第4章 因式分解（导图+知识梳理+易错点拨+6大考点讲练+优选压轴题专练 共33题）-2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】

2024-2025学年浙教版版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第4章 因式分解 （知识梳理+易错点拨+6个重难点考点讲练+压轴题专练 共33题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：因式分解的基本概念 2 知识点梳理02：因式分解的基本方法 2 知识点梳理03：因式分解的步骤与注意事项 3 知识点梳理04：典型例题解析 3 知识点梳理05：综合应用 3 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：混淆因式分解与整式乘法 4 易错知识点02：提公因式法的常见错误 4 易错知识点03：公式法的典型错误 4 易错知识点04：分组分解法的易错点 4 重点难点 考点讲练 5 考点讲练01:因式分解的意义 5 考点讲练02:公因式 5 考点讲练03:因式分解—提公因式法 6 考点讲练04:完全平方式 6 考点讲练05:因式分解—运用公式法 7 考点讲练06:因式分解及其应用 8 压轴专练 拔尖冲刺 9 知识点梳理01：因式分解的基本概念 1. 定义：将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，称为因式分解（分解因式）。 关键要求：结果必须是乘积形式，且每个因式均为整式（不可再分解）[1][2]。 与整式乘法的关系：互为逆运算。例如，(x+2)(x−1)=x²+x−2是整式乘法，而x²+x−2=(x+2)(x−1) 是因式分解。 2. 学习意义 简化复杂计算（如代数式求值、分式运算）； 为后续解一元二次方程、函数分析等奠定基础。 知识点梳理02：因式分解的基本方法 1.提公因式法 公因式的定义：多项式各项共有的因式（系数取最大公约数，字母取最低次幂）。 示例：6a²b+9ab²=3ab(2a+3b) 步骤： ① 确定公因式； ② 提取公因式，剩余部分作为另一个因式。 易错点： 漏提系数或字母（如4x²+8x=4x(x+2)，而非2x(2x+4)； 未处理负号（如−x²+xy=−x(x−y) 2.公式法 利用乘法公式的逆运算分解： 平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b) 示例：9x²−16=(3x+4)(3x−4) 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)2 示例：x²+6x+9=(x+3)²（需验证中间项是否为两倍首尾乘积）[1][3][5]。 易错点： 误用公式（如将x²+4分解为(x+2)² 忽略系数（如4x²−9=(2x+3)(2x−3) 知识点梳理03：因式分解的步骤与注意事项 1. 分解步骤： ①先提公因式：无论是否明显，优先提取所有公因式； ②观察剩余项：若为两项用平方差，若为三项用完全平方公式； ③检查彻底性：确保每个因式不可再分解。 知识点梳理04：典型例题解析 1. 提公因式法： 12xy²−8x²y=4xy(3y−2x) 关键：公因式为4xy ，剩余因式通过原式除以公因式得到。 2. 平方差公式： 25m²−n²=(5m+n)(5m−n) 关键：将25m²和n²分别看作(5m)²和n² 3. 完全平方公式： x²−4x+4=(x−2)² 验证：中间项-4x是2×x×(−2) ，符合公式结构。 知识点梳理05：综合应用 1. 简化计算： 示例：计算101²−99² ，用平方差公式分解为(101+99)(101−99)=200×2=400 2. 解方程： 示例：解方程x²+5x=0 ，因式分解为x(x+5)=0，解得 x = 0 或 x = -5 [4]。 易错知识点01：混淆因式分解与整式乘法 1. 错误表现： 将因式分解结果重新展开成多项式，误认为是分解过程 示例：将(x+2)(x−3)写成x²−x−6，误以为是因式分解，实则为整式乘法 2. 纠正方法： 明确因式分解是“和→积”的变形，整式乘法是“积→和”的变形，两者互为逆运算。 易错知识点02：提公因式法的常见错误 1. 漏提公因式： 错误：6x²y+9xy²=3x(2xy+3y²)（漏提字母y和系数 3） 正确：6x²y+9xy²=3xy(2x+3y) （系数取最大公约数，字母取最低次幂）36。 2. 符号处理错误： 错误：分解−a²+ab 时写成a(−a+b) 正确：提取负号并调整符号，−a²+ab=−a(a−b) 易错知识点03：公式法的典型错误 1. 误用平方差公式： 错误：将x²+4x²+4分解为(x+2)²（需两项符号相反）。 正确：x²+4 x²+ 4无法在实数范围内分解，若为x²−4，则分解为(x+2)(x−2)。 2. 完全平方公式条件不符： 错误：分解x²+4x+9为(x+3)²（中间项应为6x）。 正确：若为x²+6x+9，则分解为(x+3)² 易错知识点04：分组分解法的易错点 1. 分组不合理： 错误：分解 ax + ay + bx + by 时分成(ax+ay)+(bx+by)，但未提取公因式后继续分解。 正确：分组后提取局部公因式，a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)。 2. 分解不彻底： 错误：分解x4−1为(x²+1)(x²−1)后停止。 正确：需二次分解为(x²+1)(x+1)(x−1) 考点讲练01:因式分解的意义 【例题精讲】（2024春•银川期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【训练1】（2024春•桂林期中）下列多项式不能进行因式分解的是（　　） A．a2+4a B．a2+9 C．a2﹣2a+1 D．a2﹣1 【训练2】（2023春•绍兴期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2+x+2＝x（x+1）+2 B．3xy2＝3x•y2 C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 考点讲练02:公因式 【例题精讲】（2024春•桂林期中）多项式2x2y+6xy2的公因式是（　　） A．xy B．x2+y2 C．2x2y2 D．2xy 【训练1】（2023春•永兴县期中）因式分解：3m（a﹣b）﹣9n（a﹣b）的公因式是 　 ． 【训练2】（2022春•汉寿县期中）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3﹣10xy3，C＝（x+1）（x﹣5）+9，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 考点讲练03:因式分解—提公因式法 【例题精讲】（2016春•广陵区校级期中）若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为　 ． 【训练1】（2024春•新邵县期中）阅读下列解题的过程． 分解因式：x4+64 解：x4+64＝x4+16x2+64﹣16x2 ＝（x2+8）2﹣16x2 ＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x） 请按照上述解题思路完成下列因式分解： （1）a4+4； （2）x4﹣43x2y2+81y4． 【训练2】（2024春•北湖区校级期中）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　） A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1） 考点讲练04:完全平方式 【例题精讲】（2024春•新田县期中）若36x2+axy+y2是一个完全平方式，则a的值为（　　） A．6 B．12 C．±6 D．±12 【训练1】（2024春•杭州期中）如果x2﹣2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为（　　） A．6 B．±6 C．±3 D．3 【训练2】（2024春•莲池区期中）龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到李白带你云游长安、大熊猫花花上春晚教学八段锦…AR与AI的技术融合让人耳目一新．淇淇同学深受智能技术触动，发明了一个智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加4后输出． （1）第一次淇淇输入为n+2，则关联盒输出为 　 　 ；若关联盒第二次输出为n+8，则淇淇输入的是 　 　 （n＞0）； （2）在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作S1，把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作S2． ①请用含n的代数式分别表示S1＝ ，S2＝　 　 （结果化成多项式的形式）； ②淇淇发现S1﹣an+13是一个完全平方式，求出a的值． 考点讲练05:因式分解—运用公式法 【例题精讲】（2024春•永寿县期中）【观察】（2+3）2﹣22＝（2+3+2）（2+3﹣2）＝7×3，（4+3）2﹣42＝（4+3+4）（4+3﹣4）＝11×3，（6+3）2﹣62＝（6+3+6）（6+3﹣6）＝15×3，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 【训练1】（2024春•怀宁县期中）把下列各式分解因式． （1）9x2﹣y2+2y﹣1； （2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9． 【训练2】（2023春•吴兴区校级期中）有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②无论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解成两个一次因式积的形式； ③若（t﹣3）3﹣2t＝1，则t可以取的值有3个； ④关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练06:因式分解及其应用 【例题精讲】（2024春•怀远县期中）下列从左到右是因式分解且正确的是（　　） A．x2﹣9＝（x﹣3）2 B．（x+3）2＝x2+6x+9 C．xy﹣2y＝y（x﹣2） D．x2﹣9﹣6x＝（x+3）（x﹣3）﹣6x 【训练1】（2024秋•北京期中）利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27； （2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3； （3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6． 【训练2】（2024春•江阴市期中）已知a、b、c是三角形的三边长，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值 　　 0（填“大于”或“等于”或“小于”）． 1．（2024春•浦江县校级期中）代数式4x2+3mx+9能写成一个整式的完全平方的形式，则m＝（　　） A．12 B．±12 C．4 D．±4 2．（2024春•惠山区校级期中）下列各式从左到右的变形过程是因式分解的是（　　） A．a3+a+1＝a（a2+1）+1 B．x2+2x+1＝（x+1）2 C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．30a4b6＝5a3b•6ab5 3．（2024春•镇海区校级期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．ax+bx+c＝x（a+b）+c B．2x（x﹣3y）＝2x2﹣6xy C．25a4b3＝（5a2b）•（5a2b2） D．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y） 4．（2023春•郫都区校级期中）如图，由4张长为a、宽为b的长方形卡片（左图）拼成边长为a+b的大正方形（右图），通过计算大正方形的面积，可以直接验证的公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 5．（2024春•天宁区校级期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是x2+■xy+9y2，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则■处所对应的数是 　 　 （写出所有可能的值）． 6．（2024春•灵武市校级期中）x2+mx+4是关于x的完全平方式，则m＝　 　 ． 7．（2020春•武侯区校级期中）若多项式x2+x+k是关于x的完全平方式，则k＝　　 ． 8．（2024春•牡丹区期中）我们学过的乘法公式可以借助于图形来帮助解释、理解、记忆． （1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式； （2）请用两种不同的方法探究代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab的数量关系． 方法一：代数方法． 方法二：拼图的方法．（用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个正方形，画出你拼摆过程中能说明这几个式子数量关系的草图．） （3）利用（2）中结论，当a+b＝5，ab＝﹣6时，求（a﹣b）2的值． 9．（2024春•深圳期中）（阅读材料）我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形．并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （理解应用） （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式． （拓展升华） （2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值； ②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝﹣2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值． 10．（2024春•高新区校级期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊙（c，d）＝ad﹣bc．例如：（1，2）⊙（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2． 根据上述规定解决下列问题： （1）计算（3，﹣5）⊙（4，﹣2）； （2）若（2x，2x2+1）⊙（﹣1，x+k）是一个完全平方式，求常数k的值； （3）若2a+b＝8，（a+b，ab）⊙（﹣4a，b）＝40，求ab的值． 11．（2022春•诸暨市期中）先阅读材料，再回答问题： 分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1 解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2 再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4 （2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由． 12．（2023春•龙岗区校级期中）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题： （1）计算：＝　　 ； （2）代数式为完全平方式，则k＝　±3　 ； （3）解方程：＝6x2+7． 13．（2021春•柯桥区期中）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请问： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　　 A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　 ．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　 4　 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 14．（2022秋•永春县期中）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数； 因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x﹣2是x2﹣x﹣2的因式． ②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式 ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n） ∵当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0 ∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0 ∴1﹣a﹣2＝0 ∴a＝﹣1 （1）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝　　 ． （2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求的值． 15．（2024秋•江安县期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第4章 因式分解 （知识梳理+易错点拨+6个重难点考点讲练+压轴题专练 共33题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：因式分解的基本概念 2 知识点梳理02：因式分解的基本方法 2 知识点梳理03：因式分解的步骤与注意事项 3 知识点梳理04：典型例题解析 3 知识点梳理05：综合应用 3 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：混淆因式分解与整式乘法 4 易错知识点02：提公因式法的常见错误 4 易错知识点03：公式法的典型错误 4 易错知识点04：分组分解法的易错点 4 重点难点 考点讲练 5 考点讲练01:因式分解的意义 5 考点讲练02:公因式 6 考点讲练03:因式分解—提公因式法 7 考点讲练04:完全平方式 8 考点讲练05:因式分解—运用公式法 10 考点讲练06:因式分解及其应用 12 压轴专练 拔尖冲刺 13 知识点梳理01：因式分解的基本概念 1. 定义：将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，称为因式分解（分解因式）。 关键要求：结果必须是乘积形式，且每个因式均为整式（不可再分解）[1][2]。 与整式乘法的关系：互为逆运算。例如，(x+2)(x−1)=x²+x−2是整式乘法，而x²+x−2=(x+2)(x−1) 是因式分解。 2. 学习意义 简化复杂计算（如代数式求值、分式运算）； 为后续解一元二次方程、函数分析等奠定基础。 知识点梳理02：因式分解的基本方法 1.提公因式法 公因式的定义：多项式各项共有的因式（系数取最大公约数，字母取最低次幂）。 示例：6a²b+9ab²=3ab(2a+3b) 步骤： ① 确定公因式； ② 提取公因式，剩余部分作为另一个因式。 易错点： 漏提系数或字母（如4x²+8x=4x(x+2)，而非2x(2x+4)； 未处理负号（如−x²+xy=−x(x−y) 2.公式法 利用乘法公式的逆运算分解： 平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b) 示例：9x²−16=(3x+4)(3x−4) 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)2 示例：x²+6x+9=(x+3)²（需验证中间项是否为两倍首尾乘积）[1][3][5]。 易错点： 误用公式（如将x²+4分解为(x+2)² 忽略系数（如4x²−9=(2x+3)(2x−3) 知识点梳理03：因式分解的步骤与注意事项 1. 分解步骤： ①先提公因式：无论是否明显，优先提取所有公因式； ②观察剩余项：若为两项用平方差，若为三项用完全平方公式； ③检查彻底性：确保每个因式不可再分解。 知识点梳理04：典型例题解析 1. 提公因式法： 12xy²−8x²y=4xy(3y−2x) 关键：公因式为4xy ，剩余因式通过原式除以公因式得到。 2. 平方差公式： 25m²−n²=(5m+n)(5m−n) 关键：将25m²和n²分别看作(5m)²和n² 3. 完全平方公式： x²−4x+4=(x−2)² 验证：中间项-4x是2×x×(−2) ，符合公式结构。 知识点梳理05：综合应用 1. 简化计算： 示例：计算101²−99² ，用平方差公式分解为(101+99)(101−99)=200×2=400 2. 解方程： 示例：解方程x²+5x=0 ，因式分解为x(x+5)=0，解得 x = 0 或 x = -5 [4]。 易错知识点01：混淆因式分解与整式乘法 1. 错误表现： 将因式分解结果重新展开成多项式，误认为是分解过程 示例：将(x+2)(x−3)写成x²−x−6，误以为是因式分解，实则为整式乘法 2. 纠正方法： 明确因式分解是“和→积”的变形，整式乘法是“积→和”的变形，两者互为逆运算。 易错知识点02：提公因式法的常见错误 1. 漏提公因式： 错误：6x²y+9xy²=3x(2xy+3y²)（漏提字母y和系数 3） 正确：6x²y+9xy²=3xy(2x+3y) （系数取最大公约数，字母取最低次幂）36。 2. 符号处理错误： 错误：分解−a²+ab 时写成a(−a+b) 正确：提取负号并调整符号，−a²+ab=−a(a−b) 易错知识点03：公式法的典型错误 1. 误用平方差公式： 错误：将x²+4x²+4分解为(x+2)²（需两项符号相反）。 正确：x²+4 x²+ 4无法在实数范围内分解，若为x²−4，则分解为(x+2)(x−2)。 2. 完全平方公式条件不符： 错误：分解x²+4x+9为(x+3)²（中间项应为6x）。 正确：若为x²+6x+9，则分解为(x+3)² 易错知识点04：分组分解法的易错点 1. 分组不合理： 错误：分解 ax + ay + bx + by 时分成(ax+ay)+(bx+by)，但未提取公因式后继续分解。 正确：分组后提取局部公因式，a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)。 2. 分解不彻底： 错误：分解x4−1为(x²+1)(x²−1)后停止。 正确：需二次分解为(x²+1)(x+1)(x−1) 考点讲练01:因式分解的意义 【例题精讲】（2024春•银川期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【思路点拨】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式． 【规范解答】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． 【考点评析】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键． 【训练1】（2024春•桂林期中）下列多项式不能进行因式分解的是（　　） A．a2+4a B．a2+9 C．a2﹣2a+1 D．a2﹣1 【思路点拨】根据因式分解的方法，注意判断，即可解答． 【规范解答】解：A、利用提公因式法，可得a2+4a＝a（a+4），故A不符合题意； B、a2+9无法因式分解，故B符合题意； C、利用完全平方公式，可得a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故C不符合题意； D、利用平方差公式，可得a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），故D不符合题意， 故选：B． 【考点评析】本题考查了因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解题的关键． 【训练2】（2023春•绍兴期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2+x+2＝x（x+1）+2 B．3xy2＝3x•y2 C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 【思路点拨】根据因式分解的定义逐一判断即可：把一个多项式化为几个整式乘积的形式叫做因式分解． 【规范解答】解：A、右边不是积的形式，不是因式分解，不合题意； B、3xy2不是多项式，不是因式分解，不合题意； C、是因式分解，符合题意； D、是多项式的乘法，不是因式分解，不合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了因式分解的概念，熟练掌握因式分解就是把一个多项式写成几个整式的积的形式是解题的关键． 考点讲练02:公因式 【例题精讲】（2024春•桂林期中）多项式2x2y+6xy2的公因式是（　　） A．xy B．x2+y2 C．2x2y2 D．2xy 【思路点拨】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【规范解答】解：该多项式的公因式为：2xy， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键． 【训练1】（2023春•永兴县期中）因式分解：3m（a﹣b）﹣9n（a﹣b）的公因式是 　3（a﹣b）　 ． 【思路点拨】根据多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式即可判断． 【规范解答】解：∵多项式3m（a﹣b）﹣9n（a﹣b）中各项都含有的因式为3（a﹣b）， ∴3m（a﹣b）﹣9n（a﹣b）的公因式是3（a﹣b）． 故答案为：3（a﹣b）． 【考点评析】本题考查公因式的定义．掌握多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式是解题关键． 【训练2】（2022春•汉寿县期中）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3﹣10xy3，C＝（x+1）（x﹣5）+9，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【思路点拨】先将各式因式分解后再判断有没有公因式． 【规范解答】解：多项式A、B、C有公因式． A＝3x2﹣12＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）， B＝5x2y3﹣10xy3＝5xy3（x﹣2）， C＝（x+1）（x﹣5）+9＝x2﹣4x﹣5+9＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2． 因此多项式A、B、C的公因式是：x﹣2． 【考点评析】本题考查多项式的公因式，将各多项式因式分解是求解本题的关键． 考点讲练03:因式分解—提公因式法 【例题精讲】（2016春•广陵区校级期中）若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为　120　 ． 【思路点拨】根据长方形的周长与面积公式求出a+b与ab的值，原式提取公因式后代入计算即可求出值． 【规范解答】解：由题意得：a+b＝8，ab＝15， 则原式＝ab（a+b）＝120， 故答案为：120 【考点评析】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 【训练1】（2024春•新邵县期中）阅读下列解题的过程． 分解因式：x4+64 解：x4+64＝x4+16x2+64﹣16x2 ＝（x2+8）2﹣16x2 ＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x） 请按照上述解题思路完成下列因式分解： （1）a4+4； （2）x4﹣43x2y2+81y4． 【思路点拨】（1）直接利用例题进行补项，进而分解因式得出答案． （2）将﹣43x2y2分解成﹣18x2y2和﹣25x2y2，利用完全平方和平方差公式分解即可． 【规范解答】解：（1）（1）a4+4 ＝a4+4a2+4﹣4a2 ＝（a2+2）2﹣4a2 ＝（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）； （2）x4﹣43x2y2+81y4 ＝x4﹣18x2y2+81y4﹣25x2y2 ＝（x2﹣9y2）2﹣25x2y2 ＝（x2﹣9y2+5xy）（x2﹣9y2﹣5xy） 【考点评析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确补项是解题关键． 【训练2】（2024春•北湖区校级期中）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　） A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1） 【思路点拨】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可． 【规范解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3）， ＝b（x﹣3）（b+1）． 故选：B． 【考点评析】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1． 考点讲练04:完全平方式 【例题精讲】（2024春•新田县期中）若36x2+axy+y2是一个完全平方式，则a的值为（　　） A．6 B．12 C．±6 D．±12 【思路点拨】根据完全平方式的结构特征即可求解． 【规范解答】解：∵（6x±y）2＝36x2±2×6x•y+y2＝36x2±12xy+y2且36x2+axy+y2是一个完全平方式， ∴±12xy＝axy，即a＝±12， 故选：D． 【考点评析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键． 【训练1】（2024春•杭州期中）如果x2﹣2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为（　　） A．6 B．±6 C．±3 D．3 【思路点拨】完全平方式a2±2ab+b2的特点是首平方，尾平方，首尾数积的两倍在中央，这里首末两项是x和3的平方，那么中间项为加上或减去x和3的乘积的2倍． 【规范解答】解：∵x2﹣2mx+9＝x2﹣2mx+32是关于x的完全平方式， ∴﹣2mx＝±2⋅x⋅3， ∴m＝±3， 故选：C． 【考点评析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型． 【训练2】（2024春•莲池区期中）龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到李白带你云游长安、大熊猫花花上春晚教学八段锦…AR与AI的技术融合让人耳目一新．淇淇同学深受智能技术触动，发明了一个智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加4后输出． （1）第一次淇淇输入为n+2，则关联盒输出为 　n+6　 ；若关联盒第二次输出为n+8，则淇淇输入的是 　n+4　 （n＞0）； （2）在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作S1，把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作S2． ①请用含n的代数式分别表示S1＝　n2+8n+12　 ，S2＝　n2+12n+32　 （结果化成多项式的形式）； ②淇淇发现S1﹣an+13是一个完全平方式，求出a的值． 【思路点拨】（1）根据题意利用整式计算即可； （2）①根据题意分别表示出S1和S2代数式再化简即可；②利用完全平方公式定义即可． 【规范解答】解：（1）由题意得： 第一次淇淇输入为n+2，则关联盒输出为：n+2+4＝n+6， 关联盒第二次输出为n+8，则淇淇输入的是：n+8﹣4＝n+4， 故答案为：n+6，n+4； （2）依题意∵把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作S1，把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作S2． ∴①， ∴， 故答案为：n2+8n+12，n2+12n+32； ②∵S1﹣an+13是一个完全平方式， 则， ∴8﹣a＝±（2×5）＝±10， 则8﹣a＝﹣10，解得a＝18， 则8﹣a＝10，解得a＝﹣2， ∴a＝18或a＝﹣2． 【考点评析】本题考查整式计算，多项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握完全平方公式是关键． 考点讲练05:因式分解—运用公式法 【例题精讲】（2024春•永寿县期中）【观察】（2+3）2﹣22＝（2+3+2）（2+3﹣2）＝7×3，（4+3）2﹣42＝（4+3+4）（4+3﹣4）＝11×3，（6+3）2﹣62＝（6+3+6）（6+3﹣6）＝15×3，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 【思路点拨】（1）根据题意，列式计算即可； （2）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可； （3）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可． 【规范解答】解：（1）132﹣102＝（13+10）（13﹣10）＝69． 69÷3＝23， 所以能被3整除． （2）（2n+3）2﹣（2n）2＝（2n+3+2n）（2n+3﹣2n）＝3（4n+3）， 所以能被3整除； （3）设这个数为n，比n大9的数为n+9． （n+9）2﹣n2＝（n+9+n）（n+9﹣n）＝9（2n+9），所以能被9整除． 【考点评析】本题考查因式分解的应用，掌握平方差公式法进行因式分解是解题的关键． 【训练1】（2024春•怀宁县期中）把下列各式分解因式． （1）9x2﹣y2+2y﹣1； （2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9． 【思路点拨】（1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【规范解答】解：（1）9x2﹣y2+2y﹣1 ＝9x2﹣（y2﹣2y+1） ＝（3x）2﹣（y﹣1）2 ＝（3x+y﹣1）（3x﹣y+1）； （2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9 ＝（x2+2﹣3）2 ＝（x2﹣1）2 ＝（x+1）2（x﹣1）2． 【考点评析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【训练2】（2023春•吴兴区校级期中）有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②无论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解成两个一次因式积的形式； ③若（t﹣3）3﹣2t＝1，则t可以取的值有3个； ④关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】利用平行公理对①判断，利用平方差公式的特点对②分析，③通过0指数、底数为1，底数为﹣1对代数式进行分类讨论得结果，④抓住a取每一个值方程的解都相同，求出x、y的值． 【规范解答】解：①点不能在直线上，应该是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不正确； ②当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确； ③当t＝4、时，（t﹣3）3﹣2t＝1，故本选项不正确； ④新方程为（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5， ∵a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解， ∴当a＝1时，y＝﹣1， 当a＝﹣2时，x＝3 所以公共解是 综上正确的说法是1个． 故选：A． 【考点评析】本题考查了有理数的乘方、零指数幂的意义、二元一次方程的解、平行公理等知识点．解决本题④的关键是理解a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，记住平行公理，知道幂为1的几种情况． 考点讲练06:因式分解及其应用 【例题精讲】（2024春•怀远县期中）下列从左到右是因式分解且正确的是（　　） A．x2﹣9＝（x﹣3）2 B．（x+3）2＝x2+6x+9 C．xy﹣2y＝y（x﹣2） D．x2﹣9﹣6x＝（x+3）（x﹣3）﹣6x 【思路点拨】根据因式分解的定义以及因式分解的方法进行判断即可． 