精品解析：贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市湘才学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

都匀湘才学校2025年春季学期第一次月考 高一数学·试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.试卷用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，.若，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 5. 已知向量，夹角为，且，则（ ） A. B. 10 C. D. 6. 结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（ ） A. B. C. 90m D. 7. 在中，内角所对应的边分别是，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 10. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 若，则外接圆半径为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______． 13. 已知，，则______. 14. 如图所示，两个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，则__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是夹角为的两个单位向量，. （1）求； （2）求证：. 16. 已知. （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 18. 从①，②两个条件中选择一个补充到题目中，完成下列问题：在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，且 ． （1）求的面积； （2）若是线段的中点，求的长． 19. 对任意非零向量，定义 （1）若向量，求的值 （2）若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 都匀湘才学校2025年春季学期第一次月考 高一数学·试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.试卷用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，分别分析每个选项中的向量与的模和方向是否都相同，从而找出与相等的向量. 【详解】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，所以与不相等.   对于选项B，与方向相同，并且由于， 所以.   对于选项C：与方向不同，所以与不相等.   对于选项D：与方向不同，所以与不相等.   与相等的向量为. 故选：B. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的概念可得结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故选：B. 3. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到. 【详解】是边的中点，， ， 是边上靠近点的三等分点,， ， 又，. 故选：C 4. 已知向量，.若，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求出的值，即可求出，再根据求出的坐标，最后再计算其模. 【详解】因为，且， 所以，则， 所以，则. 故选：D 5. 已知向量，夹角为，且，则（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模长公式求出，再根据向量数量积公式计算. 【详解】已知，可得：  已知向量，夹角为，，， 则  则. 故选：C. 6. 结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（ ） A. B. C. 90m D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可. 【详解】如图所示，由题意， 则， 在中，因为， 所以， 在中，， 所以建筑的高度为. 故选：A. 7. 在中，内角所对应的边分别是，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案. 【详解】由余弦定理可知， 即， 整理得，解得或（舍去）. 故选：D. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求的面积即可. 【详解】由题意，则. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D. 【详解】由于， 则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误； 由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确， 故选：ACD. 10. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据即向量、的坐标，求出，验证C选项，解出，再根据向量数量积的运算验证A选项，向量平行的坐标表示验证B选项，利用坐标求模长验证D选项即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以 ， 所以， 因为，所以， 整理得：，解得，故C错误； 所以，，故A正确； 因为，，所以，所以，故B正确； ，故D正确. 故选：ABD 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 若，则外接圆半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，得到，然后利用正、余弦定理和三角恒等变换知识逐项判断即可. 【详解】对A，因为在中， 所以 ，解得， 所以根据正弦定理知，故A正确； 对B，易知角C为最大角，则， ，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 易角A为最小角，则， 所以，即， 又，所以，所以 ，故C正确； 设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量减法的坐标式计算即得. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知，，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的加法法则和模长公式计算即可. 【详解】由题意， 则， 故答案为：5 14. 如图所示，两个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，则__________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算用表示，再进行数量积运算即可. 【详解】依题意， 因为三角形是等边三角形， . 故答案为：12. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是夹角为的两个单位向量，. （1）求； （2）求证：. 【答案】（1） （2） ， . 【解析】 【分析】（1）首先计算出的值，再根据数量积的运算律即可得结果； （2）通过计算即可证得结果. 【小问1详解】 由题意可得， . 【小问2详解】 略 16. 已知. （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，结合，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，可得且， 则. 【小问2详解】 解：由向量，可得， 因为，可得， 即，解得. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得的面积，所以①． 又，且，所以②． 由①②得． 18. 从①，②两个条件中选择一个补充到题目中，完成下列问题：在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，且 ． （1）求的面积； （2）若是线段的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选择①，则得，由余弦定理即可得到，结合条件，，代入三角形面积公式即可求解； 若选择②，由射影定理，又，，结合余弦定理即可得到，代入三角形面积公式即可求解； （2）由中点向量得，，平方化简可得，即可求解. 【小问1详解】 选择①， 因为，即 在中，由余弦定理得：， ，，又，， 故的面积. 选择②， 因为，则射影定理，得， 又，，在中，由余弦定理得：， ，， 故的面积. 【小问2详解】 因为是线段的中点， 所以，即，则 所以，故的长为. 19. 对任意非零向量，定义 （1）若向量，求的值 （2）若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据题目所给定义求出的值； （2）根据所给条件求出的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【小问1详解】 向量， 则； 【小问2详解】 ，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $