第1章 难点突破专题 三角函数与常见数学问题的结合（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

难点突破专题　三角函数与常见数学问题的结合 第一章 直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 100分闯关 2 3 4 5 类型一　三角函数与一元二次方程的结合 1．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根． (1)试判断△ABC的形状； (2)若3c＝a＋3b，求tan A的值． 解：(1)原方程整理得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，∵c－a≠0，Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝0，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形 (2)由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b，∴(3c－3b)2＋b2＝c2，即4c2－9bc＋5b2＝0，∴(4c－5b)(c－b)＝0，∵c>b，∴4c－5b＝0，即b＝ eq \f(4,5) c，∴a＝3c－3b＝ eq \f(3,5) c，∴tan A＝ eq \f(a,b) ＝ eq \f(3,4) 类型二　三角函数与面积的结合 2．(1)如图1，在△ABC中，∠ACB＝α，求证：S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BC·sin α；(2)如图2，在锐角△ABC中，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，求证： eq \f(S△AEF,S△ABC) ＝cos2A；(3)如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且∠AOB＝α，求证：S四边形ABCD＝ eq \f(1,2) AC·BD·sinα. 证明：(1)过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，AD＝AC·sin α，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) AD·BC＝ eq \f(1,2) AC·BC·sin α (2)由 eq \f(AE,AB) ＝cos A， eq \f(AF,AC) ＝cos A，可得 eq \f(AE,AB) ＝ eq \f(AF,AC) ，又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC，∴ eq \f(S△AEF,S△ABC) ＝( eq \f(AE,AB) )2＝cos2A (3)分别过点B，D作BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，则BM＝OB·sinα，DN＝OD·sin α，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝ eq \f(1,2) AC·BM＋ eq \f(1,2) AC·DN＝ eq \f(1,2) AC·(OB·sin α＋OD·sin α)＝ eq \f(1,2) AC· (OB＋OD) ·sin α＝ eq \f(1,2) AC·BD· sin α $$