【规范解答】解：A中x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）≠（x﹣3）2，错误，故不符合要求； B中（x+3）2＝x2+6x+9，不是因式分解，错误，故不符合要求； C中xy﹣2y＝y（x﹣2），正确，故符合要求 D中x2﹣9﹣6x＝（x+3）（x﹣3）﹣6x，不是因式分解，错误，故不符合要求； 故选：C． 【考点评析】本题考查了因式分解的意义，公式法、提公因式法进行因式分解．熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【训练1】（2024秋•北京期中）利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27； （2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3； （3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6． 【思路点拨】（1）（2）（3）仿照题例，找到满足条件的a、b、c、d，分解即可． 【规范解答】解：（1）x2+6x﹣27 ＝（x+9）（x﹣3）； （2）6x2﹣7x﹣3 ＝（3x+1）（2x﹣3）； （3）20（x+y）2+7（x+y）﹣6 ＝[4（x+y）+3][5（x+y）﹣2] ＝（4x+4y+3）（5x+5y﹣2）． 【考点评析】本题考查了整式的因式分解，看懂题例掌握“十字相乘法”是解决本题的关键． 【训练2】（2024春•江阴市期中）已知a、b、c是三角形的三边长，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值 　小于　 0（填“大于”或“等于”或“小于”）． 【思路点拨】根据题意可得（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），根据三角形三边关系定理可得a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，因此（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＜0，即（a﹣b）2﹣c2＜0． 【规范解答】解：（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）， ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＜0， ∴（a﹣b）2﹣c2＜0， 故答案为：小于． 【考点评析】本题考查的是因式分解的应用和三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法和三角形三边关系定理是解题的关键． 1．（2024春•浦江县校级期中）代数式4x2+3mx+9能写成一个整式的完全平方的形式，则m＝（　　） A．12 B．±12 C．4 D．±4 【思路点拨】由两个完全平方式a2±2ab+b2的特点可得答案． 【规范解答】解：∵代数式4x2+3mx+9能写成一个整式的完全平方的形式， ∴4x2+3mx+9＝4x2±12x+9， ∴3m＝±12， ∴m＝±4， 故选：D． 【考点评析】本题考查的完全平方式的含义，熟记两个完全平方式a2±2ab+b2的特点是解本题的关键． 2．（2024春•惠山区校级期中）下列各式从左到右的变形过程是因式分解的是（　　） A．a3+a+1＝a（a2+1）+1 B．x2+2x+1＝（x+1）2 C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．30a4b6＝5a3b•6ab5 【思路点拨】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案． 【规范解答】解：A、a3+a+1＝a（a2+1）+1不是因式分解，故A不符合题意； B、x2+2x+1＝（x+1）2是因式分解，故B符合题意； C、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式的乘法，不是因式分解，故C不符合题意； D、30a4b6＝5a3b•6ab5，不是因式分解，故D不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查了因式分解的概念，解题的关键是掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式积． 3．（2024春•镇海区校级期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．ax+bx+c＝x（a+b）+c B．2x（x﹣3y）＝2x2﹣6xy C．25a4b3＝（5a2b）•（5a2b2） D．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y） 【思路点拨】根据因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个因式的积的形式叫做因式分解，即可一一判定． 【规范解答】解：A．ax+bx+c＝x（a+b）+c，不是因式分解，故该选项不符合题意； B．2x（x﹣3y）＝2x2﹣6xy，不是因式分解，故该选项不符合题意； C．25a4b3＝（5a2b）•（5a2b2），不是因式分解，故该选项不符合题意； D．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了因式分解的判定，熟练掌握和运用因式分解的定义是解决本题的关键． 4．（2023春•郫都区校级期中）如图，由4张长为a、宽为b的长方形卡片（左图）拼成边长为a+b的大正方形（右图），通过计算大正方形的面积，可以直接验证的公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【思路点拨】结合图形和正方形面积公式求解即可． 【规范解答】解：观察右图，可知拼成的正方形边长为a+b，由正方形面积公式（面积＝边长的平方）可知，该正方形面积为（a+b）2， 此时，我们可以利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积的方法，得出中间小正方形的面积为（a+b）2﹣4ab，中间小正方形的边长为（a﹣b），从而中间小正方形的面积（a﹣b）2， 所以可以得到（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． 故选：B． 【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握乘法公式是关键． 5．（2024春•天宁区校级期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是x2+■xy+9y2，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则■处所对应的数是 　6或﹣6　 （写出所有可能的值）． 【思路点拨】根据完全平方公式即可得出答案． 【规范解答】解：∵（x±3y）2＝x2±6xy+9y2， ∴■＝±6， ∴■处所对应的数是6或﹣6， 故答案为：6或﹣6． 【考点评析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 6．（2024春•灵武市校级期中）x2+mx+4是关于x的完全平方式，则m＝　±4　 ． 【思路点拨】完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．据此解答即可． 【规范解答】解：∵x2+mx+4是关于x的完全平方式， ∴m＝±2×2＝±4， 故答案为：±4． 【考点评析】本题考查了对完全平方公式的应用，能根据题意得出m＝±2×2是解此题的关键． 7．（2020春•武侯区校级期中）若多项式x2+x+k是关于x的完全平方式，则k＝　　 ． 【思路点拨】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是，平方即可． 【规范解答】解：∵x＝2x ∴k＝（）2． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 8．（2024春•牡丹区期中）我们学过的乘法公式可以借助于图形来帮助解释、理解、记忆． （1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式； （2）请用两种不同的方法探究代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab的数量关系． 方法一：代数方法． 方法二：拼图的方法．（用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个正方形，画出你拼摆过程中能说明这几个式子数量关系的草图．） （3）利用（2）中结论，当a+b＝5，ab＝﹣6时，求（a﹣b）2的值． 【思路点拨】（1）根据矩形的面积公式求解； （2）根据完全平方公式求解； （3）根据完全平方公式想变式求解． 【规范解答】解：（1）图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2， 图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 图3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 方法一：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝4ab； 方法二： （3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25+24＝49． 【考点评析】本题考查了完全平方公式，掌握公式的变形是解题的关键． 9．（2024春•深圳期中）（阅读材料）我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形．并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （理解应用） （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式． （拓展升华） （2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值； ②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝﹣2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值． 【思路点拨】（1）图中阴影部分面积＝大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积又＝两个正方形的面积的和，即可得到等式； （2）①根据（1）中的公式，将a2+b2＝10，a+b＝6代入即可； ②根据（1）中的公式，将（2021﹣c）（c﹣2019）＝﹣2020，且（2021﹣c）+（c﹣2019）＝2代入即可． 【规范解答】解：（1）图2中阴影部分的面积＝（x+y）2﹣2xy， 图2中阴影部分的面积＝x2+y2， ∴（x+y）2﹣2xy＝x2+y2． （2）①当a2+b2＝10，a+b＝6时，代入（1）中的等式， 得36﹣2ab＝10， 解得ab＝13． ②∵（2021﹣c）（c﹣2019）＝﹣2020，且（2021﹣c）+（c﹣2019）＝2， 根据（1）中的等式， 得4﹣2×（﹣2020）＝（2021﹣c）2+（c﹣2019）2， ∴（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝4044． 【考点评析】本题考查了完全平方公式，灵活运用该公式是解决本题的关键． 10．（2024春•高新区校级期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊙（c，d）＝ad﹣bc．例如：（1，2）⊙（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2． 根据上述规定解决下列问题： （1）计算（3，﹣5）⊙（4，﹣2）； （2）若（2x，2x2+1）⊙（﹣1，x+k）是一个完全平方式，求常数k的值； （3）若2a+b＝8，（a+b，ab）⊙（﹣4a，b）＝40，求ab的值． 【思路点拨】（1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义先计算，再找出它的完全平方式进行对比即可； （3）根据新定义先计算，再变形，最后整体代入即可． 【规范解答】解：（1）（3，﹣5）⊙（4，﹣2） ＝3×（﹣2）﹣（﹣5）×4 ＝﹣6+20 ＝14． （2）（2x，2x+1）⊙（﹣1，x+k） ＝2x（x+k）﹣（2x2+1）×（﹣1） ＝2x2+2xk+2x2+1 ＝4x2+2kx+1， ∵（2x±1）2＝4x2±4x+1， ∴4x2+2kx+1＝4x2±4x+1， ∴2kx＝±4x， ∴k＝±2． （3）（a+b，ab）⊙（﹣4a，b） ＝b（a+b）﹣（﹣4a）（ab） ＝ab+b2+4a2﹣ab ＝b2+4a2 ＝（2a+b）2﹣4ab， ∵2a+b＝8，（a+b，ab）⊙（﹣4a，b）＝40， ∴（2a+b）2﹣4ab＝40， ∴64﹣4ab＝40， ∴ab＝6． 【考点评析】本题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 11．（2022春•诸暨市期中）先阅读材料，再回答问题： 分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1 解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2 再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4 （2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由． 【思路点拨】（1）设M＝x+y，据此原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2，再将M＝x+y代回即可得； （2）由原式变形为（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1，令N＝a2﹣5a+4，据此可得原式N（N+2）+1＝N2+2N+1＝（N+1）2，根据a为正整数可作出判断． 【规范解答】解：（1）设M＝x+y， 则原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2， 将M＝x+y代入还原可得原式＝（x+y﹣2）2； （2）原式＝（a﹣1）（a﹣4）（a﹣2）（a﹣3）+1 ＝（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1 令N＝a2﹣5a+4， ∵a为正整数， ∴N＝（a﹣1）（a﹣4）＝a2﹣5a+4也是整数， 则原式＝N（N+2）+1 ＝N2+2N+1 ＝（N+1）2， ∵N为整数， ∴原式＝（N+1）2即为整数的平方． 【考点评析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识，难度中等． 12．（2023春•龙岗区校级期中）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题： （1）计算：＝　　 ； （2）代数式为完全平方式，则k＝　±3　 ； （3）解方程：＝6x2+7． 【思路点拨】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解； （2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解； （3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解． 【规范解答】解：（1） ＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31] ＝﹣6÷4 ． 故答案为：； （2） ＝[x2+（3y）2]+xk•2y ＝x2+9y2+2kxy， ∵代数式为完全平方式， ∴2k＝±6， 解得k＝±3． 故答案为：±3； （3）＝6x2+7， （3x﹣2）（3x+2）﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7， 解得x＝﹣4． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 13．（2021春•柯桥区期中）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请问： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　C　 A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　 ．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　（x﹣2）4　 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【思路点拨】（1）观察分解过程发现利用了完全平方公式； （2）该同学分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式分解； （3）仿照题中方法将原式分解即可． 【规范解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择C， 故答案为：C； （2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x﹣2）4； 故答案为：不彻底；（x﹣2）4； （3）原式＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4． 【考点评析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14．（2022秋•永春县期中）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数； 因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x﹣2是x2﹣x﹣2的因式． ②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式 ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n） ∵当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0 ∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0 ∴1﹣a﹣2＝0 ∴a＝﹣1 （1）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝　3　 ． （2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求的值． 【思路点拨】（1）根据②中的例子，类比可得结论； （2）根据多项式乘法将等式展开有：3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1），根据当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a+b+1＝0①，当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a﹣b+1＝0②，联立可求常数a，b的值．可得结论． 【规范解答】解：（1）∵x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式， ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+mx﹣10＝（x+5）（mx+n）， ∵当x＝﹣5时，（x+5）（mx+n）＝0， ∴当x＝﹣5时，x2+mx﹣10＝0， ∴25﹣5m﹣10＝0， ∴m＝3； 故答案为：3； （2）∵整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1， ∴存在一个整式（3x2+mx﹣1），使得3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）， ∴当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0， 即3x4﹣ax2+bx+1＝0， 则3﹣a+b+1＝0①， 当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0， 即3x4﹣ax2+bx+1＝0， 则3﹣a﹣b+1＝0②， 联立①②解得a＝4，b＝0． ∴2． 【考点评析】本题考查了因式分解的意义和算术平方根，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目比较好，运用类比的方法解决问题． 15．（2024秋•江安县期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式． 【思路点拨】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x﹣1）（x﹣9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x﹣2）（x﹣4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案． 【规范解答】解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）． ∵2（x﹣1）（x﹣9）＝2（x2﹣10x+9）＝2x2﹣20x+18， ∴a＝2，c＝18； 又∵2（x﹣2）（x﹣4）＝2（x2﹣6x+8）＝2x2﹣12x+16， ∴b＝﹣12． ∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得 2x2﹣12x+18＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2． 【考点评析】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$