精品解析：河北省唐山市路南区2024-2025学年下学期八年级3月月考数学试卷

2024－2025学年度第二学期第一阶段学业水平抽样评估八年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，20个小题，满分100分，考试时间为60分钟． 2．用黑色水性笔答卷，答卷前务必将密封线内各项填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．掌握只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义是解本题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于零列不等式求解即可解答． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得． 故选：B． 2. 下列二次根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母．逐一判断即得． 【详解】解：A、分解被开方数：，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件． B、分解被开方数：，其中，可化简为，故不是最简二次根式． C、分解被开方数：，其中，可化简为，故不是最简二次根式． D、被开方数为分数，且分母含根号，需有理化：，故不是最简二次根式． 故选：A ． 3. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式称为同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得到被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：二次根式与可以合并， 且， 故选：． 4. 一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ） A. 5 B. C. D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当直角三角形的两直角边分别为3和4时；当为斜边，为直角边时；分别利用勾股定理计算即可． 【详解】解：当直角三角形的两直角边分别为3和4时，则第三边长为， 当为斜边，为直角边时，则第三边长为， 综上所述，第三边的长为5或， 故选：D． 5. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可． 本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：∵点，点， ∴， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 7. 如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（ ） A. 大长方形的长为6 B. 大长方形的宽为5 C. 大长方形的周长为11 D. 大长方形的面积为90 【答案】C 【解析】 【详解】解：小长方形的长为=3、宽为=2， ∴大长方形的长为：，大长方形的宽为：， 大长方形的周长是：，大长方形的面积为：， 故选项C错误，选项A、B、D正确； 故选C． 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 的面积为10 D. 点到直线的距离是2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，其中，，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理得，再由圆面积公式得，，，即可得出结论． 【详解】解：在中，， ， ，， ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理及圆的面积公式是解决本题的关键． 10. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 7米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：由题意可知．，， 由勾股定理得， 故离门4米远的地方，灯刚好打开． 故选：B． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息． 二、填空题（本大题共4个小题，前3个小题每小题3分，第14题4分，共13分） 11. 已知是正整数，则自然数的最大值为____________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据二次根式的意义可知12−n≥0，解得n≤12，且12−n开方后是正整数，符合条件的12−n的值有1、4、9、…，其中1最小，此时n的值最大． 【详解】解：由题意可知12−n是一个完全平方数，且不为0，最小为1， 所以n的最大值为12−1=11， 故答案为：11． 【点睛】主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数． 12. 若三角形的三边长分别为，，，且，则的形状为________． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性可得：，从而得出，然后根据等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴的形状为等腰直角三角形 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】此题考查的是非负性的应用和等腰直角三角形的判定，掌握绝对值的非负性、算术平方根的非负性、等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理是解题关键． 13. 如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要___________米长. 【答案】14 【解析】 【分析】根据平移的性质，地毯的长度实际是所有台阶的长加上台阶的高，因此结合题目的条件可得出答案． 【详解】根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=台阶的长+台阶的高， 则红地毯至少要6+=6+8=14米． 故答案为14． 【点睛】本题考查了生活中平移知识的应用，利用勾股定理求出台阶的水平长度是关键． 14. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为ts． （1）则边的长为______cm； （2）当______，为等腰三角形． 【答案】 ①. 4 ②. 5或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形定义以及分类讨论． （1）由勾股定理求解即可； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值． 【详解】解：（1）在中，由勾股定理， 得， ； 故答案为：4； （2） 分三种情况： ①当时，如图1，； ②当时，如图2，，； ③当时，如图3，，，， 在中，， 所以， 解得：， 综上所述：当为等腰三角形时，或或． 故答案为：5或或． 三、解答题（本大题共6个小题，共57分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法及混合运算，解题关键是掌握二次根式的运算法则． （1）利用二次根式的乘法法则及完全平方公式进行计算即可得到答案； （2）利用二次根式的混合运算法则进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成．已知在中，，，，． （1）此图可以用来证明你学过的______定理，请写出定理的内容：______． （2）请利用图①，验证①中的定理． （3）图②是将图①中较长的四条直角边均向外延长一倍得到的，若，，则图②的外围周长（实线部分）为______． 【答案】（1）勾股定理；直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 （2） 解：，， ， ； （3）76 【解析】 【分析】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．读懂题目信息并准确识图是解题的关键． （1）根据弦图确定勾股定理及内容； （2）根据及得出等式即可证明结论； （3）先求出，进而求出结论． 【小问1详解】 解：此图可以用来证明你学过的勾股定理，请写出定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，， ， ， 图②的外围周长（实线部分）为． 17. 如图，有一张长为cm，宽为cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形． （1）若小正方形的边长为cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？ （2）求这个长方体盒子的侧面积． 【答案】（1）制作成的无盖长方体盒子的体积是； （2）这个长方体盒子的侧面积为248． 【解析】 【分析】（1）利用长方体的体积公式计算即可； （2）大长方形的面积减去4个小正方形的面积就是盒子的侧面积． 【小问1详解】 解：无盖长方体盒子的体积为： （）； 答：制作成的无盖长方体盒子的体积是； 【小问2详解】 解：长方体盒子的侧面积为： =248（）； 答：这个长方体盒子的侧面积为248． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，做题关键是读懂题意列出正确的算式． 18. 如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某些原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米． 【答案】（1） 解：是，理由： 在中， ∴是从村庄到河边的最近路． （2）新路比原路少千米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）先根据勾股定理的逆定理说明即可作出判断； （2）设千米，借助勾股定理建立方程求解，再计算与的差即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 由（1）及勾股定理得 解得：， ， ∴ 新路比原路少千米． 19. （1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 【答案】（1），，； （2） 理由如下： 当，时，， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）略 （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 20. 如图，和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上． （1）证明：； （2）若，，则四边形的面积为______． 【答案】（1） 证明：， ，， 又，， ， ． ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理以及分母有理化．解决本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理． （1）根据等腰直角三角形的性质证明，再证明，再证明，最后由勾股定理证明即可； （2）过点C作，由全等三角形的性质可得再证明，设，可得 ，再列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点C作， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期第一阶段学业水平抽样评估八年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，20个小题，满分100分，考试时间为60分钟． 2．用黑色水性笔答卷，答卷前务必将密封线内各项填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为（ ） A. 0 B. C. D. 4. 一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ） A. 5 B. C. D. 5或 5. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（ ） A. 大长方形的长为6 B. 大长方形的宽为5 C. 大长方形的周长为11 D. 大长方形的面积为90 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 的面积为10 D. 点到直线的距离是2 9. 如图，在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，其中，，（ ） A. B. C. D. 10. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 7米 二、填空题（本大题共4个小题，前3个小题每小题3分，第14题4分，共13分） 11. 已知是正整数，则自然数的最大值为____________． 12. 若三角形的三边长分别为，，，且，则的形状为________． 13. 如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要___________米长. 14. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为ts． （1）则边的长为______cm； （2）当______，为等腰三角形． 三、解答题（本大题共6个小题，共57分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成．已知在中，，，，． （1）此图可以用来证明你学过的______定理，请写出定理的内容：______． （2）请利用图①，验证①中的定理． （3）图②是将图①中较长的四条直角边均向外延长一倍得到的，若，，则图②的外围周长（实线部分）为______． 17. 如图，有一张长为cm，宽为cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形． （1）若小正方形的边长为cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？ （2）求这个长方体盒子的侧面积． 18. 如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某些原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米． 19. （1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 20. 如图，和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上． （1）证明：； （2）若，，则四边形的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $