2025年中考数学一轮复习 专题16 图形的初步认识讲义+练习

2025中考数学一轮复习 专题16 图形的初步认识 一、选择题（共10小题） 1．（2025•阎良区一模）已知某几何体的侧面展开图为矩形，则该几何体不可能是　　 A． B． C． D． 2．（2025•榆阳区一模）某个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是　　 A． B． C． D． 3．（2025•嘉峪关一模）2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被更多人了解．如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面上的字是　　 A．非 B．遗 C．文 D．化 4．（2025•沧州一模）借助如图量角器上的读数，的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2025•定西一模）已知，那么的余角的补角等于　　 A． B． C． D． 6．（2025•碑林区校级一模）一个长方体的体积是1260，它的长、宽、高均为自然数，它的棱长之和最少是　　 A．132 B．192 C．140 D．72 7．（2024•大荔县二模）已知，那么的补角的度数等于　　 A． B． C． D． 8．（2024•河北二模）关于图中的点和线，下列说法错误的是　　 A．点在直线上 B．点在线段上 C．点在射线上 D．点在线段上 9．（2024•东城区校级模拟）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2024•北京模拟）如图所示，已知，，则的度数为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2025•浦东新区校级模拟）在如图所示的网格是正方形网格，点、、、、均在格点（网格线交点）上，那么　　（填“”，“ ”或“” ． 12．（2024•吉安一模）如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 　　． 13．（2024•吉林二模）比较大小： 　　（填“”“ ”或“” ． 14．（2024•东港区校级模拟）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为　　． 15．（2024•岚山区二模）已知与互为补角，，则　　． 16．（2024•高邮市一模）将两块三角板如图叠放，若，，则　　． 17．（2024•雁塔区校级模拟）一个角的余角是，则这个角的度数为 　　． 18．（2024•阜宁县三模）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 　　． 19．（2024•建邺区二模）若的补角是它的余角的4倍，则的度数为 　　． 20．（2024•长春模拟）如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 　　． 三、解答题（共6小题） 21．（2023•阳谷县二模）如图，一艘渔船正以60海里小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1.5小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以75海里小时的速度继续航行多长时间即可到达．（结果保留根号） 22．（2024秋•襄都区期末）如图，是线段上一点，是线段的中点． （1）若，，求的长． （2）若，，求的长． 23．（2024秋•新罗区期末）（1）如图，线段，是上一点，且，，求线段的长． （2）如图，直线上有两点、，且，点在直线上，且．若点为的中点，求线段的长． 24．（2024秋•荷塘区期末）如图，已知，是内的一条射线，且． （1）求的度数； （2）作射线平分，在内作射线，使得，求的度数． 25．（2024秋•丹东期末）如图，是直线上的一点，，平分，过点作垂直． （1）求的度数； （2）是否平分？并说明理由． 26．（2024秋•侯马市期末）如图1，、、三点在同一直线上，是的平分线． （1）与互补的角是　　． （2）若，求的度数； （3）如图2，在第（2）问的条件下，若是的平分线，请求出的度数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C C A C D A B 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】根据几何体的展开图：圆锥的侧面展开图是扇形；圆柱的侧面展开图是矩形；三棱柱的侧面展开图是六个三角形；正方体的侧面展开图是矩形，可得答案． 【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，故符合题意；圆柱的侧面展开图是矩形，故不符合题意；三棱柱的侧面展开图是矩形，故不符合题意；正方体的侧面展开图是矩形，故不符合题意； 故选：． 2．【答案】 【分析】根据几何体的展开图进行判断即可． 【解答】解：由展开图可知，这是圆柱体的展开图， 故选：． 3．【答案】 【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【解答】解：与“传”字相对的面上的汉字是“文”． 故选：． 4．【答案】 【分析】根据读数求出的对顶角的度数即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 5．【答案】 【分析】根据余角和补角的概念列式计算即可． 【解答】解：， 的余角为：， 的余角的补角为：， 故选：． 6．【答案】 【分析】设长、宽、高分别为、、，则，由于，当、、最接近时，棱长之和最小，则当、、分别为10，14，9时，最小，为33，即可求出答案． 【解答】解：设长、宽、高分别为、、，则， 要使棱长之和最少，即最小，就是最小即可， 又由于，当、、最接近时，棱长之和最小， 当、、分别为10，14，9时，最小，为33， 最小值为． 故选：． 7．【答案】 【分析】两个角的和为，则两个角互为补角．根据概念进行计算． 【解答】解：根据互为补角的概念，得 的补角为：． 故选：． 8．【答案】 【分析】结合图形对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：根据图形可知：点在直线上正确， 故选项正确，不符合题意； 点在线段上正确， 故选项正确，不符合题意； 点在射线上正确， 故选项正确，不符合题意； 点在线段上不正确， 故选项不正确，符合题意． 故选：． 9．【答案】 【分析】由，求出，再由，即可计算． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 10．【答案】 【分析】根据图形和题目中的条件，可以求得的度数和的度数，从而可以求得的度数． 【解答】解：，， ； 同理可得，． ， 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【分析】通过图示解决此题． 【解答】解：由图可知，． 故答案为：． 12．【答案】． 【分析】如图：由题意可得，然后根据平角的定义列式计算即可． 【解答】解：， ，即入射光线与反射光线的夹角的度数为． 故答案为：． 13．【答案】． 【分析】将化为度，然后比较大小即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 14．【答案】． 【分析】根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可． 【解答】解：根据题意，补图如下： 是原大圆锥剩余部分的高， ，， ， ， △， ，即 ， ， 侧面展开图的面积为， 故答案为：． 15．【分析】根据互补即两角的和为解答即可． 【解答】解：与互为补角，， ． 故答案为：． 16．【答案】． 【分析】根据，即可求解． 【解答】解：，即， ． 故答案为：． 17．【答案】． 【分析】根据余角的定义计算即可． 【解答】解：， 即这个角的度数是， 故答案为：． 18． 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可． 【解答】解：正六边形的外角和为， 每一个外角的度数为， 正六边形的每个内角为． 设这个圆锥底面圆的半径是， 根据题意得，， 解得，， 这个圆锥高． 故答案为：． 19．【答案】． 【分析】根据的补角是它的余角的4倍列方程，即可得到结论． 【解答】解：根据题意得，， 解得， 故的度数为， 故答案为：． 20． 【分析】利用线段的性质进行解答即可． 【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】． 【分析】如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，利用方向角的定义得到，，，，在中，设，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，再利用得到，解得，则海里，然后在中计算出海里，最后利用速度公式计算出从处到避风港的时间即可． 【解答】解：如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，，，，， 在中，设， ， ， 在中， ， ，即，解得， 海里， 在中， ，海里， 海里， 从处到避风港的时间（小时）． 答：继续航行小时即可到达． 22．【答案】（1）2；（2）． 【分析】（1）根据，，得到，根据是线段的中点．求得，于是得到； （2）设，，根据是线段的中点，得到，于是得到． 【解答】解：（1），， ， 是线段的中点． ， ； （2）， 设，， 是线段的中点， ， ， ． 23．【答案】（1）； （2）1或11． 【分析】（1）根据题意，，则，由即可求解； （2）分类讨论：①当点在点右边时；②当点在点左边时；根据中点的定义，图形结合计算即可求解． 【解答】解：（1），， ， ， ， ； （2）分两种情况分析当点在点右边时和当点在点左边时如下： ①当点在点右边时，如图所示： ，， ， 点是中点， ， ． ②当点在点左边时，如图所示： ，， ， 点是中点， ， ． 24．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据比的意义，列式计算即可． （2）根据比的意义，角平分线的意义列式计算即可． 【解答】解：（1），， ； （2）由条件可知， ． 因为， 所以， 所以． 25．【答案】（1）； （2）平分，理由见解析． 【分析】（1）根据角平分线的定义可求出，再由垂线的定义得到，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 【解答】解：（1）平分，， ， 垂直， ， ； （2）平分，理由如下： 理由：，， ， ， 平分． 26．【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）结合图形，根据补角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义可得，再由计算即可得解； （3）先求出，再由角平分线的定义可得，最后再由计算即可得解． 【解答】解：（1）， 与互补， 故答案为：； （2）是的平分线，， ， 、、三点在同一直线上， ． （3）， ， 是的平分线， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025中考数学一轮复习 专题16 图形的初步认识 基础知识梳理 1．立体图形与平面图形 （1）对于一个物体，如果我们不考虑它的颜色、材料和重量等，而只考虑它的形状（如方的、圆的）、大小（如长度、面积、体积）和位置（如平行、垂直、相交），所得到的图形就称为几何图形．如： 我们学习过的长（正）方体、圆柱（锥）体、长（正）方形、圆、三角形、四边形等都是几何图形． （2）立体图形：各部分不都在同一平面内的图形，叫做立体图形． 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是立体图形，棱柱、棱锥也是常见的立体图形． （3）平面图形：各部分都在同一平面内的图形，叫做平面图形． 长方形、正方形、三角形、四边形、圆等都是平面图形． （4）立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但他们是互相联系的． 任何一个立体图形图形是由一个或几个平面图形围成的． 2．点、线、面、体 （1）体：长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体．几何体也简称体． （2）面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种． 如下图的圆锥体有2个面，一个是平面，另一个是曲面． 如下图的六棱柱有8个面，它们都是平面． 如下图的圆柱有3个面，2个是平面，另一个是曲面． （3）线：面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种．如圆锥体的两个面相交形成曲线． （4）点：线与线相交形成点． （5）正方体展开图，共11种图形． 3．直线、射线、线段 （1）直线公理 经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． （2）直线相交 当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点． （3）线段公理 两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． （4）两点间的距离 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （5）中点 点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点．类似地，还有线段的三等分点、四等分点． （6）尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 4．角的概念： （1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角． 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角有以下的表示方法： ①用三个大写字母及符号“∠”表示． 三个大写字母分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间． ②用一个大写字母表示角，这个字母就是顶点． 注意：当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不能用一个大写字母表示． ③用一个数字或一个希腊字母表示．在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上希腊字母或数字． 5．角度的单位及其表示方法： （1）把圆周角等分成360等分，每一份就是1度的角，记作1°． （2）把1度的角等分成60等分，每一份就是1分的角，记作1′． （3）把1分的角等分成60等分，每一份就是1秒的角，记作1″． （4）由此我们可以得出： ①1°=60′，1′=60″．②1周角=360°，1平角=180°． （5）以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制． （6）另外还有以弧度为单位的弧度制，军事上常用密位制． 1弧度==57°17′44″，1密位=． 6．用量角器度量角： 用量角器度量角分三步：对中、重合、读数． 7．余角和补角： （1）一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角． （2）一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角． 常用方法结论 1．点、线、面、体 （1）体：长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体．几何体也简称体． （2）面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种． （3）线：面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种． （4）点：线与线相交形成点． 2．直线、射线、线段的方法归纳： （1）过一点的直线有无数条；直线是是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小． （2）要注意区别直线公理与线段的性质：直线公理是指两点确定一条直线，线段的性质是指两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想． （3）延伸与延长是不同的，线段不能延伸，但可以延长，直线和射线能延伸，但是不能延长． （4）直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换． （5）直线中“有且只有”中的“有”的含义是存在性，“只有”的含义是唯一性，“有且只有”与“确定”的意义相同． （6）射线：一要确定端点，二要确定延伸方向，二者缺一不可． 3．要注意区别直线公理与线段的性质：直线公理是指两点确定一条直线，线段的性质是指两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想． 课前测（含高考真题） 一、选择题（共5小题） 1．（2024•陕西）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是　　 A． B． C． D． 2．（2024•广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为　　 A． B． C． D． 3．（2024•济宁）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是　　 A．人 B．才 C．强 D．国 4．（2024•绵阳）如图是某几何体的展开图，则此几何体是　　 A．五棱柱 B．五棱锥 C．六棱柱 D．六棱锥 5．（2023•长春）如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是　　 A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥ 二、填空题（共2小题） 6．（2024•南京）如图，点，，在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则　　． 7．（2023•乐山）如图，点在直线上，是的平分线，若，则的度数为 　　． 课前测∙参考答案 一、选择题（共5小题） 1．【答案】 【分析】根据面动成体，图形绕直线旋转是球． 【解答】解：如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是球． 故选：． 2．【答案】 【分析】由于钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数． 【解答】解：钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “建”与“国”是对面， 故选：． 4．【答案】 【分析】根据棱柱的定义判断即可． 【解答】解：这个几何体是六棱柱． 故选：． 5．【答案】 【分析】由多面体的表面展开图，即可得到答案． 【解答】解：多面体的底面是面③，则多面体的上面是⑤． 故选：． 二、填空题（共2小题） 6．【答案】108． 【分析】根据题意，得到，结合已知条件，求得的度数，即可得到结果． 【解答】解：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：108． 7．【答案】． 【分析】根据邻补角定义求得的度数，再根据角平分线定义即可求得答案． 【解答】解：， ， 是的平分线， ， 故答案为：． 考点梳理 ►考点01 认识立体图形与平面图形 【例1】　（2025•郏县模拟）如图是常见的一种“斗笠”，用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成　　 A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱 【答案】 【分析】根据圆锥的几何特征即可得出答案． 【解答】解：用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成圆锥． 故选：． 【例2】　（2025•安徽模拟）下列四个几何体中，是棱柱的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据棱柱的形体特征进行判断即可． 【解答】解：选项中的几何体是圆柱，因此选项不符合题意； 选项中的几何体是三棱柱，因此选项符合题意； 选项中的几何体是三棱锥，因此选项不符合题意； 选项中的几何体是四棱台，因此选项不符合题意； 故选：． 【例3】　（2024•邹平市校级模拟）观察下列实物模型，其整体形状给我们以圆柱的形象的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】熟悉立体图形的基本概念和特性即可解． 【解答】解：．此物体给我们以圆台的形象，不符合题意； ．此物体给我们以长方体的形象，不符合题意； ．此物体给我们以圆锥的形象，不符合题意； ．此物体给我们以圆柱的形象，符合题意； 故选：． 提分 要点 （1）有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，这样的几何图形叫做立体图形． （2）有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平内，这样的几何图形叫做平面图形． ►考点02 点、线、面、体 【例4】　（2025•临渭区一模）将如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可以得出的立体图形是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据面动成体，所得图形是一个圆锥． 【解答】解：直角三角形绕其一条直角边旋转一周所得立体图形是圆锥． 故选：． 【例5】　（2024•龙亭区校级一模）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平面图形是由矩形和三角形组成，因此它绕着直线旋转一周得到的几何体是由圆柱和圆锥组成而得出答案． 【解答】解：已知的平面图形是由矩形和三角形组成， 这个平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是由圆柱体和圆锥体组成． 故选：． 【例6】　（2024•蒲城县一模）下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“面动成体”结合各个选项中图形和旋转轴进行判断，即可解答． 【解答】解：、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故不符合题意； 、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故不符合题意； 、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故符合题意； 、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，故不符合题意； 故选：． 提分 要点 （1）体：长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体．几何体也简称体． （2）面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种． （3）线：面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种． （4）点：线与线相交形成点． ►考点03 几何体的展开图 【例7】　（2025•伍家岗区模拟）下列图形中，可以作为一个正方体的展开图的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可． 【解答】解：．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意； ．不可以作为一个正方体的展开图，符合题意； ．可以作为一个正方体的展开图，不合题意； ．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意． 故选：． 【例8】　（2025•灞桥区校级四模）下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图的特点解答即可． 【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，光滑的曲面，没有棱． 故选：． 【例9】　（2025•榆次区一模）如图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】解：根据题意得，有2个三角形的面，3个长方形的面， 围成的几何体名称是三棱柱． 故选：． 提分 要点 （1）有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形．这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． （2）不是所有的立体图形都可以展开为平面图形．如球的表面就不能展开为平面图形． （3）同一个立体图形，按不同方式展开，可以得到不同的展开图． （4）正方体展开图，共11种图形． ①“141”型（6种） ②“231”型（3种） ③“222”型（1种） ④“33”型（1种） ►考点04 截一个几何体 【例10】　（2024•南召县一模）用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱的形状判断即可，可用排除法． 【解答】解：圆锥不可能得到长方形截面， 故能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱，一共有3个． 故选：． 【例11】　（2024•浦口区校级三模）如图，用一个平面从不同的位置，沿着不同的方向取截一个圆柱，圆柱的截面不可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意逐项判断即可． 【解答】解：利用平面将圆柱竖直切所得截面为，利用平面将圆柱横着切所得截面为，利用平面将圆柱斜着切所得截面为， 则，，不符合题意，符合题意； 故选：． 【例12】　（2024•沙坪坝区校级模拟）用一个平面去截长方体，截面 　　是七边形（填“可能”或“不能” ． 【分析】根据截一个几何体截面的边数与多边形边数之间的关系进行解答即可． 【解答】解：由于长方体有6个面，截面经过这6个面，最多也只可能是六边形，不可能是七边形， 故答案为：不能． 提分 要点 （1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． ►考点05 直线、射线、线段 【例13】　（2024•新华区一模）下列各图中，表示“射线”的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据射线的定义即可作答． 【解答】解：．表示直线，故本选项不符合题意； ．表示射线，故本选项符合题意； ．表示线段，故本选项不符合题意； ．表示射线，故本选项不符合题意； 故选：． 【例14】　（2019•石家庄二模）点在线段上，下列条件中不能确定点是线段中点的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然、、都可以确定点是线段中点． 【解答】解：、，则点是线段中点； 、，则可以是线段上任意一点； 、，则点是线段中点； 、，则点是线段中点． 故选：． 【例15】　（2024•瑶海区校级模拟）若点在线段的延长线上，，，则的长为 　　． 【答案】5． 【分析】根据线段的和差关系进行求解即可． 【解答】解：点在线段的延长线上，，， ， 故答案为：5． 提分 要点 直线公理 经过两点有且只有一条直线．直线是向两方无限延伸的，直线没有端点． 射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点，射线向一方无限延伸，射线只有一个端点． 线段 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．线段有两个端点，有长短之分，将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点． 两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫做两点之间的距离． 垂线段公理 直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短． 线段垂直平分线 （1）线段垂直平分线的定义：垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线． （2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 平行线 （1）过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行线的性质： ①两条直线平行，同位角相等； ②两条直线平行，内错角相等； ③两条直线平行，同旁内角互补． （3）平行线的判定： ①同位角相等，两条直线平行； ②内错角相等，两条直线平行； ③同旁内角互补，两条直线平行． ►考点06 计数问题 【例16】　（2023•江岸区校级模拟）若方程表示一条直线，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中任取两个不同的数作为，的值，则可表示　　条不同的直线． A．20 B．22 C．28 D．30 【答案】 【分析】分两种情况讨论，即可解决问题． 【解答】解：当、中有一个是0时， 若，则，表示一条直线， 若，则，表示一条直线， 此时有两条直线； 当时， 从1，2，3，5，7这5个数字中任取两个不同的数作为，的值，共有种组合， 此时有20条直线， 共可表示直线的条数是． 故选：． 【例17】　（2024•沂源县一模）如图中有 　　条线段． 【答案】6． 【分析】先数出以为端点的线段，再分别数出以、为端点的线段相加即可． 【解答】解：根据题意，以为端点的线段：、、； 以为端点的线段、； 以为端点的线段． 综上所述共6条线段． 故答案为：6． 【例18】　（2023•丰润区模拟）经过直线外一点的5条不同的直线中，与直线相交的直线至少有　　 A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】 【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可． 【解答】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线平行的，只能是一条， 即与直线相交的直线至少有4条． 故选：． 提分 要点 线段的条数：一条线段上共有n（n≥2）个点（包含两个端点）时，这n个点可以构成条线段． ►考点07 角的计算与度量 【例19】　（2025•泗阳县校级一模）　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据进行换算即可． 【解答】解：根据进行换算如下： ． 故选：． 【例20】　（2024•灞桥区校级二模）如图，将一个三角板的角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知，则的大小是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数． 【解答】解：，， ， ， ； 故选：． 【例21】　（2024•南海区校级模拟）如图，是直线上一点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平角的定义可得，然后利用度分秒的进制进行计算即可解答． 【解答】解：， ． 故选：． 提分 要点 角的度量单位主要有度、分、秒 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记住1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记住1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记住1″． ►考点08 角平分线 【例22】　（2025•南京模拟）如图，是的平分线，是的平分线，，则　　． 【分析】利用角平分线的定义得到，利用已知条件可求． 【解答】解：是的平分线， ． 是的平分线， ． ． ， ， ． 故答案为：． 【例23】　（2024•邹城市校级模拟）如图，点，，在同一条直线上，平分，已知，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据角平分线定义得，再根据邻补角定义得，然后根据可得出答案． 【解答】解：平分，， ， 点，，在同一条直线上， ， ． 故选：． 【例24】　（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，已知过的内部任意一点画射线，使，，若，分别平分和． 求：（1）的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接根据计算即可； （2）根据题意，平分，平分，由角平分线定义得出，，由计算即可得出答案． 【解答】解：（1），， ； （2）平分，平分，，， ，， ． 提分 要点 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等． ►考点09 余角和补角 【例25】　（2025•浙江一模）一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用题中“一个角的余角是这个角的2倍”作为相等关系列方程求解即可． 【解答】解：设这个角是， 则， 解得． 故选：． 【例26】　（2024•乐山模拟）若一个角的余角的3倍比这个角的补角多，则这个角的度数为 　　． 【答案】． 【分析】根据余角的和等于，补角的和等于，用这个角表示出它的余角与补角，然后根据题意列出方程求解即可． 【解答】解：设这个角是，则它的余角是，补角是， 根据题意得， 解得：． 故这个角的度数为． 故答案为：． 【例27】　（2024•普陀区二模）已知一个角的余角是这个角的两倍，那么这个角的补角是 　　度． 【答案】150． 【分析】设这个角为，由题意得，，解得这个角的度数，可得这个角的补角． 【解答】解：设这个角为， 由题意得，， 解得：， ， 故答案为：150． 提分 要点 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说两个角互为余角，即其中一个角是另外一个角的余角． （2）余角的性质：同角（等角）的余角相等． （3）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这个两个角互为补角，即其中一个角是另外一个角的补角． （4）补角的性质：同角（等角）的补角相等． 学科网（北京）股份有限公司 $$