精品解析：安徽省马鞍山中加双语学校（高中部）2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

马鞍山中加双语学校2024-2025学年第二学期 第一次月考高二年级数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 3. 已知函数在处可导，是函数在点处取得极值的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数定义域为，，是偶函数，设，则下列选项中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 8. 利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且只有一个极大值点 B. 在上单调递增 C. 存在实数，使得 D. 有最小值，最小值为 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得得2分，有选错的得0分） 9. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（ ） A. 函数有极大值 B. 函数有极小值 C. 函数有极大值 D. 函数有极小值 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 当，时，函数在定义域上单调递减 C. 若，且，a的最小值是 D. 曲线是中心对称图形 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，将答案填在题中的横线上） 12. 已知，则______. 13. 已知函数在处取得极小值，则__________． 14. 已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围可以是___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设 （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数的极大值为，求函数在上的最小值． 16. 已知函数（且）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调区间. 17. （1）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求a的取值范围． （2）已知函数，对于任意，且，都有，求实数a的取值范围． 18. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于直线．求； （2）若且函数只有一个极值点.求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山中加双语学校2024-2025学年第二学期 第一次月考高二年级数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解. 【详解】因为， 则， 故. 故选:B. 3. 已知函数在处可导，是函数在点处取得极值的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】函数在点处取得极值的充要条件是：且在点附近的左右两侧异号，由此结合充分、必要、充要条件的判断，即可得到答案． 【详解】函数在处可导，推不出函数在点处取得极值； 反之，函数在点处取极值，必有． 故是函数在点处取得极值的必要不充分条件． 故选：B． 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用题给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围. 【详解】法一： 令，则在上单调递减， 且在上恒成立， 所以解得. 法二：，则， 则在区间上恒成立， 则或，解之得. 故选：A. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，通过其单调性可判断，进而可求解. 【详解】易知，， 构造函数， 求导，易知当时，，单调递增； 所以， 所以， 所以， 故选：A 7. 已知函数定义域为，，是偶函数，设，则下列选项中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定为奇函数，是偶函数，函数周期为4，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】，所以为奇函数，故函数图象关于点对称， 是偶函数，故，即， 函数图象关于直线对称，所以 所以，所以函数周期为4， 对选项A：，故A正确； 对选项B：无法确定，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，故，即，，错误. 故选：A 8. 利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且只有一个极大值点 B. 在上单调递增 C. 存在实数，使得 D. 有最小值，最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可. 【详解】由，则， 令，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 由函数与复合而成，而在上单调递增； 故在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取极小值，且无极大值， 又，故不存在实数，使得. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：应用对数恒等式转化为复合函数是解题关键. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得得2分，有选错的得0分） 9. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（ ） A. 函数有极大值 B. 函数有极小值 C. 函数有极大值 D. 函数有极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图象求出函数的零点，再求出大于0、小于0的x取值区间即可判断作答. 【详解】依题意，三次函数的导函数为是二次函数，观察图象知，是函数的两个零点， 当或时，，当时，， 所以函数有极小值，有极大值，AD正确，BC错误. 故选：AD 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项. 【详解】A.定义域为，，，故A正确. B.定义域为，，，故B正确. C.定义域为，，，故C正确. D.定义域为，，， 当时，，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 当，时，函数在定义域上单调递减 C. 若，且，a的最小值是 D. 曲线是中心对称图形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用对数的性质求函数的定义域，结合对数复合函数的单调性判断的单调性，对求导，问题化为在上恒成立求参数最小值，依次判断A、B、C；由判断D. 【详解】由解析式，即定义域为，A对； 若，，则， 而在上单调递增，且在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增，B错； 若，则，故， 由，即在上恒成立， 而时取得最大值为，即，C对； 由， 所以，即关于中心对称，D对. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，将答案填在题中的横线上） 12. 已知，则______. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】由解析式求出，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数在处取得极小值，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求出的值，再检验是否为极小值点即可. 【详解】由，又函数在处取得极小值， 则，解得，或， 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极小值， 故时符合题意； 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极大值， 故时不符合题意. 故答案为：. 14. 已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围可以是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，，即，根据图像得到答案. 【详解】当时，，， 令，解得，(舍去). ，，为减函数， ，，为增函数. . 当时，，， 令，解得， ，，为减函数， ，，为增函数. ，且当时，. 函数的图像如图所示： 因为方程有两个不相等的实根， 等价于函数与有2个交点， 所以或. 故答案为：. 【点晴】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，利用导数求出单调区间得到函数图像是解题的关键. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设 （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数的极大值为，求函数在上的最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导研究函数单调性；（2）由（1）知函数的单调区间，找到在处取得极大值，可求出，求得最小值. 【小问1详解】 ， 由得或， 所以的单调递增区间为和； 【小问2详解】 由Ⅰ知函数在处取得极大值， 即，得 ，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以在上的最小值为． 16. 已知函数（且）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调区间. 【答案】（1） （2） 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，函数函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求出、，由直线的点斜式方程可得答案； （2）求出，分、、、 讨论的正负可得答案. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴，又，∴. ∴所求切线方程为. 【小问2详解】 由题意知，函数的定义域为， 由（1）知， ∴，易知， ①当时，令，得或；令，得. ②当时，，令，得；令，得或. ③当时，. ④当时，，令，得；令，得或. 综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，函数函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数判断函数的单调性的问题，关键点是对进行讨论，考查了学生发现问题、解决问题的能力. 17. （1）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求a的取值范围． （2）已知函数，对于任意，且，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） ；（2）． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，问题化为时有解，即可得参数范围； （2）由题设在上是增函数，对函数求导，问题化为在上恒成立，即可得参数范围. 【详解】（1）因为，所以， 若在上存在单调递增区间，则时有解， 即有解，，显然有， ∴，即，故a的取值范围是． （2）由已知，当时，有恒成立， 即在上是增函数． 则，则， ∴在上恒成立，即在上恒成立． ∵时，有，当时，， 由在上恒成立，得，即， 即实数a的取值范围为． 18. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】(1)利用导数求出，分别令、，进而得到函数的单调区间，即可求出极值； (2)利用导数讨论、0时函数的单调性，进而得出函数的最小值小于0，解不等式即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 时，.令，解得， ∵在上，，在上，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ， 当时，，∴在上单调递增，此时不可能有2个零点. 当0时.令，得， ∵在上，，在上，）， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的最小值为. ∵有两个零点，∴，即，∴. 经验证，若，则，且， 又，∴有两个零点. 综上，a的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于直线．求； （2）若且函数只有一个极值点.求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列方程求解即可； （2）化简得，根据和分类讨论单调性，时，在上单调的递增，不存在极值；时，利用导数研究其单调性，结合极值点的定义即可求解； （3）参变分离得，设，则，同构后换元，利用导数法求得的最小值为0，即可求解， 【小问1详解】 由题意，得，则， 由题意，解得； 【小问2详解】 当时，， ， 令，则， 当时，，则在上单调的递增，所以函数不存在极值； 当时，令即，得，令， 则恒成立，则在上单调的递增，又，，所以存在唯一的，使得， 当时，，即，所以函数单调递减， 当时，，即，所以函数单调递增， 所以仅在处取到极小值，符合题意. 综上，函数只有一个极值点时，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，参变分离得，设，则，因为，所以， 令，因为，所以，设，则，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即的最小值为0，即，所以，即，故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $