2025届高考二轮复习集训模块1　三角函数、解三角形与平面向量（全国通用）

　限时集训(一)　第1讲　三角函数的图象与性质[时间:45 min] 基础过关 1.已知θ为第四象限角,且sin θ=2sin 2θ,则tan θ= (　 ) A.- B.- C.- D.- 2.[2023·湖南长沙雅礼中学一模] 函数f(x)=的最小正周期为 (　 ) A.π B.2π C. D.不能确定 3.函数f(x)=Asin(x+φ)在区间(10,20)上的最小值 (　 ) A.与A有关,与φ有关 B.与A有关,与φ无关 C.与A无关,与φ有关 D.与A无关,与φ无关 4.[2023·河南鹤壁质检] 已知函数f(x)=sin x(cos x-sin x),则下列说法正确的为 (　 ) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的最大值为 C.f(x)的图象关于直线x=-对称 D.将f(x)的图象向右平移个单位长度,再向上平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数 5.[2023·陕西宝鸡二模] 已知函数f(x)=2sin,0≤x≤5,点A,B分别是函数f(x)图象上的最高点和最低点,O为坐标原点,则·的值为 (　 ) A.-2 B.3 C.-2 D.7 6.[2023·四川泸州三模] 将函数y=sin的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数 (　 ) A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递减 C.在区间[π,2π]上单调递增 D.在区间上单调递增 7.[2023·河北邯郸二模] 已知函数f(x)=cos(2x-θ),将函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则函数f(x)的极值点为 (　 ) A.+kπ(k∈Z) B.+(k∈Z) C.+kπ(k∈Z) D.+(k∈Z) 8.(多选题)[2023·浙江金华模拟] 已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则 (　 ) A.sin θcos θ=- B. sin θ-cos θ= C.sin θ-cos θ= D.tan θ=- 9.(多选题)[2023·山东淄博诊断] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (　 ) A.f(x)的最小正周期为π B.当x∈时,f(x)的最大值为 C.函数f(x)的图象关于点对称 D.函数f(x)的图象在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1 10.[2023·广西桂林模拟] 已知函数f(x)=sin(4x+φ)的图象关于点对称,则φ=　　　　.  11.[2023·四川德阳一诊] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)=　　　　　　.  12.[2023·四川攀枝花二模] 已知函数f(x)=sin(ω>0)满足对任意x∈,都有f(x)>,则当ω取到最大值时,f(x)图象的对称轴方程为 　　　　　　　　.  能力提升 13.[2023·吉林通化二模] 已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N*,0<φ≤π)是R上的奇函数,且f(x)在区间上是单调函数,则ω的最大值为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 14.[2023·江西赣州二模] 若函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在上单调,且满足f=f=-f,则φ的值为 (　 ) A. B. C. D. 15.(多选题)[2023·河北沧州模拟] 已知函数f(x)=cos(ω>0)的图象关于直线x=对称,当f(x)的最小正周期T取得最大值时,f(x)的图象的对称中心可以为 (　 ) A. B. C. D. 　限时集训(二)　第2讲　三角恒等变换与解三角形[时间:45 min] 基础过关 1.[2023·河南开封二模] 已知cos=,则sin 2x= (　 ) A.- B. C.- D. 2.[2023·河南郑州三模] 在△ABC中,满足9sin2A+6cos A=10,且AB=3,BC=2,则AC= (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.若A+B=120°,则sin A+sin B的最大值是 (　 ) A.1 B. C. D. 4.[2023·江西上饶一中二模] 已知α∈,sin α=,则cos= (　 ) A.- B. C.- D. 5.已知α-β=,且cos α+cos β=,则cos(α+β)的值为 (　 ) A. B.- C. D.- 6.在△ABC中,A=,BC=2,则AC-AB的最小值为 (　 ) A.-4 B.- C.2 D.2 7.(多选题)[2023·广东湛江二模] 若5sin 2α+5cos 2α+1=0,则tan α的值可能为 (　 ) A.2 B.3 C.- D.- 8.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin B=bcos A,则下列说法正确的是 (　 ) A.A= B.若B=,则b=a C.若a=,b+c=3,则bc=2 D.若a=2,则△ABC面积的最小值为 9.[2023·湖南张家界模拟] 已知α为锐角,1+=,则α=　　　　.  10.已知在△ABC中,AB=3,BC=2AC,则△ABC面积的最大值为　　　　.  11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+1=tan Btan C. (1)求角A的值; (2)若a=2,求BC边上的中线AD的最大值. 能力提升 12.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b+c)(sin B+sin C)=asin A+3bsin C. (1)求角A的大小; (2)若a=2,求c-b的取值范围. 13.[2023·山西阳泉二模] 在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,cos C-sin B=,角A的平分线交BC于D,AD=. (1)求角A; (2)求△ABC外接圆面积的最小值. 　 限时集训(三)　第3讲　平面向量[时间:45 min] 基础过关 1.[2023·北京西城区二模] 在△ABC中,AB=AC=1,∠A=90°,则·= (　 ) A.1 B.-1 C. D.- 2.[2023·江西上饶二模] 已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(2,),记向量a,b的夹角为θ,则cos θ= (　 ) A.- B.- C. D. 3.[2023·山西晋中三模] 设向量a与向量b的夹角为θ,定义a与b的向量积:a×b是一个向量,它的模|a×b|=|a||b|sin θ.若m=(1,0),n=(-1,),则|m×n|= (　 ) A.-1 B.1 C.- D. 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,若点D是斜边AB的中点,点P是中线CD上一点,且=+λ,则λ= (　 ) A.1 B. C. D. 5.已知△ABC是单位圆O的内接三角形,若A=,则·的最大值为 (　 ) A. B. C.1 D. 6.[2023·重庆三模] 已知a是单位向量,若向量b(b≠a)满足b-a与a成60°角,则|b|的取值范围是 (　 ) A. B. C.(1,+∞) D. 7.[2023·重庆西南大学附中模拟] 平面向量a,b满足|b|=2|a|,且|a-b|=3,则b与a-b夹角的余弦值的最大值是 (　 ) A.- B.- C. D. 8.(多选题)已知向量a=(,1),b=(cos θ,sin θ),则下列说法正确的是 (　 ) A.若θ=,则a⊥b B.若a∥b,则θ= C.a·b的最大值为2 D.|a-b|的取值范围是[1,3] 9.(多选题)[2023·山东潍坊模拟] 已知点O为△ABC内的一点,D,E分别是BC,AC的中点,则 (　 ) A.若O为AD的中点,则=(+) B.若O为AD的中点,则=- C.若O为△ABC的重心,则+=0 D.若O为△ABC的外心,且BC=4,则·=-8 10.[2023·山东济南二模] 已知向量a=(1,2),b=(4,2),若非零向量c与a,b的夹角均相等,则c的坐标为　　　　(写出一个符合要求的答案即可).  11.[2023·湖南岳阳一诊] 在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E为边AB的中点,点F为边BC上的动点,则·的取值范围是　　　　.  12.[2023·上海嘉定一中三模] 已知直线l以及三个不同的点A,A',O,其中O∈l,设=a,=b,直线l的一个方向向量的单位向量是e,下列关于向量运算的方程组为该方程组是A,A'关于直线l对称的 　　　　条件.  能力提升 13.[2023·重庆巴南一模] 如图所示,正方形ABCD的边长为2,点E,F,G分别是边BC,CD,AD的中点,点P是线段EF上的动点,则·的最小值为 (　 ) A. B.3 C. D.48 14.如图,△BCD与△ABC的面积之比为2∶1,点P是区域ABDC内的任意一点(含边界),且=λ+μ,则λ+μ的取值范围为 (　 ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4] 15.[2023·吉林长春实验中学模拟] 如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=,AC=4,D为AC的中点,在平面ABC中,将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为边AB上的点,则·的最小值为　　　　.  　 解答题专训(一)　解三角形[时间:45 min] 基础过关 1.[2023·河南豫南名校三模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acos C+csin A=0. (1)求角C的大小; (2)若D为BC的中点,CD=CA,AD=,求c. 2.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos 2A-3cos(B+C)-1=0. (1)求角A; (2)若△ABC的面积为,D是边AC上靠近点A的三等分点,当BD取得最小值时,求a. 3.[2023·湖南长沙二联] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a-3b+6bsin2=0. (1)求证:a+3bcos C=0; (2)求tan A的最大值. 4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且　　　 .在①bsin B-csin B=asin A-csin C,②2asin B=btan A这两个条件中任选一个填到横线处,并解答下列问题.  (1)求角A; (2)若△ABC的外接圆半径为,求△ABC面积的最大值. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 能力提升 5.[2023·河南洛阳三中模拟] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,csin B=b-bcos C. (1)求角C的大小; (2)若sin B=2sin A,点D满足=2,||=,求△ABC的面积. 6.[2023·陕西安康中学模拟] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin Asin B=sin2A-2sin2B,c=3,c>a,△ABC外接圆的面积为3π. (1)求b; (2)若CD为角C的平分线,交AB于点D,求CD的长. 　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时集训(一) 1.C　[解析] ∵sin θ=2sin 2θ=4sin θcos θ,且θ为第四象限角,∴cos θ=,∴sin θ=-=-,∴tan θ==-=-,故选C. 2.A　[解析] 作出函数f(x)=的大致图象如图所示,则f(x)的最小正周期与y=sin 2x+的最小正周期相同,即为π.故选A. 3.B　[解析] 函数f(x)=Asin(x+φ)的最小正周期T=2π,区间(10,20)的长度超过一个周期,所以函数f(x)=Asin(x+φ)在区间(10,20)上的最小值为-A,与A有关,与φ无关.故选B. 4.D　[解析] f(x)=sin x(cos x-sin x)=sin xcos x-sin2x=sin 2x-=sin-,故f(x)的最小正周期T==π,最大值为,故A,B错误;对于C,由2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,则f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z,故C错误;对于D,将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=sin-=sin 2x-的图象,将此图象向上平移个单位长度,得到函数g(x)=sin 2x的图象,g(x)是奇函数,故D正确.故选D. 5.B　[解析] 因为0≤x≤5,所以≤+≤,所以-≤sin≤1.令+=,解得x=1,所以f(1)=2sin=2,则A(1,2),所以=(1,2).令+=,解得x=5,所以f(5)=-1,则B(5,-1),所以=(5,-1).所以·=1×5+2×(-1)=3.故选B. 6.B　[解析] 函数y=sin的最小正周期T==π,图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数的最小正周期也是π,选项A,C中的区间长度是一个周期,因此对应函数在所给区间上不可能单调,故A,C错误;函数y=sin的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin=cos 2x,当x∈时,2x∈[2π,3π],y=cos x在区间[2π,3π]上单调递减,故B正确;当x∈时,2x∈,y=cos x在区间上不单调,故D错误.故选B. 7.B　[解析] 函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度,得到g(x)=cos的图象,依题意知,-θ=nπ(n∈Z),因为|θ|<,所以n=0,θ=,因此f(x)=cos,由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),所以函数f(x)的极值点为+(k∈Z).故选B. 8.ACD　[解析] 对于A,因为sin θ+cos θ=,所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,即sin θcos θ=-,所以A正确;对于B,C,(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,因为θ∈(0,π),且sin θcos θ=-<0,所以sin θ>0,cos θ<0,则sin θ-cos θ>0,所以sin θ-cos θ=,所以B错误,C正确;对于D,由解得所以tan θ=-,所以D正确.故选ACD. 9.AD　[解析] 由题中图可知,A=2,f(0)=2sin φ=1,即sin φ=,又-<φ<,所以φ=.由五点作图法可得+=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin.对于A,f(x)的最小正周期T==π,故A正确;对于B,当x∈时,2x+∈,所以sin∈,所以f(x)的最大值为2,故B错误;对于C,当x=时,2x+=,所以f=2,所以函数f(x)的图象不关于点对称,故C错误;对于D,由f(x)=2sin,可得f'(x)=4cos,所以f'(0)=2,又f(0)=1,所以函数f(x)的图象在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1,故D正确.故选AD. 10.-　[解析] 因为函数f(x)=sin(4x+φ)的图象关于点对称,所以+φ=kπ,k∈Z,所以φ=-+kπ,k∈Z,又因为-<φ<0,所以φ=-. 11.sin　[解析] 根据题意可得,直线x=为f(x)图象的一条对称轴,∴ω·+φ=+2kπ(k∈Z)①,又f(x)的图象经过点,∴sin=,结合图象可得ω·+φ=+2kπ(k∈Z)②,由①②得ω=2,代入①并结合|φ|<,得φ=,∴f(x)=sin. 12.x=+kπ,k∈Z　[解析] ∵x∈,ω>0,∴<ωx+<+,∵f(x)>恒成立,∴<+≤,∴0<ω≤,∴ω的最大值为.当ω=时,f(x)=sin,令x+=kπ+,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z. 13.C　[解析] 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N*,0<φ≤π)是R上的奇函数,则sin φ=0,所以φ=kπ,k∈Z,又0<φ≤π,所以φ=π,则f(x)=sin(ωx+π)=-sin ωx.当x∈时,ωx∈,又f(x)在区间上是单调函数,所以解得ω≤,又ω∈N*,所以ω的最大值为5.故选C. 14.D　[解析] 函数f(x)在上单调,则≥-=,可得T≥,因为f=f,且-=<T,所以f(x)图象的一条对称轴为x==-.因为f=-f,且f(x)在上单调,所以f(x)图象的一个对称中心为,即.易知对称轴x=-与对称中心相邻,可得=-=,则T==2π,又ω>0,所以ω=1.因为f(x)图象的一条对称轴为x=-,所以-×1+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ+,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=. 15.BD　[解析] 由已知得ω+=kπ(k∈Z),即ω=6k-(k∈Z),又ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值,即为,此时T取得最大值,此时f(x)=cos,其图象的对称中心的横坐标为x=k1π-(k1∈Z).当k1=0时,函数f(x)的图象的对称中心为,当k1=1时,函数f(x)的图象的对称中心为.故选BD. 限时集训(二) 1.C　[解析] 因为cos=,所以sin 2x=cos=cos=2cos2-1=2×-1=-,故选C. 2.C　[解析] 9sin2A+6cos A=9(1-cos2A)+6cos A=9-9cos2A+6cos A=10,即9cos2A-6cos A+1=(3cos A-1)2=0,解得cos A=,由余弦定理可知cos A===,则=,整理得AC2-2AC-15=(AC-5)(AC+3)=0,解得AC=5或AC=-3(舍),故选C. 3.C　[解析] 方法一(消元法):sin A+sin B=sin A+sin(120°-A)=sin A+cos A+sin A=sin(A+30°)≤,当且仅当A=60°时,等号成立,所以sin A+sin B的最大值为. 方法二(利用和差化积公式):因为sin A+sin B=2sincos=cos≤,当且仅当A=B=60°时,等号成立,所以sin A+sin B的最大值为.故选C. 4.A　[解析] 由α∈,sin α=,得cos α=-=-=-,∵<α<π,∴<<,∴cos>0,∴cos===,∴cos=-cos=-.故选A. 5.B　[解析] 因为cos α+cos β=,所以2coscos=,因为α-β=,所以cos=,于是cos=,所以cos(α+β)=2cos2-1=-.故选B. 6.A　[解析] 在△ABC中,===4,所以AC=4sin B,AB=4sin C,所以AC-AB=4(sin B-sin C)=4=4=4=4=4cos,因为C∈,所以C+∈,所以cos∈,所以4cos∈[-4,2),所以AC-AB的最小值为-4.故选A. 7.BD　[解析] 因为5sin 2α+5cos 2α+1=0,所以10sin αcos α+5(cos2α-sin2α)+cos2α+sin2α=0,整理得2sin2α-5sin αcos α-3cos2α=0,则2tan2α-5tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-.故选BD. 8.BC　[解析] 对于A选项,由asin B=bcos A,结合正弦定理得sin Asin B=sin Bcos A,因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以sin A=cos A,即tan A=,可得A=,故A选项错误;对于B选项,由正弦定理得===,即b=a,故B选项正确;对于C选项,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,将a=,A=代入,得b2+c2-bc=3,即(b+c)2-3bc=3,又b+c=3,所以bc=2,故C选项正确;对于D选项,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,将a=2,A=代入,得b2+c2-bc=4,则b2+c2-bc=4≥2bc-bc=bc(当且仅当b=c=2时取等号),所以S△ABC=bcsin A=bc≤,即△ABC面积的最大值为,故D选项错误.故选BC. 9.50°　[解析] 因为1+=======,所以sin α=sin 50°,又因为α为锐角,所以α=50°. 10.3　[解析] 设AC=x,则BC=2x.由余弦定理得cos A==,所以sin A==,所以S△ABC=AC·ABsin A=·=·=·=·.又由得1<x<3,所以当x2=5时,△ABC的面积取得最大值3. 11.解:(1)∵+1==,∴2(cos Bcos C-sin Bsin C)=2cos(B+C)=2cos(π-A)=-2cos A=-1,∴cos A=,又A∈(0,π),∴A=. (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=4≥2bc-bc=bc(当且仅当b=c=2时取等号),∴b2+c2=4+bc,bc≤4.∵=(+),∴=(+2·+)=(b2+c2+2bccos A)=(b2+c2+bc)=(4+2bc)≤×(4+8)=3,∴||≤,即AD的最大值为. 12.解:(1)因为(b+c)(sin B+sin C)=asin A+3bsin C,所以由正弦定理得(b+c)(b+c)=a2+3bc,整理得b2+c2-a2=bc,所以cos A==,又A∈(0,π),所以A=. (2)因为====,所以b=sin B,c=sin C,则c-b=(sin C-sin B)====cos. 因为0<B<,所以<B+<,则cos∈,所以cos∈(-2,2),即c-b∈(-2,2). 13.解:(1)∵cos C-sin B=,∴2abcos C+c2-a2=absin B,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,可得a2+b2-c2+c2-a2=absin B,化简得b=asin B,由正弦定理得=,可得sin A=,∵0<A<,∴A=. (2)由(1)得A=,∴∠DAB=∠DAC=.∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴bcsin A=AD·(csin∠BAD+bsin∠CAD),又AD=,∴2bc=3(b+c).由基本不等式得2bc=3(b+c)≥6,∴bc≥9(当且仅当b=c=3时,等号成立).∵a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥bc≥9,∴a≥3,∴△ABC外接圆的直径2R==a≥2,∴R≥,当且仅当a=b=c=3时,等号成立,∴△ABC外接圆面积的最小值为πR2=3π. 限时集训(三) 1.B　[解析] 因为∠A=90°,所以·=0,又因为AB=AC=1,所以·=·(-)=·-||2=0-1=-1,故选B. 2.C　[解析] ∵a+b=(2,),∴|a+b|=,∴(a+b)2=a2+2a·b+b2=6,又|a|=1,|b|=2,∴1+4+4cos θ=6,∴cos θ=,故选C. 3.D　[解析] ∵|m|=1,|n|==2,∴cos θ==-,又θ∈[0,π],∴sin θ==,∴|m×n|=|m||n|sin θ=.故选D. 4.D　[解析] 因为点D是斜边AB的中点,所以=2,所以=+λ=+2λ,因为点P在线段CD上,所以+2λ=1,解得λ=.故选D. 5.C　[解析] 如图,连接OA,OB,由圆O是△ABC的外接圆,且A=,得OB⊥OC.因为=-,所以·=·-·, 所以·=-·=-cos<,>,故当,反向共线时,·最大,所以(·)max=1.故选C. 6.C　[解析] 设=a,=b,如图所示,则=-=b-a,又∵a与b-a的夹角为60°,∴∠ABC=120°.又||=|a|=1,∴由正弦定理得=,∴|b|=.∵C∈,∴sin C∈,∴|b|=∈(1,+∞),故选C. 7.A　[解析] 由|a-b|=3两边平方,得a2-2a·b+b2=9,又|b|=2|a|,∴2a·b=(a2+b2)-9=5a2-9,∴cos<b,a-b>======-≤-,当且仅当|a|=时取等号,则b与a-b夹角的余弦值的最大值为-.故选A. 8.ACD　[解析] 对于A,当θ=时,b==,此时a·b=×+×1=0,则a⊥b,故A正确;对于B,若a∥b,则cos θ=sin θ,所以tan θ=,所以θ=+kπ,k∈Z,故B错误;对于C,a·b=cos θ+sin θ=2=2sin∈[-2,2],故C正确;对于D,因为a=(,1),b=(cos θ,sin θ),所以|a|==2,|b|==1,所以|a-b|====,因为sin∈[-1,1],所以5-4sin∈[1,9],所以|a-b|∈[1,3],故D正确.故选ACD. 9.ABD　[解析] 对于A,若O为AD的中点,则==(+),故A正确;对于B,若O为AD的中点,则=+=-+=-×(+)+=-=-,故B正确;对于C,若O为△ABC的重心,则根据三角形重心的性质得=2,所以+=-,故C错误;对于D,连接OD,若点O为△ABC的外心,BC=4,则根据三角形外心的性质得⊥,故·=(+)·=-=-8,故D正确.故选ABD. 10.(1,1)(答案不唯一,只要满足x=y≠0即可)　[解析] 方法一:设c=(x,y),且x2+y2≠0,则由题意可知cos<a,c>=cos<b,c>,即=,则有=,∴x=y,取x=1,则c=(1,1)(答案不唯一,只要满足x=y≠0即可). 方法二:非零向量c与a,b的夹角均相等,则c是a,b的夹角平分线的方向向量,即c=k(k≠0),故c=k=k,取k=,则c=(1,1)(答案不唯一,只要满足x=y≠0即可). 11.[8,20]　[解析] 方法一:=+,=+,则·=(+)·(+)=·+·+·+·=0+2||+2×4+0=8+2||,因为0≤||≤2,所以8≤·≤20. 方法二:以D为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意得A(0,2),B(4,2).因为E为AB的中点,所以E(2,2).设F(4,a),则0≤a≤2,=(2,2),=(4,a),则·=8+2a,因为0≤a≤2,所以8≤8+2a≤20,即·∈[8,20]. 12.充要　[解析] 因为(a·e)e,(b·e)e分别为a,b在e上的投影向量,所以|a-(a·e)e|=|b-(b·e)e|表示点A,A'到直线l的距离相等,则点A,A'分别在关于直线l对称的平行线l1,l2上.因为a·e=b·e,所以(a-b)·e=0,则(a-b)⊥e,连接A'A,可得a-b=-=,则A'A⊥l,所以A,A'关于直线l对称.反之也成立.故该方程组是A,A'关于直线l对称的充要条件. 13.A　[解析] 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),G(0,1),E(2,1),F(1,2).设P(x,y),=λ(λ∈[0,1]),则(x-1,y-2)=λ(1,-1),所以所以x-1=-(y-2),即y=3-x.因为=(x,y-1),=(x,y),所以·=x2+y(y-1)=x2+(3-x)(2-x)=2x2-5x+6=2+,又x=1+λ∈[1,2],所以当x=时,·取得最小值.故选A. 14.C　[解析] 过点D作BC的平行线,延长AC,AB与之分别交于点C',B',因为=2,所以=,所以=3,所以当点P位于点D处时,λ+μ取得最大值3,当点P位于点A处时,λ+μ取得最小值0,所以λ+μ的取值范围是[0,3]. 15.-4　[解析] 如图,连接MD,则=+,=+=-,所以·=(+)·(-)=-=-8,因为△ABC为等腰直角三角形,M为边AB上的点,所以BC=AC·sin=4,因此MD≥BC=2,所以·≥4-8=-4,即·的最小值为-4. 解答题专训(一) 1.解:(1)由正弦定理得sin Acos C+sin Asin C=0. 因为sin A≠0,所以cos C+sin C=0,即tan C=-. 又因为C∈(0,π),所以C=. (2)因为D为BC的中点,且CD=CA,所以a=2b.由余弦定理可知AD2=b2+b2-2b2cos C,即3=3b2,所以b=1,所以a=2,所以c2=a2+b2-2abcos C=7,所以c=. 2.解:(1)由题意知A+B+C=π,所以cos 2A-3cos(B+C)-1=cos 2A+3cos A-1=0,即2cos2A+3cos A-2=0,解得cos A=-2(舍去)或cos A=,又因为0<A<π,所以A=. (2)因为S△ABC=bcsin=bc=,所以bc=9.因为D是边AC上靠近点A的三等分点,所以在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=c2+b2-bc=c2+b2-3≥2×bc-3=3,当且仅当c=b且bc=9,即b=3,c=时取等号,所以BD的最小值为,此时a2=b2+c2-2bccos A=27+3-9=21,所以a=. 3.解:(1)证明:∵a-3b+6bsin2=0,∴a-3b+6bsin2=a-3b+6bcos2=0,∴a-3b+6b·=0,∴a+3bcos C=0. (2)由(1)可得sin A+3sin Bcos C=0,且C为钝角,即4sin Bcos C+cos Bsin C=0,即4tan B+tan C=0,即tan C=-4tan B,∴tan A=-tan(B+C)=-==≤=,当且仅当4tan B=,即tan B=时取等号,故tan A的最大值为. 4.解:(1)选①:因为bsin B-csin B=asin A-csin C,所以由正弦定理得b2-bc=a2-c2,即a2=b2+c2-bc,又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以cos A=,又因为A∈(0,π),所以A=. 选②:由2asin B=btan A,得2asin Bcos A=bsin A,则由正弦定理得2sin Asin Bcos A=sin Bsin A,因为A,B∈(0,π),所以sin Bsin A≠0,所以cos A=,所以A=. (2)由(1)可知A=,又正弦定理可得=2,所以a=3,则由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时取等号,又a=3,所以bc≤9,所以S△ABC=bcsin A≤×9×=,所以△ABC面积的最大值为. 5.解:(1)因为csin B=b-bcos C,所以sin Csin B=(1-cos C)sin B,又sin B≠0,所以sin C=1-cos C,结合sin2C+cos2C=1,C∈(0,π),解得sin C=,cos C=-,所以C=. (2)因为sin B=2sin A,所以b=2a.由=2,可得=+=+=+(-)=+,则=++·,即=b2+a2-ab,所以a=1,b=2,所以△ABC的面积为×1×2×sin=. 6.解:(1)∵sin Asin B=sin2A-2sin2B,∴由正弦定理得ab=a2-2b2,∴a2-ab-2b2=(a-2b)(a+b)=0,∵a>0,b>0,∴a-2b=0,即a=2b.设△ABC外接圆的半径为R,则△ABC外接圆的面积S=πR2=3π,∴R=,由正弦定理得=2R,∴sin C===,∵C∈(0,π),∴C=或.当C=时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,∴32=(2b)2+b2-2×2b×b×,可得b=,∴a=2b=2>c=3(舍);当C=时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,∴32=(2b)2+b2-2×2b×b×,可得b=,∴a=2b=<c=3.综上所述,b=. (2)由(1)知,∠ACB=,若CD为角C的平分线,则∠ACD=∠BCD=.∵S△ABC=S△ACD+S△BCD, ∴absin C=CD·bsin∠ACD+CD·asin∠BCD, ∴×××sin=CD·×sin+CD·×sin,解得CD=. 学科网（北京）股份有限公司 $$