江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高三下学期数学周练8

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期高三数学周练8 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数的定义域为集合A．函数的值域为 集合B，若A⊆B，则实数a的取值范围为 （　B　） A．[﹣1，1] B． C．[﹣1，+∞） D． 【详解】要使函数有意义，则，得，∵函数f（x）的定义域为A，∴A≠∅，即a≤x＜3﹣2a，即A＝[a，3﹣2a），∵x∈，∴2x+∈[﹣，]，则g（x）∈[2sin（﹣），2sin]，即g（x）∈[﹣1，2]，即B＝[﹣1，2]，若A⊆B，则，得，得≤a＜1，即实数a的取值范围是[，1），故选：B． 2．若复数z满足，则的最小值为 （ B ） A. B. C. 1 D. 【详解】令，为实数由， 所以， 因此当时，取最小值，故选：B 3．已知 ，则 （ B ） A. 8 B. 10 C. D. 4．已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，则直线的斜率为 　D　 A． B． C． D． 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，，， 则两式相减得，整理得，因为的中点为，则，所以，即直线的斜率为．故选：． 5．设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为 （ C ） A. 2 B. C. D. 4 【详解】∵PA，PB，PC两两垂直，所以可以把三棱锥补成一个长方体，如图，是该长方体同一顶点处的三条棱，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，由得，所以，作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，同理，又，平面，所以平面，而平面，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 由得，而，又， 所以，所以， ， 故选：C． 6．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增．设a＝f()，b＝f()，c＝f(－13)，则 （ D ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 7．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 （ D ） A. B. C. D. 【详解】由函数，可得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以至多一个零点，不符合题意，当时，，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 又函数有两个零点，所以，即，解得， 当时，，当时，， 当时，， 设，则， 所以单调递增，则， 所以，所以在上有且只有一个零点， 在上有且只有一个零点， 所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是.故选：D. 8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ A ） A. B. C. D. 【详解】由题意知，故， 则， 故，即又，则，由于，故，即∴，故选：A． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ACD ）（若，） A. B. C. D. 取得最大值时，的估计值为53 【详解】对于A，由题意，故A正确；对于B，由，则，又， 于是，即， 因此，即，则，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，设， ， 解得，， 由，解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，故D正确.故选：ACD. 10．若非零函数对任意的实数则 （ABD ） A． B．对任意实数，都有 C．上是增函数 D．当 11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有 （BCD ） A. B. C. D. 【详解】对A：由是重心可得， 所以，故A项错误；对B：过的外心分别作，的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确； 对C：因为是的重心，所以有， 故， 由欧拉线定理可得，故C项正确： 对D：如图(2)，由于，可得， 所以，故D正确． 故选:BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．在数列中，，且，则____1176______. 【详解】因为，所以，所以，又， 所以是常数列.所以，所以，所以故答案为：1176 13．已知函数，如果对任意的，都有成立，则实数的取值范围是__________. 【详解】由.可得，因为，所以，所以在单调递减，所以，，所以在上单调递增，，对任意的，都有成立，所以，所以，故答案为：. 14．已知P是圆上的动点，，点是圆 上的两个动点，点 满足：,，则的最小值为 . 【详解】由题知，圆的半径，，圆的半径， 设的中点为，连接，所以， 因为，， 所以四边形为矩形，则为的中点，且， 设，则，所以， 因为，所以，所以，即，整理得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上.因为，所以， 设与圆交于点，取的中点，连接，则，， 在和中，且， 所以与相似，所以，即，所以，当且仅当三点共线且垂直于轴时取等号，所以的最小值为.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据已知条件得到点的轨迹为圆，其次在于构造三角形相似，从而得到. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，与存在对顶角，，，且． （1）证明：为中点； （2）若，求的长． 15．解：（1）设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：. 故为中点. （2）如图： 过点做，交与. 则. 由（）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以. 又，所以，所以. 所以. 即. 在中，根据正弦定理，可得：. 16．已知数列和满足.记数列和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求. 16．解：（1）①由题可得①，②. 由①+②得：，即， 于是数列为等比数列，首项，公比为，于是， 由①-②得：，即， 于是数列为等差数列，首项，公差为2，于是. （2）求和看通项：， 奇数项和； 偶数项和： ， ， 所以. 17．已知函数. （1）讨论单调性； （2）证明：当时，. 17．解：（1） 当时，，在上单调递增； 当，令 且当时，，单调增； 当时，，单调递减 综上：当时，在上单调递增； 当时，在递增，在递减. （2），由（1）知 下证：，即证：，令， 即证：. 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； ∴，证毕! 18．如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面； （2）若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 18．解：（1）在四棱锥中，， 而平面平面， 所以平面 （2）由，，得，折叠后，在四棱锥中，， 由二面角是直二面角，即平面平面， 平面平面，平面，平面， ∵平面，∴ 以分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 设平面法向量为，则， 令，得， 所求点面距为. （3）以直线和分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 设，显然， ， ，得出，则， 则， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，且且，即， 平面的法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 19．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线、的斜率分别为、，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为、，求的最大值． 19．解：（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. （2）①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得，，则， 所以， ，解得， 即直线的方程为，故直线过定点. ②由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期高三数学周练8 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数的定义域为集合A．函数的值域为 集合B，若A⊆B，则实数a的取值范围为 （　 　） A．[﹣1，1] B． C．[﹣1，+∞） D． 2．若复数z满足，则的最小值为 （ ） A. B. C. 1 D. 3．已知 ，则 （ ） A. 8 B. 10 C. D. 4．已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，则直线的斜率为 　 　 A． B． C． D． 5．设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为 （ ） A. 2 B. C. D. 4 6．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增．设a＝f()，b＝f()，c＝f(－13)，则 （ ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 7．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，） A. B. C. D. 取得最大值时，的估计值为53 10．若非零函数对任意的实数则 （ ） A． B．对任意实数，都有 C．上是增函数 D．当 11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有 （ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．在数列中，，且，则__________. 13．已知函数，如果对任意的，都有成立，则实数的取值范围是__________. 14．已知P是圆上的动点，，点是圆 上的两个动点，点 满足：,，则的最小值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，与存在对顶角，，，且． （1）证明：为中点； （2）若，求的长． 16．已知数列和满足.记数列和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求. 17．已知函数. （1）讨论单调性； （2）证明：当时，. 18．如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面； （2）若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线、的斜率分别为、，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为、，求的最大值． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$