第1章 回顾与思考(一) 直角三角形的边角关系（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

回顾与思考(一)　直角三角形的边角关系 第一章 直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 100分闯关 C 2 C 3 90° 4 5 B 6 7 8 D 9 6.3 10 11 12 13 知识点1　锐角三角函数 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式中，正确的是( ) A．sinA＝ eq \f(b,c) B．cosB＝ eq \f(c,a) C．tanA＝ eq \f(a,b) D．tanB＝ eq \f(a,b) 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，下列结论成立的是( ) A．sinA＝ eq \f(12,5) B．cosA＝ eq \f(5,13) C．tanA＝ eq \f(5,12) D．cosB＝ eq \f(12,13) 知识点2　特殊角的三角函数值 3．已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，其中∠A为锐角．若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin A－\f(\r(3),2))) ＋(tan B－ eq \f(\r(3),3) )2＝0，则∠C的度数是__________． 4．计算：cos245°＋ eq \f(cos30°,2sin60°＋1) － eq \r(3) tan30°. 解：原式＝ eq \f(1－\r(3),4) 知识点3　解直角三角形 5．(黑龙江中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan ∠BCD＝ eq \f(2,3) ，则 eq \f(AC,BC) 的值为( ) A．1 B．2 C． eq \f(1,2) D． eq \f(3,2) 6．在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝____________________． 4 eq \r(3) ＋3或4 eq \r(3) －3 7．如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝ eq \f(3,4) ，∠B＝30°，求AC和AB的长． 解：过点C作CD⊥AB于点D.∵∠B＝30°，BC＝12，∴CD＝6.在Rt△BDC中，BD＝ eq \r(BC2－CD2) ＝6 eq \r(3) .∵tan A＝ eq \f(CD,AD) ＝ eq \f(3,4) ，∴AD＝8.∴AB＝AD＋BD＝8＋6 eq \r(3) .在Rt△ADC中，AC＝ eq \r(AD2＋DC2) ＝10 知识点4　三角函数的实际应用 8．(十堰中考)如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是( ) A．(15 eq \r(3) ＋ eq \f(3,2) )m B．5 eq \r(3) m C．15 eq \r(3) m D．(5 eq \r(3) ＋ eq \f(3,2) )m 9．(荆州中考)如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8 cm，AB＝16 cm.当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为________cm.(结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94， eq \r(3) ≈1.73) 10．(2023·凉山州)超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C，E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A，D，B，F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD，EF，且CD＝EF＝7 m，CE＝895 m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45 s. (1)求A，B两点之间的距离(结果精确到1 m)； (2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．(参考数据： eq \r(2) ≈1.4， eq \r(3) ≈1.7) 解：(1)根据题意，四边形CDFE是矩形，∠CAD＝30°，∠EBF＝45°，∴DF＝CE＝895 m，在Rt△EBF中，BF＝ eq \f(EF,tan ∠EBF) ＝ eq \f(7,1) ＝7(m)，∴DB＝DF－BF＝895－7＝888(m)，在Rt△ACD中，AD＝ eq \f(CD,tan ∠CAD) ＝ eq \f(7,\f(\r(3),3)) ＝7 eq \r(3) ≈12(m)，∴AB＝AD＋BD≈12＋888＝900(m)，∴A，B两点之间的距离约为900 m　 (2)∵900÷45＝20(m/s)，∴小型汽车每小时行驶20×3600＝72000(m)，∵72000 m＝72 km，72<80，∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速 11．(2023·重庆)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73) (1)求AD的长度；(结果精确到1千米) (2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 解：(1)过D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝ eq \f(AF,cos45°) ＝ eq \f(10,\f(\r(2),2)) ＝10 eq \r(2) ≈10×1.41≈14(千米).∴AD的长度约为14千米　 小明应该选择线路①， 理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝DF＋CD＝24千米，∴AE＝AB·tan30°＝24× eq \f(\r(3),3) ＝8 eq \r(3) (千米)，EB＝2AE＝16 eq \r(3) 千米，按路线①A－D－C－B走的路程为AD＋DC＋CB≈14＋14＋10＝38(千米)，按路线②A－E－B走的路程为AE＋EB＝8 eq \r(3) ＋16 eq \r(3) ≈24×1.73＝41.52(千米).∵38千米<41.52千米，∴小明应该选择线路① $$