精品解析：福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十四次质量检测数学试题

福州三中2024-2025学年第二学期高三第十四次质量检测 数学试卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级，准考证号，姓名填写在答题卡上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 第I卷 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则实数的取值构成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用集合与集合之间的关系构造方程计算参数即可. 【详解】由得. 当时，，满足； 当时，因为， 所以或， 解得或. 故选：C. 2. 设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面平行的性质与判定及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】若，，则,可能平行，也可能相交，故不一定成立， 若，则，， 故是，的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知向量的夹角为，且，，若与向量垂直的非零向量满足（其中，则（ ） A. B. 1 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直数量积为0建立方程，由数量积公式求出向量的数量积和，代入方程后得到. 【详解】由，，得． 又，， 所以，整理，得． 故选：D． 4. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，且，利用累加法求得，从而得到，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为，且， 所以当时， 因为也满足，所以. 因为， 所以.所以. 故选：B. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用多项式的运算及组合，得，即可求解. 【详解】由题知， 故选：D． 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解. 【详解】因为， 将式子的左右两侧同时除以，可得 ， 即. 故选：D 7. 如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，得到第2个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第3个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的，则（ ）（参考数据：） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】易知正方形的边长成等比数列，其公比为，设第个正方形的面积为，得到，求得，再由求解. 【详解】由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为， 所以其公比为． 设第个正方形的面积为，则， 当时，，所以， 由，得， 所以， 即， 所以，所以． 故选：C． 8. 若函数满足对任意，恒有，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导出，令，可得出，利用赋值法推导出，进而可得出，由此可求得的最小值. 【详解】因为， 所以. 设，那么， 因此， 对任意的，，则， 因此， 所以，所以的最小值是， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于令，根据题意得出，进而结合赋值法推导出，进而求解. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ） A. 复数对应点在第四项象限 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可判断A；将代入方程可求的值，即可判断B；利用根与系数的关系可求出方程的另一个根，即可判断C；根据两个虚数不能比较大小，可判断D. 【详解】复数，复数对应的点为，所以，复数对应的点在第四象限，故A正确； 已知，关于的方程的一个根是， 则，整理得， 所以，；解得：，所以，，故B正确； 由得方程，又知道一个根是， 所以，结合韦达定理，可得另一个根是，所以，，故C正确； 两个虚数不能比较大小，故D错误； 故选：ABC． 10. 已知函数在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是：（ ）. A. ， B. 的单调区间为： C. 在区间上有且仅有2个零点 D. 先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移1个单位后是奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图形求出判定A；设，求出单调区间判定B；通过图像法求解判定C；.图象变换后得到不是奇函数判定D. 【详解】对于A，，故 ，上两点有对称中心 ，故有渐近线，所以，由于不影响的取值，不妨令其为0，而，所以，，A错误. 对于 B，不妨设，，B正确. 对于C，x轴以下的图象翻折上去，作出的图像，与直线有2个交点，C正确. 对于D，变换后：不是奇函数，D错误， 故选：BC. 11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线有4个顶点 C. 曲线与直线有4个交点 D. 曲线上动点到原点距离的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据新定义曲线的知识对选项进行分析，结合图象来确定正确答案. 【详解】对于A，将交换方程依然成立，所以曲线关于对称，A正确； 对于B，易得曲线有四条对称轴轴，轴，直线， 直线，共有8个顶点，B错误； 对于C，由得， 即， 可得， 对于方程，，  则方程有两不等实根，且方程的根不为0和3， 所以方程有4个不等实根， 从而曲线C与直线有4个交点，C正确； 对于D，由得， ， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为， 曲线C上动点P到原点距离的最小值，D错误； 故选：AC 【点睛】思路点睛： 遇到关于新定义曲线性质的问题，首先要明确新定义的内涵和要求.对于各选项，根据曲线方程的特点，分别从对称性、顶点个数、与直线的交点个数以及动点到定点距离最值等角度出发，运用相应的数学知识和方法进行分析.如判断对称性利用交换坐标法，求交点个数通过联立方程求解，求最值借助均值不等式等，逐步得出结论. 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为，在已知的条件下，的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】列举法应用古典概型公式计算结合条件概率公式计算即可. 【详解】设先后抛掷的两枚质地均匀的骰子的点数分别为，则样本空间，其包含的样本点有36个. 记事件“”，则事件包含的样本点为，共10个. 记事件“”，则事件“且”，其包含的样本点有4个，为. 所以由条件概率公式知. 故答案为：. 13. 已知，则满足的实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 因为对任意的恒成立， 所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，解得，即实数的取值范围是. 故答案：. 14. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与的左右两支分别交于两点，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意不妨设双曲线的焦点在轴，设过的直线与圆相切于点，则在、中应用正弦定理可得，再结合双曲线定义可得，再运用余弦定理可得，进而可求得离心率. 【详解】不妨设双曲线的标准方程为，则， 设过的直线与圆相切于点，则在中，， 且点位于双曲线的右支，如图所示， 在中，由正弦定理得， ， 又， ， 在中，， 即， 化简得，即. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. 【小问2详解】 由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 16. 已知单调递增的等比数列满足，且是的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）设，其前项和为，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，求出，得到； （2）由（1）得到，利用错位相减法求得，结合已知不等式得，令，从而由的单调性求得实数的取值范围． 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为， 由题意可知：，又因为 所以． ，解得或（舍） ∴； 小问2详解】 由（1）知，， ①-②得 若对于恒成立，则 ， 令， 则当， 当，单调递减，则的最大值为， 故实数的取值范围为． 17. 如图①，在等腰梯形中，为边的中点．将沿翻折，使点到达点的位置，得到四棱锥，如图②． （1）证明：在翻折过程中，始终满足； （2）当时，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先利用平面几何添加辅助中线，结合勾股定理来求解长度，从而通过菱形可得到对角线相互垂直，即可证明线面垂直，从而可得线线垂直； （2）利用线线垂直证明线面垂直，从而可得四面体是棱长为2的正四面体，再建立空间直坐标系，用空间向量法来求两平面夹角的正弦值即可. 【小问1详解】 证明：因为为的中点，且， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以． 取的中点，连接，如图①，则． 在中，， 所以． 在中，， 所以， 所以． 连接，则四边形为菱形． 连接，交于点，则． 在四棱锥中，设的中点为，连接，，如图②， 则． 因为平面， 所以平面． 又平面，因此在翻折过程中，始终满足． 【小问2详解】 设的中点为，连接，则． 因为平面，所以平面． 又平面，所以，因此， 所以四面体是棱长为2的正四面体． 设交于点，连接，则平面，且得． 设与交于点，由（1）知四边形是菱形， 故，且． 以为坐标原点，分别为轴，轴正方向，过点与同向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则即 令，得，所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则即 令，得，所以平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 18. 在直角坐标平面内，设是圆上的动点，轴，垂足为点，点在的延长线上，且，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设是过点的动直线． ①当直线的斜率为时，曲线上是否存在一点，使得点到直线的距离最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②若直线与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①存在， ② 【解析】 【分析】（1）设点坐标，根据得到，然后代入圆的方程即可得到曲线的方程； （2）①根据图形得到的位置，然后联立方程求点坐标； ②联立直线和椭圆方程，利用弦长公式得到，根据的位置求点坐标，然后利用点到直线的距离公式求距离，最后计算的面积，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 设，，则 因为，所以，整理得， 代入 中得，整理得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①的直线方程为，整理得， 如图，，与椭圆相切于点，当在如图所示的位置时，点到直线的距离最小， 设：， 联立得， ，解得或-5（舍去）， 则，解得，则， 所以存在点到直线的距离最小，坐标为. ② 设的方程为，，，则， 联立得， ，解得或， 则，， ， 直线的方程为，令得， 所以，则点到直线的距离， ， 令，则， 当且仅当，即，时等号成立， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线求最值或范围问题： （1）几何的思路：通过几何的知识取求最值或范围； （2）代数思路：将要求的用代数表示出来，然后通过函数或不等式的思路求最值或范围. 19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? （3）若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，，利用正态分布原则可求得的值； （2）分别利用独立重复试验的概率公式和泊松分布的概率公式可求得，比较大小后的可得出结论； （3）利用泊松分布得出，由，得出，然后构造函数，结合函数的单调性比较与的大小，以及与的大小，即可得出的最大值. 【小问1详解】 因为当，且时，可近似地认为，即， 这里，， 所以， . 【小问2详解】 ①若，则； ②若，其中， 则. 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布. 【小问3详解】 由于，所以，， 由泊松分布的概率公式可得，， 所以，， 因为，即， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由于，，所以，， 又因为，需要比较与的大小， 而，所以，相当于比较与的大小， 构造函数， 所以，对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且， 所以，，所以，， 即， 且，需要比较与的大小关系，而， 所以相当于比较与的大小， 构造函数，其中，且， ， 当时，，所以，函数在上单调递增， 即，即，即， 因此，的最大值为. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2024-2025学年第二学期高三第十四次质量检测 数学试卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级，准考证号，姓名填写在答题卡上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 第I卷 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则实数取值构成的集合是（ ） A B. C. D. 2. 设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量的夹角为，且，，若与向量垂直的非零向量满足（其中，则（ ） A. B. 1 C. 6 D. 4. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，得到第2个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第3个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的，则（ ）（参考数据：） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 若函数满足对任意，恒有，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ） A. 复数对应的点在第四项象限 B. C. D. 10. 已知函数在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是：（ ）. A. ， B. 的单调区间为： C. 在区间上有且仅有2个零点 D. 先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移1个单位后是奇函数 11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线有4个顶点 C. 曲线与直线有4个交点 D. 曲线上动点到原点距离的最小值为 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为，在已知的条件下，的概率为__________. 13. 已知，则满足的实数的取值范围是__________． 14. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与的左右两支分别交于两点，且，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 16. 已知单调递增的等比数列满足，且是的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）设，其前项和为，若对于恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图①，在等腰梯形中，为边的中点．将沿翻折，使点到达点的位置，得到四棱锥，如图②． （1）证明：在翻折过程中，始终满足； （2）当时，求平面与平面夹角的正弦值． 18. 在直角坐标平面内，设是圆上的动点，轴，垂足为点，点在的延长线上，且，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设是过点的动直线． ①当直线斜率为时，曲线上是否存在一点，使得点到直线的距离最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②若直线与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值． 19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? （3）若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $