清单01 整式的乘除（考点清单，知识导图+12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版2024）

清单01 整式的乘除（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 幂运算 1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数 3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 5.零指数 a0=1 (a≠0) 6.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 7.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法． 清单02 整式的乘除 1.单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4.单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 5.多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单03 乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. （2）平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 2.完全平方公式 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 （2）拓展、补充公式 ；； ；. 【考点题型一】同底数幂的乘法运算（） 【例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·期中）若，则 ． 【考点题型二】幂的乘方与积的乘方（） 【例2】（2025·陕西西安·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·江苏苏州·一模）计算 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，则 ． 【变式2-4】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若，则的值为 ． 【考点题型三】同底数幂的除法运算（） 【例3】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若，则 ． 【变式3-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算：结果为 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）已知，则 ． 【考点题型四】零指数幂和负整数的指数幂（） 【例4】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）计算 (1) (2) 【变式4-1】（23-24七年级下·广东梅州·期末）计算： 【变式4-2】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）计算：． 【变式4-3】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）计算：； 【考点题型五】科学计数法-表示较小的数（） 【例5】（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，则这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，它每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·期中）某种科技运用最新工艺技术，将一种硬件的制程提高到，该数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】整式的乘法（） 【例6】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式6-3】（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）计算：； （2）化简：． 【考点题型七】整式乘法的应用（） 【例7】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）“筑牢民生之基，增强百姓奉福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）： (2)当，时，求绿化部分的面积． 【变式7-1】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，用A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，拼一个长为、宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（   ） A．12 B．10 C．7 D．6 【考点题型八】整式除法运算（） 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式8-1】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）一个长方形的面积为，一边长为，则它的另一边长为（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）所得结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型九】平方差及几何意义（） 【例9】（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【变式9-1】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知，则等于 ． 【变式9-2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知，，求的值． 【变式9-3】（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 【变式9-4】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图中________，图中________； （2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （3）已知，，则的值为：________； 计算； 【拓展】计算 （4）的结果为________． 【考点题型十】完全平方及几何意义（） 【例10】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 直接应用：（1）若，，直接写出的值为______． 类比应用：（2）①若，则______； ②若a满足，求的值． 知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积． 【变式10-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）【问题情境】在图1中，三种大小不同的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．根据图2中阴影部分面积的关系，直接写出代数式之间的数量关系：___________． （2）【问题应用】已知，求的值． （3）【问题拓展】已知，直接写出的值． 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将一张长方形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长宽分别是的小长方形，且． (1)用含、的代数式表示切痕的总长为___________； (2)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求原来大长方形的周长 【变式10-3】（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】 阅读：若x满足，求的值． 解：设，则．因为，所以． 请仿照上述方法解决下面的问题： 【问题发现】 （1）若x满足，求的值； 【类比探究】 （2）若x满足，求的值； 【拓展延伸】 （3）如下图，正方形的边长为，长方形的面积为200，四边形和四边形都是正方形，是长方形．求四边形的面积． 【考点题型十一】整式的混合运算（） 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算： （2）计算： 【变式11-1】（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【变式11-2】（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算 (1) (2) 【变式11-3】（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）计算 (1)； (2) 【考点题型十二】整式的化简求值（） 【例12】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中，． 【变式12-1】（24-25七年级下·广东河源·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【变式12-2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【变式12-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 整式的乘除（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 幂运算 1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数 3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 5.零指数 a0=1 (a≠0) 6.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 7.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法． 清单02 整式的乘除 1.单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4.单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 5.多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单03 乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. （2）平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 2.完全平方公式 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 （2）拓展、补充公式 ；； ；. 【考点题型一】同底数幂的乘法运算（） 【例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 先化简得，代入数值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题关键．根据同底数幂乘法的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则并灵活运用．利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可． 【详解】解：， ． 故选：D． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·期中）若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则结合整体代入法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 【考点题型二】幂的乘方与积的乘方（） 【例2】（2025·陕西西安·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 直接根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据题意，将指数化为相同，底数越大，值越大，即可求解． 【详解】解：，，， ∴， 故选：D ． 【变式2-2】（2024·江苏苏州·一模）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂运算，准确计算是解题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算； 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，则 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，，结合同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴原式． 故答案为：16． 【变式2-4】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【考点题型三】同底数幂的除法运算（） 【例3】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据同底数幂的除法法则计算求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算：结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相除，积的乘方，先运算积的乘方再运算同底数幂相除，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，利用幂的乘方变形得出同底数幂的乘法是解题关键．根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的除法进行计算，最后代入求出即可． 【详解】解：由，得, ， 故答案为：． 【考点题型四】零指数幂和负整数的指数幂（） 【例4】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据有理数的混合运算，绝对值的化简，零指数幂得运算法则计算即可； （2）根据有理数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂得运算法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-1】（23-24七年级下·广东梅州·期末）计算： 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-2】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零次幂、乘方运算，绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算乘方、负整数指数幂、零次幂、化简绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 【变式4-3】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）计算：； 【答案】 【分析】首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂和绝对值，然后计算加减． 此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解： ． 【考点题型五】科学计数法-表示较小的数（） 【例5】（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，则这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】这个数用科学记数法表示为． 故选：A． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， ， 故选：C． 【变式5-2】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，它每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·期中）某种科技运用最新工艺技术，将一种硬件的制程提高到，该数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，要熟记科学记数法的形式为，其中，n是正整数，且n等于原数中左边第一个非0数的左边所有0的个数（包括整数位0）；据此即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 【考点题型六】整式的乘法（） 【例6】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了单项式的乘以多项式、整式的混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘以多项式的每一项即可； （2）利用多项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先进行积的乘方运算，再进行单项式乘以单项式运算，即可求解；掌握单项式乘以单项式运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故选：C． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的运算—分解因式、多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式6-3】（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式混合运算； （1）先进行积的乘方、单项式的乘法，再进行加减运算，即可求解； （2）先利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则去括号，再进行加减运算，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【考点题型七】整式乘法的应用（） 【例7】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）“筑牢民生之基，增强百姓奉福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）： (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)47平方米 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，弄清题意，列出相应的式子是解此题的关键． （1）根据绿化面积矩形面积正方形面积，利用多项式乘以多项式法则，去括号并合并即可得解； （2）将的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米， 答：绿化面积是平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：绿化面积是47平方米． 【变式7-1】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，用A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，拼一个长为、宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（   ） A．12 B．10 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法运图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据拼成长方形的面积得到所需图形的个数即可求解． 【详解】解：拼一个长为、宽为的大长方形， ∴拼成长方形的面积， ∴需要类1个，类12个，类7个， 故选：C ． 【考点题型八】整式除法运算（） 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的除法运算，熟练掌握多项式除以单项式的法则． （1）利用整式除法法则，每一项都除以即可； （2）利用整式除法法则，每一项都除以即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式8-1】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式， 先将两个单项式的系数相除，再将相同字母分别相除可得答案． 【详解】解：原式． 故选：C． 【变式8-2】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的除法，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式8-3】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）一个长方形的面积为，一边长为，则它的另一边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了整式的除法运算的应用．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：一个长方形的面积为，一边长为， 它的另一边长为：． 故选：D． 【变式8-4】（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）所得结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟知多项式除以单项式的计算法则是解题的关键． 直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【考点题型九】平方差及几何意义（） 【例9】（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）求出图、阴影部分面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：图阴影部分面积为，图阴影部分面积为， 则述操作可以得到一个公式：， 故答案为：； （2）解：由（）得： ； （3）解：原式 ． 【变式9-1】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知，则等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平方差公式，求代数式的值，利用可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：6． 【变式9-2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知，，求的值． 【答案】(1)B (2)3 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，运用平方差公式计算,掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）令，，根据（1）中的公式得到，再将，代入计算，即得答案． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ． 故选：B． （2）解：根据（1），令，， 则， 当，时，， ． 【变式9-3】（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 【答案】(1) (2) (3) (4)①3；② 【分析】3本题考查了平法差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于． （2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，得长方形面积为． （3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故． （4）①根据平方差公式，进行计算即可求解． ②连续使用平方差公式，进而即可求解。 【详解】（1） （2）经分析，拼接后的长方形长为、宽为． ∴ （3）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴． （4）①解：①∵，， ∴ ∴， ② 故答案为：①3；②． 【变式9-4】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图中________，图中________； （2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （3）已知，，则的值为：________； 计算； 【拓展】计算 （4）的结果为________． 【答案】（），；（）；（） ； ；（）． 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的应用是解题的关键． （）利用两个面积相等列式即可； （）利用探究中的公式计算即可； （）利用探究中的公式计算即可； 利用探究中的公式计算即可； （）算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】解：（）图中，图中， 故答案为：，； （）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：， 故答案为：； （）由， ∵，， ∴原式， 故答案为：； ； （）解： ． 故答案为：． 【考点题型十】完全平方及几何意义（） 【例10】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 直接应用：（1）若，，直接写出的值为______． 类比应用：（2）①若，则______； ②若a满足，求的值． 知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）15；（2）①13；②8；（3）166 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）根据完全平方公变形求值即可； （2）①将看作一个整体，然后应用完全平方公式进行计算即可； ②令，，则，，根据完全平方公式变形求值即可； （3）设正方形和的边长分别为、，根据题意得出，，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）①∵，， ∴ ； ②令，， 则，， ∴ ， 即； （3）设正方形和的边长分别为、，则，， ∴， ∵长方形的面积为45， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 【变式10-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）【问题情境】在图1中，三种大小不同的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．根据图2中阴影部分面积的关系，直接写出代数式之间的数量关系：___________． （2）【问题应用】已知，求的值． （3）【问题拓展】已知，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）16；（3） 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，整式加减，掌握公式变形是解本题的关键； （1）由等面积法可得公式变形即可解答； （2）由，代入计算即可； （3）设，利用整式加减化简求出，再利用完全平方公式求出，可得答案． 【详解】解：（1）之间的数量关系为． （2）因为， 所以． （3）设， 所以 ． 因为， 所以 ． 即的值是． 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将一张长方形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长宽分别是的小长方形，且． (1)用含、的代数式表示切痕的总长为___________； (2)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求原来大长方形的周长 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了对完全平方公式几何意义的理解，整式的运算等知识点，从整体和部分两方面转化长方形面积是解决此题的关键， （1）根据切痕长列出算式，再根据合并同类项法则整理即可； （2）根据小长方形的面积和正方形的面积列出算式，再利用完全平方公式整理求出的值，然后根据长方形的周长公式整理求解即可． 【详解】（1）解：切痕总长 ， 故答案为：； （2）解：由题意得：，， ， ， ， ， 周长． 【变式10-3】（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】 阅读：若x满足，求的值． 解：设，则．因为，所以． 请仿照上述方法解决下面的问题： 【问题发现】 （1）若x满足，求的值； 【类比探究】 （2）若x满足，求的值； 【拓展延伸】 （3）如下图，正方形的边长为，长方形的面积为200，四边形和四边形都是正方形，是长方形．求四边形的面积． 【答案】（1），（1），（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，对完全平方公式变形求值，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）由题意，得，则，设，则，所以设，则，那么． 【详解】解：（1）设． 因为， 所以原式 ； （2）设， 则． 因为， 所以， 所以， 即； （3）由题意，得， 则． 设， 则． 因为四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形， 所以设， 所以， 所以． 【考点题型十一】整式的混合运算（） 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算和平方差公式，属于基本题型，熟练掌握运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式，先将多项式的每一项分别除以单项式，然后将得到的商相加，同时运用平方差公式计算即可； （2）根据多项式乘多项式的法则及平方差公式，计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式11-1】（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先运用多项式乘多项式，单项式除以单项式进行计算，再合并同类项即可； （2）先运用平方差公式，完全平方公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-2】（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)　； (2)． 【分析】　本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再乘除，合并同类项即可； （2）原式同时计算完全平方公式和多项式除以以单项式法则，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）原式， ． 【变式11-3】（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的乘除．熟练掌握单项式的乘除运算，完全平方公式，平方差公式，是解题的关键． （1）再根据单项式乘除法法则去掉括号，系数同底数幂分别相乘除； （2）根据完全平方公式、平方差公式展开，合并同类项即可解得． ． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【考点题型十二】整式的化简求值（） 【例12】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解决本题的关键是根据乘法公式把各部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． （1）首先根据单项式，多项式的乘法运算法则计算乘法运算，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，得到化简的结果，把的值代入化简后的代数式计算求值即可； （2）首先根据完全平方公式和多项式的乘法计算乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ； 当，时，原式； 【变式12-1】（24-25七年级下·广东河源·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，整式化简求值，先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，得，然后把代入求值，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【变式12-2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键．根据完全平方公式和平方差公式及单项式乘以多项式运算法则先展开合并，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，化简求值，掌握整式的乘法运算法则是解题关键．利用完全平方公式，平方差公式及多项式乘以多项式运算法则计算即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 【变式12-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 3 / 3 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