ，∴ eq \f(\r(3)x＋\r(3),4＋x) ＝ eq \f(\r(3),2) ，∴x＝2，∴BC＝2x＝4 类型四　等角代换→解决非直角三角形中的三角函数问题 4．(咸宁中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2 eq \r(5) ，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，求cos ∠ECF的值． 解：由翻折的性质可知EB＝EF＝EC＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \r(5) ，∠AEB＝∠AEF，∵∠ECF＝∠EFC.∴可证得∠ECF＝∠AEB，∵AE＝ eq \r(AB2＋BE2) ＝3，∴cos ∠ECF＝cos ∠AEB＝ eq \f(BE,AE) ＝ eq \f(\r(5),3) $$