2025年中考数学一轮复习 讲练 专题19 全等三角形

2025中考数学一轮复习 专题19 全等三角形 一、选择题（共10小题） 1．（2025•济阳区模拟）如图，已知△△，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2024•民勤县校级三模）如图，△△，点在线段上，，则的度数是　　 A． B． C． D． 3．（2025•长沙一模）如图，，，这样可以证明．其依据是　　 A． B． C． D． 4．（2025•河北模拟）已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④． 其中结论正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025•普陀区一模）如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得△与△全等，那么可以添加的条件是　　 A． B． C． D． 6．（2024•安徽模拟）如图，点和点分别在和上，与交于点，已知，若要使，应添加条件中错误的是　　 A． B． C． D． 7．（2024•安庆一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2024•朝阳区一模）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是　　 A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 9．（2024•贵州模拟）如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可判断．判断这两个三角形全等的依据是　　 A． B． C． D． 10．（2024•岱岳区校级模拟）已知：如图，，，，则不正确的结论是　　 A．与互为余角 B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2025•榆阳区一模）如图，在△中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为 　　． 12．（2025•泗阳县一模）如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 　　． 13．（2025•重庆模拟）如图，在中，，高，交于点．若，，则　　． 14．（2024•汕头模拟）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 　　． 15．（2024•东城区一模）在中，，点在上，于点，且，连接．若，则的度数为 　　． 16．（2024•仓山区校级模拟）如图，在△中，，平分，，，则△的面积是 　　． 17．（2024•西城区二模）如图，是△的角平分线，于点．若，△的面积为1.5，则点到边的距离为 　　． 18．（2024•东坡区模拟）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 　　． 19．（2024•罗湖区校级模拟）如图，正八边形中，　　度． 20．（2024•铁锋区二模）如图，点、、、在同一条直线上，点、在直线的两侧，，，请添加一个适当的条件 　　，使得． 三、解答题（共6小题） 21．（2025•海口模拟）如图，已知△中，，，且平分． （1）求证：△△； （2）若，求的度数． 22．（2025•惠山区一模）如图，四边形中，点在上，连接、，，，． （1）求证：△△； （2）若，，，求的长． 23．（2025•西安一模）如图，在△中，点在边上，分别交、于点、，，，，，求证：． 24．（2025•扬州校级一模）如图，在四边形中，，点，在上，且，连接，，且． （1）试说明△△； （2）连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 25．（2025•岳麓区校级模拟）如图，点在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 26．（2025•望城区一模）已知：如图，是△的中线，点在上，点在的延长线上，且． （1）求证：△△； （2）若，则 　　． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D D A A D C D 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解． 【解答】解：， ， △△， ． 故选：． 2．【答案】 【分析】依据△△，即可得到，，，再根据等腰三角形的性质，即可得到的度数，进而得出的度数． 【解答】解：△△， ，，， ， ， △是等腰三角形， △中，， ， 故选：． 3．【答案】 【分析】三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明． 【解答】证明：在和中， ， ， 证明，其依据是． 故选：． 4．【答案】 【分析】①由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确； ②由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确； ③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于，本选项正确； ④利用周角减去两个直角可得答案． 【解答】解：①， ，即， 在和中，， ， ，本选项正确； ②为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，本选项正确； ③， ， ， 则，本选项正确； ④， ，故此选项正确， 故选：． 5．【答案】 【分析】对于选项，根据得，由于，，不符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项，由于，，不符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项，由于，，不符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项，根据 得△和△均为直角三角形，由于，符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项， ， ， 根据，，，不能判定△与△全等， 故选项不符合题意； 对于选项， 根据，，，不能判定△与△全等， 故选项不符合题意； 对于选项， 根据，，，不能判定△与△全等， 故选项不符合题意； 对于选项， ， △和△均为直角三角形， 在△和△中， ， △△， 故选符合题意， 故选：． 6．【答案】 【分析】三角形全等的判定方法有、、、、，由此逐项判断即可得出答案． 【解答】解：、若添加，不能证明，故符合题意； 、若添加，则可利用证明，故不符合题意； 、若添加，则可利用证明，故不符合题意； 、若添加，则可证明，可利用证明，故不符合题意； 故选：． 7．【答案】 【分析】利用证得△和△全等，即可得出，从而求出的度数． 【解答】解：点标记在直尺边缘与交点处，过点作于点， 两把直尺为完全相同的长方形， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 故选：． 8．【答案】 【分析】依题意得，然后可依据“”判定和全等，从而得，据此可得出所依据的数学基本事实． 【解答】解：角尺两边相同的刻度分别与点、重合 ， 在和中， ， ， ， 即平分， 依据的数学基本事实是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：． 9．【答案】 【分析】根据全等三角形的判定方法求解． 【解答】解：在和中， ， ． 故选：． 10．【答案】 【分析】先根据角角边证明与全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解． 【解答】解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故、选项正确； ， ， 故选项正确； ， ， ， 但不一定等于， 故选项错误． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】6． 【分析】由角平分线的性质可知，根据线段的和差得出． 【解答】解：平分，，， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 12．【答案】45． 【分析】证明△△，得，再由三角形的外角性质得，即可得出结论． 【解答】解：如图，在△和△中， ， △△， ， ， ， 故答案为：45． 13．【答案】5． 【分析】先由已知得到，即可证明，即可求得继而可得答案． 【解答】解：，， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 14．【答案】． 【分析】延长到，使得，连接，作于点，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【解答】解：如图，延长到，使得，连接，作于点， 则． 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 即， ． 故答案为：． 15．【答案】35． 【分析】由，，求得，然后证明，推导出，或根据角平分线的性质证明平分，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解法一：，， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：35． 解法二：，， ， ， ， ，且， 点在的平分线上， 平分， ， 故答案为：35． 16． 【分析】直接利用角平分线的性质得出到的距离，进而利用三角形面积求法得出答案． 【解答】解：过点作于点 ，平分，， ， ， ． 故答案为：2． 17． 【分析】过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质证得，然后根据面积公式求出即可解答． 【解答】解：过点作，交的延长线于点， 是△的角平分线，于点， ， ，△的面积为1.5， ， 解得， ． 故答案为：1． 18．【答案】． 【分析】证明得，根据求出即可解答． 【解答】解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 19．【答案】22.5． 【分析】连接，根据正八边形的性质证明，可得，再根据正八边形性质可得，进而可得结果． 【解答】解：如图，连接， 在正八边形中， ，， 在和中， ， ， ， 在正八边形中， ， ， 同理可得， ， ． 故答案为：22.5． 20．【答案】（答案不唯一）． 【分析】要使，已知，，则可得到，，从而添加即可利用判定；添加即可利用判定；添加即可利用判定． 【解答】解：，， ，， 要使， 添加即可利用判定； 添加即可利用判定； 添加即可利用判定． 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据可证明△△； （2）根据角平分线的定义得出，再根据三角形外角的性质得出的度数，再根据等腰三角形的性质得出，即可推出结果． 【解答】（1）证明：平分． ， 又，， △△； （2）解：，且平分． ， ， ， ， ． 22．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据可证明结论； （2）根据（1）结论得出，，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：， ， 在△与△中， ， △△； （2）解：△△， ，， 又， ， ． 23．【答案】见解析． 【分析】根据平行线的性质得出，推出，再根据证明△△即可得出结论． 【解答】证明：， ， 又， ， ， ， 在△与△中， ， △△， ． 24．【答案】（1）见解析； （2），证明见解析． 【分析】（1）根据平行线的性质得出．．再根据即可证明结论； （2）由△△，得出．从而推出．再证明△△．即可得出结论． 【解答】（1）证明：， ． ， ． 在△ 和△ 中， △△； （2）解：，理由如下： △△， ． ， ， 即． 在△和△中， ， △△． ． 25．【答案】（1）证明见解答； （2）的度数是． 【分析】（1）由，，，根据“”证明△△，则； （2）由全等三角形的性质得，即，由，得，由，得，所以，则． 【解答】（1）证明：在△和△中， ， △△， ． （2）解：由（1）得△△， ， 点在线段上， ，即， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 26．【答案】（1）证明见解答过程； （2）100． 【分析】（1）求出，根据推出两三角形全等即可； （2）根据邻补角定义求出，再根据全等三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：是△的中线， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：，， ， △△， ， 故答案为：100． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025中考数学一轮复习 专题19 全等三角形 基础知识梳理 一、全等形 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 1．全等形的形状相同，大小相等． 2．两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． 3．判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 二、全等三角形 1．全等三角形的概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 3．全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 4．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 5．全等三角形的判定 （1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）； （2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）； （3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）； （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）； （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）． 常用方法结论 1．全等形： （1）判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较． （2）全等形的形状相同，大小相等． 两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法： （1）图形特征法： 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角． （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角． （3）字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角． 3．根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出全等三角形的对应边和对应角是解题关键． 4．全等三角形的性质 （1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等． （2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题． 5．判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 6．找等角的常用方法证三角形全等时，常见的隐含等角有 （1）公共角； （2）对顶角相等； （3）等角加（或减）等角仍得等角； （4）角平分线得两等角； （5）同角（或等角）的余角或补角相等； （6）平行线得同位角、内错角相等； （7）垂直定义得两角相等； （8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件． 课前测（含高考真题） 一、选择题（共3小题） 1．（2024•青海）如图，平分，点在上，，，则点到的距离是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024•安徽）在凸五边形中，，，是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是　　 A． B． C． D． 3．（2023•甘孜州）如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定△△的是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共2小题） 4．（2024•成都）如图，△△，若，，则的度数为 　　． 5．（2023•南通）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是 　　． 三、解答题（共3小题） 6．（2024•南充）如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求证：． 7．（2024•长沙）如图，点在线段上，，，． （1）求证：△△； （2）若，求的度数． 8．（2024•云南）如图，在和中，，，．求证：． 课前测∙参考答案 一、选择题（共3小题） 1．【答案】 【分析】过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离是2． 【解答】解：过作于， 平分，点在上，， ， 点到的距离是2． 故选：． 2．【答案】 【分析】将每个选项的条件分别作为已知条件，结合题干，通过证三角形全等，再看能否证明即可 【解答】选项：连接、， ，，， △△， ， 是的中点， ，所以选项不合题意； 选项：连接、， ，，， △△， ，， △△， ， ，即， ，所以选项不合题意； 选项：思路与选项大致相同，先证△△，再证△△， ，即， ，所以选项不合题意； 选项 的条件无法证出全等，故证不出，所以选项符合题意． 故答案选：． 3．【答案】 【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可． 【解答】解：、不能证明△△，故此选项不合题意； 、由可得，，可利用证明△△，故此选项符合题意； 、不能证明△△，故此选项不合题意； 、不能证明△△，故此选项不合题意； 故选：． 二、填空题（共2小题） 4． 【分析】由△△，得，故． 【解答】解：△△， ， ， ， 故答案为：． 5．【答案】． 【分析】设，的交点为，，，，的中点分别是，，，，连接，，，，，，，先证，由此得当为最小时，为最小，再根据“两点之间线段最短”得：，再证四边形为矩形，且，，据此由勾股定理可求出，进而可得的最小值． 【解答】解：过点作，使，连接，，如图所示： 四边形为平行四边形， ， ， ，， ， 在中，， 根据“两点之间线段最短”得：，即， ， 的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（共3小题） 6．【答案】（1）答案见解答过程； （2）答案见解答过程． 【分析】（1）根据线段中点定义得，再根据得，，由此即可得出结论； （2）根据点为的中点，得直线为线段的垂直平分线，则，再由（1）得，则，据此即可得出结论． 【解答】（1）证明：点为的中点， ， ， ，， 在和中， ， ； （2）证明：点为的中点，， 直线为线段的垂直平分线， ， 由（1）可知：， ， ． 7． 【分析】（1）由，，，根据“”证明△△； （2）由全等三角形的性质得，，则，由，求得． 【解答】（1）证明：在△和△中， ， △△． （2）解：由（1）得△△， ，， ， ， ， 的度数是． 8．【答案】见解析． 【分析】先根据题意得出，再由定理即可得出结论． 【解答】证明：， ，即， 在与中， ， ． 考点梳理 ►考点01 全等三角形的性质 【例1】　　（2025•长清区一模）如图，已知△△，，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应角相等求出的度数，再根据三角形的内角和等于即可得解． 【解答】解：△△， ， ，， ， 故选：． 【例2】　　（2025•桑植县一模）如图，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，求出即可． 【解答】解：，， ， ， ， 故选：． 【例3】　　（2025•福田区一模）如图，△△，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理和全等三角形性质可得，再由可得． 【解答】解：，， ， △△， ， ， 故选：． 提分 要点 1．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 3．由全等三角形的性质可得，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 4．由于两个全等三角形的周长和面积都是相等的，所以利用这一性质可以将所求的某个未知图形的周长或面积通过变换，转化到某个已知图形中去求解． ►考点02 全等三角形的判定 【例4】　　（2025•碑林区校级一模）如图，在△和△中，，，．求证：△△． 【答案】证明过程见解答． 【分析】先根据题意得出，再由定理即可得出结论． 【解答】证明：， ，即， 在△与△中， ， △△． 【例5】　　（2025•官渡区校级模拟）如图，点，在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】由，得到，由即可证明． 【解答】证明：， ， 在和中， ， ． 【例6】　　（2024•通海县模拟）已知：如图，点、在上，且，，． 求证：． 【答案】见解答． 【分析】有平行线的性质，可得，再根据可证明出结论． 【解答】证明：， ． 在和中， ， ． 提分 要点 1．“ASA”与“AAS”可相互转化：只要两个三角形的两组角分别相等，则其第三组角也相等，所以两角及一边分别对应相等的两个三角形一定全等． 2．找等角的常用方法证三角形全等时，常见的隐含等角有 （1）公共角； （2）对顶角相等； （3）等角加（或减）等角仍得等角； （4）角平分线得两等角； （5）同角（或等角）的余角或补角相等； （6）平行线得同位角、内错角相等； （7）垂直定义得两角相等； （8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件． ►考点03 直角三角形全等的判定 【例7】　　（2023•武侯区校级三模）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：，， ， ．，，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出和全等，故本选项符合题意； ．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意； ．，，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出和全等，故本选项不符合题意； ．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意； 故选：． 【例8】　　（2024春•双塔区校级期末）在如图中，，于，于，、交于点，则下列结论中不正确的是　　 A． B．点在的平分线上 C． D．点是的中点 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【解答】解：、，于，于，，正确； 、，，，故点在的平分线上，正确； 、，，，，正确； 、无法判定，错误， 故选：． 【例9】　　（2024•松原二模）已知：如图，，，，为上一点，连接、相交于，，求证：． 【答案】见解析． 【分析】根据证明三角形全等． 【解答】证明：，， ， 在和中， ， ． 提分 要点 1．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法． 2．已知两个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别对应直角边和一条斜边分别对应相等，证明两直角三角形全等时，应用的判定定理是“HL”而不是“SSA”． ►考点04 全等三角形的判定与性质综合 【例10】　　（2025•市中区校级一模）如图，在△和△中，点在边上，，，，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）根据等式的性质得，再利用证明△△即可得出结论； （2）根据三角形内角和得，再由△△，得，最后利用三角形外角的性质得． 【解答】（1）证明：， ， 即， 在△和△中， ， △△， ． （2）解：， ， ， ， △△， ， ． 【例11】　　（2025•船营区校级一模）如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：△△； （2）若，，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）2． 【分析】（1）利用“”可证明△△； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【解答】（1）证明：，， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：△△， ， 在△中，， ， ． 【例12】　　（2025•长沙一模）如图，在△中，是边的中点，是上一点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【分析】（1）由是边的中点，得，由，得，，可得△△，即可证明结论成立； （2）由是边的中点，，得，进而，由（1），，由，得，从而，进而即可得解． 【解答】（1）证明：是边的中点， ． ， ，， 在△与△中， ， △△， ； （2）解：，是边的中点， ， ， 由（1）知：△△， ，， ， ， ， ． 提分 要点 1．寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等． 2．一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”四种，切记满足“SSA”的两个三角形不一定全等． ►考点05 全等三角形的应用 【例13】　　（2024•娄星区校级二模）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为 　　． 【答案】3.5． 【分析】利用证明△，即可解答． 【解答】解：点既是的中点，也是的中点， ，， 在和△中， ， △， ， 故答案为：3.5． 【例14】　　（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△△； （2）求两堵木墙之间的距离． 【分析】（1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明△△即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】（1）证明：由题意得：，，，， ， ，， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：由题意得：，， △△， ，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 【例15】　　（2024•五华区校级三模）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长．判断以上方法是否可行，如果可行，请证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】见解析． 【分析】由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【解答】解：，理由如下： ，， ． 在和中， ， ， ． 提分 要点 1．此类题目就是应用三角形全等的知识去解决一些生活中遇到的实际问题，例如测量河宽、开凿隧道等问题．一些无法直接测量的长度，我们可以在可测量的范围内选取恰当的点，构造出一对全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． 2．一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”四种，切记满足“SSA”的两个三角形不一定全等． ►考点06 角的平分线 【例16】　　（2025•碑林区校级二模）如图，△中，平分，，于，，则的长为　　 A．8 B．10 C． D． 【答案】 【分析】过点作于，则由角平分线的性质可得，由三线合一定理得到，利用勾股定理求出，则． 【解答】解：如图所示，过点作于， 平分，，， ， ， ， 在△中，由勾股定理得， ， 故选：． 【例17】　　（2024•古浪县二模）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点．若，则的长不可能是　　 A．4 B．3.5 C．2 D．1.5 【答案】 【分析】根据角平分线的性质得到点到的距离等于，根据垂线段最短得到，然后对各选项进行判断． 【解答】解：平分，， 点到的距离等于，即点到的距离为2， ． 故选：． 【例18】　　（2024•武威三模）如图，于，于，若， 求证：平分． 【分析】由于，于，若，，即可判定，则可得，然后由角平分线的判定定理，即可证得平分． 【解答】证明：，， ， 在和中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 平分． 提分 要点 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． ►考点07 全等三角形中的动点问题 【例19】　　（2024•鄂尔多斯模拟）如图，在中，，的平分线交于点，点是射线边上的动点，连接交于，若，，则的度数是　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】根据点是射线边上的动点分类讨论并计算即可；准确地画出图形并根据相关性质计算是关键． 【解答】解：根据题意，分情况讨论如下： 当点在边上时， 的平分线交于点，， ， ，， ， 是的一个外角， ， 当点在的延长线上时， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 故选：． 【例20】　　（2023•铜官区校级一模）已知，是线段上的动点且于，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】取中点，连接，，由是直角三角形，是中点，可得，故的轨迹是以为圆心，2为半径的弧，而，当，，构成三角形时，，从而可得，，共线时，最小值为． 【解答】解：取中点，连接，，如图： ， 是直角三角形， 是中点， ， 的轨迹是以为圆心，2为半径的弧， ，， ， 当，，构成三角形时，，即， 当，，共线时，取最小值，最小值即为． 故选：． 【例21】　　（2024•威海一模）已知，是线段上的动点且于点，，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】取的中点，连接、，则，求得，因为，所以，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：取的中点，连接、， ，， ， ， 于点， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 提分 要点 解决此类题目的关键是抓住运动过程中变量之间的关系，两点若同时同速则可得到相等线段，再结合题目中的已知条件可以判定全等，平移或旋转前后的图形全等．这里需要注意的是判定两个三角形全等时，要看两个三角形是否用符号“≌”连接，如果是用“与”连接，要进行分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$