第2章 二元一次方程组（导图+知识梳理+易错点拨+19大考点讲练+优选压轴题专练 共67题）-2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】

2024-2025学年浙教版版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第2章 二元一次方程组 （知识梳理+易错点拨+19个重难点考点讲练+压轴题专练 共67题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 3 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 3 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 4 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 5 知识点梳理04：三元一次方程组 6 易错点拨 查漏补缺 7 易错知识点01：概念理解偏差 7 易错知识点02：解法操作失误 7 易错知识点03：解的验证疏漏 8 易错知识点04：参数题型处理不当 8 易错知识点05：应用题建模错误 8 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 8 易错知识点07：符号处理与变形错误 8 易错知识点08：特殊题型应对策略 9 重点难点 考点讲练 9 第一部分：常考易考考点讲练 9 考点讲练01:二元一次方程的定义 9 考点讲练02:二元一次方程的解 10 考点讲练03:二元一次方程组的定义 12 考点讲练04:二元一次方程组的解 13 考点讲练05:解二元一次方程组 16 考点讲练06:由实际问题抽象出二元一次方程组 19 考点讲练07:二元一次方程组的应用 21 考点讲练08:解三元一次方程组 24 考点讲练09:三元一次方程组的应用 26 第二部分：二元一次方程组的实际应用 29 考点讲练10:数字问题 29 考点讲练11:鸡兔同笼问题 31 考点讲练12:商品销售问题 33 考点讲练13:行程问题 36 考点讲练14:工程问题 39 考点讲练15:产品配套问题 43 考点讲练16:比赛积分问题 46 考点讲练17:利息税收问题 48 考点讲练18:方案选择问题 50 考点讲练19:同解方程组 53 压轴专练 拔尖冲刺 56 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理04：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 易错知识点01：概念理解偏差 易错点1：混淆方程与方程组 错误表现：将单个二元一次方程误认为方程组，或忽略“两个一次方程组合”这一条件 正确认知：方程组必须包含两个独立的二元一次方程，且两方程需用大括号联立表示（如{x+y=5; 2x-y=1}） 易错点2：忽略定义中的限制条件 典型错误：认为方程xy=3或1/x + y=2是二元一次方程 键点：二元一次方程需满足：①整式方程；②含两个未知数；③未知数最高次数为1 易错知识点02：解法操作失误 代入法常见错误 1. 代入不彻底：仅替换一个未知数后未继续代入原方程 示例：解{y=2x; 3x+y=10}时，代入后应为3x+2x=10，而非保留y 2. 符号处理错误：代入含负号的表达式时漏写括号 加减法典型错误 1. 未对齐系数直接加减：未将两方程同一未知数系数调整为相等或相反数 示例：解{2x+3y=11; 3x-2y=4}时，应先分别乘系数使x或y的系数相同/相反 2. 加减方向混淆：系数相反时用“加”，相同时用“减” 易错知识点03：解的验证疏漏 易错表现： 求出解后未代入所有原方程验证 将非整数解误判为无解 示例：解{x+y=3; 2x+2y=6}得无穷解时，需说明两方程实为同一方程 易错知识点04：参数题型处理不当 易错类型： 1. 忽略系数不为零条件：如已知方程(m-2)x + y=5是二元一次方程，需保证m-2≠0，即m≠2 2. 同解方程问题：已知两方程组同解时，未先解其中一个方程组再代入另一个求参数 例题：若{x+y=3; ax+by=4}与{x-y=1; bx+ay=5}同解，需先求x=2,y=1再代入求a,b 易错知识点05：应用题建模错误 易错表现： 1. 设元不当：未用两个不同字母表示两个未知量（如设“男生x人，女生(50-x)人”导致方程退化为一元一次） 2. 等量关系遗漏：应用题中含两个独立条件却只列出一个方程 示例：鸡兔同笼问题需同时满足“头数总和”与“脚数总和” 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 易错点： 1. 消元目标不明确：未优先消去系数较简单的未知数 2. 步骤跳步导致错误：三元转二元时，未保留中间方程组直接求解 正确步骤： ① 消去同一未知数得两个新二元方程； ② 解新方程组后再回代45 易错知识点07：符号处理与变形错误 常见错误： 1. 移项时符号错误：如将-2x + y = 4移项得y = 2x +4（正确应为y=2x+4） 2. 去括号漏乘系数：解3(x-2y) = 2y+1时误展开为3x-2y = 2y+1（正确应为3x-6y=2y+1） 易错知识点08：特殊题型应对策略 易错题型1：系数轮换问题 示例：解{ax+by=c; bx+ay=d}时未利用对称性简化计算 技巧：两式相加得(a+b)(x+y)=c+d，两式相减得(a-b)(x-y)=c-d 易错题型2：错解问题 题目：甲解方程组{ax+by=2; cx-7y=8}时误抄c得解x=3,y=2，乙未抄错得解x=-2,y=2，求正确值 策略：甲的错解满足第一个方程，乙的正确解满足所有方程，联立求a,b,c 第一部分：常考易考考点讲练 考点讲练01:二元一次方程的定义 【例题精讲】（2024春•临湘市期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C．x2﹣y＝2 D． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程进行分析即可． 【规范解答】解：A．只有一个未知数，不是二元一次方程； B．是二元一次方程，选项符合题意； C．x2﹣y＝2含未知数项的最高次数为2，不是二元一次方程； D．不是整式方程，所以不是二元一次方程； 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解答本题的关键要掌握：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都为1，这样的整式方程叫二元一次方程． 【训练1】（2024春•绥化期中）若（a﹣1）x+4y|a|＝3是关于x，y的二元一次方程，则a＝ 　﹣1　 ． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义可得|a|＝1且a﹣1≠0，然后进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得：|a|＝1且a﹣1≠0， ∴a＝1或﹣1且a≠1， ∴a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【考点评析】本题考查了绝对值，二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【训练2】（2021春•红谷滩区校级期中）已知方程（2m﹣6）x|m﹣2|+（n﹣2）﹣3＝0是二元一次方程，求m，n的值． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得2m﹣6≠0，|m﹣2|＝1；n﹣2≠0，n2﹣3＝1，再解即可． 【规范解答】解：由题意得：2m﹣6≠0，|m﹣2|＝1， 解得：m＝1， n﹣2≠0，n2﹣3＝1， 解得：n＝﹣2． 【考点评析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 考点讲练02:二元一次方程的解 【例题精讲】（2024春•鹿城区校级期中）若是x，y的二元一次方程﹣x+3y＝﹣1的解，则a的值为（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7 【思路点拨】把代入﹣x+3y＝﹣1，然后解关于a的方程即可求出a的值． 【规范解答】解：把代入﹣x+3y＝﹣1，得 ﹣a+6＝﹣1， 解得a＝7． 故选：D． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的解，解决本题的关键是知道二元一次方程的解的定义． 【训练1】（2024秋•蚌埠期中）定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”：　y＝﹣x+4　 ． （2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 【思路点拨】（1）理解“反对称二元一次方程”的概念即可解题； （2）根据概率得出y＝3x+5的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【规范解答】解：（1）由题知，二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”是y＝﹣x+4， 故答案为：y＝﹣x+4． （2）二元一次方程y＝3x+5的“反对称二元一次方程”是y＝5x+3， 又∵二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴， 解得， ∴m＝1，n＝8． 【考点评析】本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，解题的关键是掌握相关运算． 【训练2】（2023秋•蓬江区校级期中）把y＝ax+b（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝2． （1）求“雅系二元一次方程”y＝5x﹣6的“完美值”； （2）x＝﹣3是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值． （3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程”与y＝3x﹣n+1（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）由题意可得x＝5x﹣6，即可求解； （2）由题意可得﹣3（﹣3）+m，求出m即可； （3）由题意可得xx+n，得xn，x＝3x﹣n+1，得x，再由n，即可求n的值． 【规范解答】解：（1）∵y＝5x﹣6是“雅系二元一次方程”， ∴x＝5x﹣6， 解得x， ∴“雅系二元一次方程”y＝5x﹣6的“完美值”为x； （2）∵x＝﹣3是“雅系二元一次方程”yx+m的“完美值”， ∴﹣3（﹣3）+m， 解得m＝﹣2； （3）存在n，使得“雅系二元一次方程”yx+n与y＝3x﹣n+1（n是常数）的“完美值”相同，理由如下： 由xx+n，得xn， 由x＝3x﹣n+1，得x， ∴n， 解得n＝﹣5， ∴x＝﹣3， ∴“完美值”为x＝﹣3． 【考点评析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 考点讲练03:二元一次方程组的定义 【例题精讲】（2024春•阳谷县期中）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二元一次方程组的特点判断即可．主要从3个方面来判断：①两个方程都是整式方程；②含有2个未知数；③含未知数的项的次数是1次． 【规范解答】解：根据二元一次方程组的特点逐项分析判断如下： A、有3个未知数，不是二元一次方程组，故A不符合题意； B、有2个未知数，但是最高次数是2，不是二元一次方程组，故B不符合题意； C、有两个未知数，方程的次数是1次，所以是二元一次方程组，故C符合题意； D、有两个未知数，第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故D不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的定义．有几个方程组成的一组方程叫做方程组．如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 【训练1】（2021春•林州市期中）已知方程组是二元一次方程组，求m的值． 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义得到|m﹣2|﹣2＝1且m﹣3≠0、m+1≠0．由此可以求得m的值． 【规范解答】解：依题意，得 |m﹣2|﹣2＝1且m﹣3≠0、m+1≠0， 解得m＝5． 故m的值是5． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 【训练2】（2023春•泸县校级期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）； （2）． 【思路点拨】由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【规范解答】解：（1）是，理由如下： 中的两个方程都是一次方程，并含有两个未知数，它是二元一次方程组． （2）是，理由如下： 中的两个方程都是一次方程，并含有两个未知数，它是二元一次方程组． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”是关键． 考点讲练04:二元一次方程组的解 【例题精讲】（2024春•威海期中）已知关于x，y的方程组有以下结论，其中错误的是（　　） ①当k＝0时，方程组的解是 ②当x+2y＝0，则k＝3； ③不论k取什么实数，x+y的值始终不变 ④方程组的解为 A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】根据二元一次方程组的解法以及二元一次方程组解的定义逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①当k＝0时，原方程组变为， ①×3﹣②得， 5x＝﹣5， 解得x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①得，﹣2+y＝0， 解得y＝2， 所以方程组的解为， 因此①正确； ②当x+2y＝0，即x＝﹣2y代入原方程组可得， ， 即， ②代入①得， k＝﹣15+6k， 解得k＝3， 因此②正确； 关于x，y的方程组将①代入②得， x+3y＝5﹣2（2x+y）， 即x+3y＝5﹣4x﹣2y， 所以5x+5y＝5， 即x+y＝1， 也就是说不论k取什么实数，x+y的值始终不变， 因此③正确， ④ ①×3﹣②得， 5x＝5k﹣5， 解得x＝k﹣1， 把x＝k﹣1代入①得，2（k﹣1）+y＝k， 解得y＝2﹣k， ∴方程组的解为， 因此④错误， 故选：D． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键． 【训练1】（2024春•中山市校级期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由． （2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 【思路点拨】（1）由方程组中x﹣y＝1，即满足|x﹣y|＝1，说明该方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，即该方程组的解x与y具有“邻好关系”； （2）利用原方程组变形得：x﹣y＝5﹣m，再根据“邻好关系”的定义，即得出5﹣m＝±1，解出m的值即可． 【规范解答】解：（1）具有“邻好关系”， ∵x﹣y＝1，即满足|x﹣y|＝1． ∴方程组的解x，y具有“邻好关系”， （2）方程组， ②+①得：6x＝6+6m，即x＝1+m， 把x＝1+m代入①得y＝2m﹣4， ∴x﹣y＝1+m﹣2m+4＝5﹣m． ∵方程组的解x，y具有“邻好关系”， ∴|x﹣y|＝1，即5﹣m＝±1， ∴m＝6或m＝4． 【考点评析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键． 【训练2】（2023春•秦州区校级期中）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求m，n的值． 【思路点拨】两个方程组有相同的解，则这个解是方程组的解，解此方程组，把解分别代入两个方程组中的第二方程，得到关于m与n的方程组，再解方程组即可． 【规范解答】解：∵关于x，y的方程组与方程组有相同的解， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， 解得：， 把分别代入方程组与方程组中的第二方程得：， 解得：； 即m＝﹣1，n＝2． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键，也是本题的难点所在． 考点讲练05:解二元一次方程组 【例题精讲】（2024春•临沭县期中）以下解方程组的步骤正确的是（　　） A．代入法消去b，由①得b＝2a﹣7 B．代入法消去a，由②得a＝b+2 C．加减法消去b，①+②得a＝5 D．加减法消去a，①﹣②×2得﹣3b＝3 【思路点拨】利用代入法或加减法逐一分析每个选项即可得到答案． 【规范解答】解：代入法消去b，由①得b＝7﹣2a，故A不符合题意； 代入法消去a，由②得a＝b+2，故B符合题意； 加减法消去b，①+②得3a＝9，故C不符合题意； 加减法消去a，①﹣②×2得3b＝3，故D不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组是解本题的关键． 【训练1】（2024春•来宾期中）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（　　） A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 【思路点拨】观察四位同学的解题过程，找出出错的即可． 【规范解答】解：， 由①得：x ③， 把③代入②得：， 去分母得：24﹣9y﹣10y＝10， 解得：y， 由③得：x． 则合作中出现错误的同学为丙． 由24﹣9y﹣10y＝5解得：y＝1， ∴合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是：甲、乙、丁， 故选：B． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【训练2】（2024春•临海市期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）求a、b的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD＝20°，求∠BAC的度数； （3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【思路点拨】（1）根据|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，可得a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，进而得出a、b的值； （2）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°＝20°可得t的值，根据∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°可得∠BAC； （3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可． 【规范解答】解：（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0． 又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0． ∴a＝3，b＝1； （2）设A灯转动时间为t秒， 又∵PQ//MN， ∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t， ∵∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°＝20°， ∴t＝55°， ∵∠CAN＝180°﹣3t， ∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°＝165°﹣135°＝30°； （3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． 依题意得0＜t＜150 ①当0＜t＜60时，3t＝（30+t）×1， 解得t＝15； ②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（30+t）×1＝180， 解得t＝82.5； ③当120＜t＜150时，3t﹣360＝t+30， 解得t＝195＞150（不合题意） 综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． 考点讲练06:由实际问题抽象出二元一次方程组 【例题精讲】（2024春•石家庄期中）某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（　　） 甲 解：设A印刷机印制了xh， B印刷机印制了yh． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了m份， B印刷机印制了n份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【思路点拨】根据两台印刷机印刷的时间和数量分别建立方程组进行判断即可得到答案． 【规范解答】解：设A印刷机印制了xh，B印刷机印制了yh， ∵两台印刷机完成该任务共需6h， ∴x+y＝6， ∵总共印制1000份， ∴150x+200y＝1000， ∴， 设A印刷机印制了m份，B印刷机印制了n份， ∵总共印制1000份， ∴m+n＝1000， ∵A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h， ∴A印刷机印制小时，B印刷机印制小时， ∴， ∴， 故选：C． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，建立正确的方程组． 【训练1】（2024春•北京期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克．依据题意，可列方程组为 　　 ． 【思路点拨】结合一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克，可列二元一次方程组即可完成解答． 【规范解答】解：由题意得：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【训练2】（2024春•临湘市期中）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长350米的河边道路整治任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 根据甲、乙两位同学所列的方程组，请分别指出其中未知数x表示的意义： 甲：x表示 　A工程队工作的天数　 ； 乙：x表示 　A工程队整治的河边道路总长度　 ． （2）从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，将其补全，并利用此方程组求出A，B两个工程队分别整治河边道路多少米． 【思路点拨】（1）根据题意，结合题中所给方程组即可得到答案； （2）根据题意，补全甲、乙两位同学所列的方程组，利用二元一次方程组的解法求解即可得到答案． 【规范解答】解：（1）由题意，结合题中所给方程组可知： A工程队工作的天数；A工程队整治的河边道路总长度； 故答案为：A工程队工作的天数；A工程队整治的河边道路总长度； （2）①若补全甲的方程组：，解此方程组得， ∴15x＝150，10y＝200， 答：A，B两个工程队分别整治河边道路150米和200米； ②若补全乙的方程组：，解此方程组得， 答：A，B两个工程队分别整治河边道路150米和200米． 【考点评析】本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，读懂题意，理解所设未知数，找到等量关系列方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 考点讲练07:二元一次方程组的应用 【例题精讲】（2024春•万州区校级期中）《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意列方程组即可． 【规范解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 由题意得：， 故选：A． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意建立等量关系是关键． 【训练1】（2017春•宁海县校级期中）七年级某班的一个综合实践活动小组去A、B两个超市调查去年和今年“春节”期间的销售情况，如图是调查后小敏与其它两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出A、B两个超市今年“春节”期间的销售额． 【思路点拨】设A超市去年“春节”期间的销售额为x万元，B超市去年“春节”期间的销售额为y万元，根据两超市的销售额＝A超市的销售额+B超市的销售额列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【规范解答】解：设A超市去年“春节”期间的销售额为x万元，B超市去年“春节”期间的销售额为y万元， 根据已知，得， 解得：． ∴（1+15%）×60＝69（万元），（1+10%）×90＝99（万元）， 答：A超市今年“春节”期间的销售额为69万元，B超市今年“春节”期间的销售额为99万元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是列出关于x、y的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键． 【训练2】（2024春•秦安县期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　7　 张，正方形铁片 　3　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【思路点拨】（1）一个竖式长方体铁容器需要4个长方形铁皮和1个正方形铁皮；一个横式长方体铁容器需要3个长方形铁皮和2个正方形铁皮； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，由题意得：①两种容器共需长方形铁皮2014张；②两种容器共需正方形铁皮1176张，根据等量关系列出方程组即可； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，由铁板的总数量及所需长方形铁片的数量为正方形铁皮的2倍，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，取其整数部分再将剩余铁板按一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片处理，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得， 解得 答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：． ∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， ∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张）， ∴可做铁盒76÷4＝19（个）． 答：最多可以加工成19个铁盒． 【考点评析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 考点讲练08:解三元一次方程组 【例题精讲】（2024春•牟平区期中）三元一次方程组消去未知数c后，所得二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先消去未知数c可得，从而可得答案． 【规范解答】解：， ②﹣③得：3a+3b＝3即a+b＝1， ③×3+①得：5a﹣2b＝19， ∴， 故选：A． 【考点评析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键． 【训练1】（2024春•文登区期中）解方程组： （1）； （2）； （3）解三元一次方程组：． 【思路点拨】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （2）先由②﹣①，求出b，把b代入三元一次方程组得到关于a和c的二元一次方程组，利用消元法求得a和c的值，即可求得三元一次方程组的解． 【规范解答】解：（1）， 方程组整理得：， ①+②得：4y＝28，即y＝7， 把y＝7代入①得：x＝5， 则方程组的解为； （2）， 方程组整理得：， ①×5﹣②得：﹣14y＝﹣28，即y＝2， 把y＝2代入①得，x＝﹣8+10，即x＝2， 则方程组的解为； （3）， ②﹣①得，b＝2， 把b＝2代入方程组，整理得：， a﹣c＝﹣1为④式，2a+2c＝11为⑤式， ④×2+⑤得：4a＝9，即a， 把a代入④得，c， 则方程组的解为． 【考点评析】此题考查了解二（三）元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【训练2】（2021春•香洲区校级期中）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： 请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组 （2）已知x、y、z，满足试求z的值． 【思路点拨】（1）将②变形后代入方程解答即可； （2）将原方程变形后利用加减消元解答即可． 【规范解答】解：（1） 将②变形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④ 将①代入④得 3×7+4y＝11 y 把y代入①得， ∴方程组的解为 （2） 由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③ 由②得2（x+4y）+z＝36 ④ ③×2﹣④×3得z＝2 【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想． 考点讲练09:三元一次方程组的应用 【例题精讲】（2024春•青神县期中）现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 　540　 元． 【思路点拨】设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x，y，z元，根据题意题意列方程组即可． 【规范解答】解：设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x，y，z元，由题意得： ， ①+②得：4x+4y+4z＝720， ∴3x+3y+3z＝540（元）， 故答案为：540． 【考点评析】本题考查了三元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式进行求解． 【训练1】（2023春•樊城区期中）某生鲜店推出了A、B、C三类蔬菜包以方便居家生活的市民购买，A、B、C三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋A蔬菜包有5公斤萝卜、4公斤白菜、6公斤洋葱；每袋C蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为30%，每袋B的成本是其售价的，每袋C的利润是每袋A利润的．若该生鲜店1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为2：1：3，则当天该生鲜店销售A、B、C三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 　　 ． 【思路点拨】设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元，根据题意可求A的成本为15x（元），利润为15x•30%＝4.5x（元），C的利润为4.5x＝3x（元），成本为7x+2y+3z＝12x（元），设B的成本为m元，利润为W元，由题意可得（m+W）＝m，则Wm，再求出1月2日的总利润为：2×4.5xm+3×3x＝（18xm）元，总成本为：2×15x+m+3×12x＝（66x+m）元，则即为所求． 【规范解答】解：设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元， ∵每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍， ∴5x+4y+6z＝3×5x， ∴2y+3z＝5x， ∴A的成本为15x（元），利润为15x•30%＝4.5x（元）， ∵每袋C的利润是每袋A利润的， ∴C的利润为4.5x＝3x（元），成本为7x+2y+3z＝12x（元）， 设B的成本为m元，利润为W元， ∵每袋B的成本是其售价的， ∴（m+W）＝m， ∴Wm， ∵1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为2：1：3， ∴1月2日的总利润为：2×4.5xm+3×3x＝（18xm）元，总成本为：2×15x+m+3×12x＝（66x+m）元， ∴， ∴当天该生鲜店销售A、B、C三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查三元一次方程组的应用，弄清题意，通过所给的条件，理顺各量之间的关系，列出方程是解题的关键． 【训练2】（2024春•鲤城区校级期中）问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则x﹣y的值为 　﹣1　 ． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景﹣共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【思路点拨】（1）由①﹣②，即可求解； （2）由①×3+②，可得4x+4y＝12，即可求解； （3）黄花一共用了M朵．则M＝8x+6y+7z，根据题意，列出方程组，即可求解． 【规范解答】解：（1）①﹣②得，x﹣y＝﹣1 故答案为：﹣1． （2）， 由①×3+②，得4x+4y＝12， ∴x+y＝3， ∴无论a取何值，x+y的值始终不变． （3）设黄花一共用了M朵．则M＝8x+6y+7z， 由题意，得， 由①+③，得40x+30y+35z＝6650④， 由，得8x+6y+7z＝1330，即M＝1330． 答：黄花一共用了1330朵． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用，关键是找到等量关系式． 第二部分：二元一次方程组的实际应用 考点讲练10:数字问题 【例题精讲】（2024春•德化县期中）已知是二元一次方程2x﹣5y＝7的一个解，则代数式9﹣4a+10b的值为 　﹣5　 ． 【思路点拨】将x＝a，y＝b代入二元一次方程2x﹣5y＝7中，得，2a﹣5b＝7，可得﹣4a+10b＝﹣14，可求得9﹣4a+10b的值． 【规范解答】解：将x＝a，y＝b代入二元一次方程2x﹣5y＝7中， 得，2a﹣5b＝7， ∴﹣4a+10b＝﹣14， ∴9﹣4a+10b＝9﹣14＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的解，将二元一次方程2x﹣5y＝7的一个解代入方程求得2a﹣5b的值是本题的关键． 【训练1】（2024春•凤台县期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为． （1）求a、b的值； （2）乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？ 【思路点拨】（1）将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，联立两个方程求出a，b； （2）设把b看成了m，代入②，求出方程的解即可得到b． 【规范解答】解：（1）将x＝1，y＝﹣2代入方程组中的第二个方程得：a+2b＝﹣5③， 将x＝1，y＝﹣1代入方程组中的第一个方程得：a﹣b＝4④， 联立③④， 解得：； （2）设把b看成了m， 把x＝1，y＝﹣1，a＝1代入方程ax﹣my＝﹣5， 得m＝﹣6． 【考点评析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【训练2】（2024春•石家庄期中）某校七年级（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品经与店家沟通交流，小文获知了如表信息： 数量 方式 购买笔的数量（本） 大本子的数量（本） 小本子的数量（本） 所剩的钱数（元） 方式一 36 0 0 2 方式二 38 0 0 ﹣9** 方式三 0 12 8 0 方式四 0 10 10 10 **注意是负数! （1）求小文所带班费的数量； （2）求大、小本子每本的售价； （3）起初，小文原计划购买上述三种文具各6个作为奖品，但店家对小文推销说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大小本子各10本，付钱时，店家说：“你很有经济头脑，我现在的利润只比刚才的利润多10元，但你却多买了很多东西”，根据以上信息求出小文实际购买文具的成本．（已知一支笔的成本为4元） 【思路点拨】（1）[2﹣（﹣9）]÷（38﹣36）可得笔的单价，购买笔的数量×笔的单价+所剩的钱＝小文所带班费的数量； （2）设大本子和小本子的价格分别为x，y，根据表格列二元一次方程组，所求解即为大、小本子每本的售价； （3）设设大本子、小本子的成本分别为m，n，实际购买方案的利润﹣原计划购买方案的利润＝10，可得大本子，小本子的成本，大小本子成本×购买数量+笔的成本×购买数量＝小文实际购买文具的成本． 【规范解答】解：（1）[2﹣（﹣9）]÷（38﹣36）＝5.5（元）， 36×5.5+2＝200（元）， 答：小文所带班费为200元； （2）设大本子和小本子的价格分别为x，y， ， 解得， 答：大本子和小本子的价格分别为12元和7元； （3）设大本子、小本子的成本分别为m，n， （5.5﹣4）×4+（0.9×12﹣m）×10+（0.9×7﹣n）×10﹣[（5.5﹣4）×6+（12﹣m）×6+（7﹣n）×6]＝10， 解得：m+n＝11， 4×4+11×10＝126（元）， 答：小文实际购买文具的成本为126元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组，关键是根据题意正确列出方程． 考点讲练11:鸡兔同笼问题 【例题精讲】（2024春•桂平市期中）大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？设鸡有x只，兔有y只，列方程组得（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设笼中有鸡x只，兔y只，根据“从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚”，即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【规范解答】解：设笼中有鸡x只，兔y只， 根据题意得：， 故选：A． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【训练1】（2024春•三台县期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，可以列出相应的方程组． 【规范解答】解：设有x只兔子，y只鸡， 由一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，可得方程x+y＝35， 由下面数共有94只脚，可得方程4x+2y＝94， 故可列方程组， 故选：A． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 【训练2】（2022春•兴安县校级期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？ 【思路点拨】设笼中有x只鸡，y只兔，根据“上有二十五头，下有七十六足”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔， 根据题意得：， 解得：． 答：笼中有12只鸡，13只兔． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 考点讲练12:商品销售问题 【例题精讲】（2024春•东莞市校级期中）某校为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球，若购买3个足球和2个篮球共需210元，购买2个足球和1个篮球共需130元，请问购买一个足球，一个篮球各需多少元？ 【思路点拨】设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据“购买3个足球和2个篮球共需210元，购买2个足球和1个篮球共需130元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要30元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【训练1】（2024春•高密市期中）某超市购进A，B型两种大米进行销售，其中两种大米的进价、售价如表： 大米种类 进价（元/袋） 售价（元/袋） A型 25 35 B型 30 42 （1）已知购进A，B型两种大米共100袋，进货款恰好为2800元，求这两种大米各购进多少袋？ （2）若售出两种大米的销售总额为1400元，求售出的大米的进货款为多少元？ 【思路点拨】（1）设A型大米购进x袋，B型大米购进y袋，利用总价＝单价×数量，结合购进两种大米共100袋且进货款恰好为2800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设售出A型大米m袋，B型大米n袋，利用总价＝单价×数量，结合两种大米的销售总额为1400元，即可得出关于m，n的二元一次方程，化简后可得出5m+6n＝200，再将其代入25m+30n＝5（5m+6n）即可求出结论； 【规范解答】解：（1）设A型大米购进x袋，B型大米购进y袋， 依题意得：， 解得：． 答：A型大米购进40袋，B型大米购进60袋． （2）设售出A型大米m袋，B型大米n袋， 依题意得：35m+42n＝1400， 化简得：5m+6n＝200， ∴25m+30n＝5（5m+6n）＝5×200＝1000． 答：售出大米的进货款为1000元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【训练2】（2023春•邓州市期中）互联网时代人们的购物方式有了更多的选择，某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价多12元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费264元（免运费）． 请解答下列问题： （1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过4550元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了5个书包，获利658元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 【思路点拨】（1）设该网店甲种书包每个售价是x元，乙种书包每个售价是y元，根据“甲种书包每个售价比乙种书包每个售价多12元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费264元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包（100﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4550元且购进甲种书包的数量超过52个，开列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）设甲种书包赠送了a个，则乙种书包赠送了（5﹣a）个，分该网店按（2）中的三个方案进货，利用利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于a的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设该网店甲种书包每个售价是x元，乙种书包每个售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该网店甲种书包每个售价是60元，乙种书包每个售价是48元； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包（100﹣m）个， 根据题意得：， 解得：52＜m≤55， 又∵m为正整数， ∴m为53，54，55， ∴该网店有3种进货方案， 方案1：购进甲种书包53个，乙种书包47个； 方案2：购进甲种书包54个，乙种书包46个； 方案3：购进甲种书包55个，乙种书包45个； （3）设甲种书包赠送了a个，则乙种书包赠送了（5﹣a）个． 当该网店按方案1进货时，60（53﹣a）+48[47﹣（5﹣a）]﹣50×53﹣40×47＝658， 解得：a， 又∵a，5﹣a均为非负整数， ∴a不符合题意，舍去； 当该网店按方案2进货时，60（54﹣a）+48[46﹣（5﹣a）]﹣50×54﹣40×46＝658， 解得：a， 又∵a，5﹣a均为非负整数， ∴a不符合题意，舍去； 当该网店按方案3进货时，60（55﹣a）+48[45﹣（5﹣a）]﹣50×55﹣40×45＝658， 解得：a＝1， 又∵a，5﹣a均为非负整数， ∴a＝1符合题意， ∴5﹣a＝5﹣1＝4． 答：该网店赠送甲种书包1个，乙种书包4个． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 考点讲练13:行程问题 【例题精讲】（2023春•昆明期中）A市至B市的航线长9750km，一架飞机从A市顺风飞往B市需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h，求飞机的平均速度与风速？ 【思路点拨】飞机的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，根据航行问题的数量关系建立方程组求出其解即可． 【规范解答】解：设飞机的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时， 由题意，得， 解得． 答：飞机的平均速度为765千米/时，风速为15千米/时． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的实际运用，掌握行程问题的顺风速度＝静风速度+风速和逆风速度＝静风速度﹣风速，由此建立方程组是关键． 【训练1】．（2017春•崇川区校级期中）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h． 请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程． 【思路点拨】在阅读考题中，要能获取题中相应的等量关系：从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．得到：高速公路的长度＝普通公路长度的两倍；汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．最简单的是根据在普通公路的时间和在高速公路的时间提出问题，再设未知数，列方程组，解答问题． 【规范解答】方式1：问题：普通公路和高速公路各为多少千米？ 解：设普通公路长为x（km），高速公路长为y（km）． 根据题意，得， 解得， 答：普通公路长为60km，高速公路长为120km． 方式2：问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？ 解：设汽车在普通公路上行驶了x（h），高速公路上行驶了y（h）． 根据题意，得， 解得， 答：汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了1.2h． 方式3：问题：普通公路和两地公路总长各为多少千米？ 解：设普通公路长xkm，两地公路总长ykm． 根据题意，得， 解得， 答：普通公路长60km，两地公路总长180km． 方式4：问题：普通公路有多少千米，汽车在普通公路上行驶了多少小时？ 解：设普通公路长x（km），汽车在普通公路上行驶了y（h）． 根据题意，得， 解得， 答：普通公路长60km，汽车在普通公路上行驶了1h． 【考点评析】这是一道较为新颖的行程问题的应用题，考查学生分析问题，提出问题并解决问题的能力． 本题中常见的错误是： （1）阅读能力差，找不出题中的数量关系，无法提出问题； （2）对二元一次方程组的模型没有掌握，列不出方程组； （3）少数人计算能力差，书写不规范等．找到两个等量关系是解决问题的关键． 【训练2】（2024春•海珠区校级期中）列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 （1）求出x，y的值； （2）周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了15公里，用时12分钟，那么小华的打车总费用为多少元？ 【思路点拨】（1）根据表格内的数据结合打车费＝里程费×里程+耗时费×耗时，即可得出关于p，q的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据里程数和时间来计算总费用． 【规范解答】解：（1）根据题意得： ， 解得：； （2）小华的里程数是15km，时间为12min． 则总费用是：15x+12y＝15+6＝21（元）． 答：总费用是21元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 考点讲练14:工程问题 【例题精讲】（2023春•南召县期中）随着康养医疗社会需求的进一步增大，某康养中心正在扩大规模，准备装修一批新房舍．若甲、乙两个装修公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，康养中心研究后决定只选一个公司单独完成（工作总量为1）． （1）设甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 　　 ； （2）如果从节约时间的角度考虑，你帮康养中心确定一下，应选哪家公司？请说明理由； （3）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由． 【思路点拨】（1）设甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合“甲、乙两个装修公司合作，需6周完成；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成”，即可列出关于m，n的二元一次方程组； （2）如果从节约时间的角度考虑，康养中心应选甲公司，解（1）中的方程组可得出m，n的值，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可求出甲、乙两公司单独完成所需时间，比较后即可得出结论； （3）如果从节约开支的角度考虑，康养中心应选乙公司，设选择甲公司每周需支付装修费x万元，选择乙公司每周需支付装修费y万元，根据“甲、乙两个装修公司合作6周，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，乙公司单独做9周，共需装修费4.8万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入10x，15y中，比较后即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 根据题意得：． 故答案为：； （2）如果从节约时间的角度考虑，康养中心应选甲公司，理由如下： 解方程组得：， ∴10，15， ∴甲公司单独完成所需时间为10周，乙公司单独完成所需时间为15周， 又∵10＜15， ∴如果从节约时间的角度考虑，康养中心应选甲公司； （3）如果从节约开支的角度考虑，康养中心应选乙公司，理由如下： 设选择甲公司每周需支付装修费x万元，选择乙公司每周需支付装修费y万元， 根据题意得：， 解得：， ∴10x＝106，15y＝154， ∴选择甲公司共需支付装修费6万元，选择乙公司共需支付装修费4万元， 又∵6＞4， ∴如果从节约开支的角度考虑，康养中心应选乙公司． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【训练1】（2023春•上城区校级期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长390米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治18米，乙工程队每天整治24米． （1），共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 ②小华同学：设整治任务完成后，m表示 　甲队整治天数　 ，n表示 　乙队整治天数　 ； 则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． （2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． （3）若要使工程总时间少于20天，应怎样分配甲乙两队的工程量？ 【思路点拨】（1）根据所列式子可知，小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米；小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用的天数，据此补全方程组即可； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． （3）设甲队整治天数为x天，乙队整治天数为y天列出二元一次方程，再根据要求列举出符合题意的所有情况即可得出结论． 【规范解答】解：（1）①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意得：， 故答案为：390，，． ②小华同学：∵所列方程组为， ∴m表示甲队整治天数，n表示乙队整治天数； 故答案为：甲队整治天数，乙队整治天数； （2）选择①小明同学： 设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 则解得． 经检验，符合题意． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道270米，乙工程队整治河道120米． 选择②小华同学： 设甲队整治天数为m天，乙队整治天数为n天． 则，解得， 经检验，符合题意． 甲整治的河道长度为：18×15＝270米， 乙整治的河道长度为：24×5＝120米． 答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米． （3）设甲队整治天数为x天，乙队整治天数为y天． 则由题意可得：18x+24y＝390 ∵x+y＜20且x、y 为整数， ∴，，． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【训练2】（2016春•迁安市期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问： （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ （3）若装修完后，商店每天可盈利200元，现有三种方案：①甲组单独做；②乙组单独做；③甲、乙组同时做，你认为哪一种施工方案更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 【思路点拨】（1）设甲组单独工作一天商店应付x元，乙组单独工作一天商店应付y元，根据总费用与时间的关系建立方程组求出其解即可； （2）由甲乙单独完成需要的时间，再结合（1）求出甲、乙两组单独完成的费用进行比较就可以得出结论； （3）先比较甲、乙单独装修的时间和费用谁对商店经营有利，再比较合作装修与甲单独装修对商店的有利经营情况，从而可以得出结论． 【规范解答】解：（1）设甲组单独工作一天商店应付x元，乙组单独工作一天商店应付y元．由题意可得： ， 解得：． 答：甲组单独工作一天商店应付300元，乙组单独工作一天商店应付140元． （2）∵甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天， ∴单独请甲组需付300×12＝3600（元）， 单独请乙组需付140×24＝3360（元）， ∵3600＞3360， ∴单独请乙组费用较少； （3）由题意，得 ①甲组单独做12天完成，商店需付款3600元； 乙组单独做24天完成，商店需付款3360元； 但甲组比乙组早12天完工，商店12天的利润为200×12＝2400元， 即开支为3600﹣2400＝1200元＜3360元， 故选择甲组单独做比选择乙组单独做划算． ②甲、乙合作8天可以完成，需付费用3520元， 此时工期比甲单独做少4天，商店开业4天的利润为4×200＝800元， 开支为3520﹣800＝2720元＜3600元； 则甲、乙合作比甲单独做12天合算． 综上所述，甲、乙合作这一方案最优． 【考点评析】本题主要考查列二元一次方程组解实际问题的运用，工作总量＝工作效率×工作时间的运用，设计推理方案的运用，解答时建立方程组求出甲乙单独完成的工作时间是关键． 考点讲练15:产品配套问题 【例题精讲】（2024春•南关区校级期中）某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据等量关系为：电流表数量＝2×电压表数量，把相关数值代入即可求解． 【规范解答】解：若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表，由题意得： ． 故选：D． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到电压表数量和电流表数量的等量关系． 【训练1】（2024春•滨海新区校级期中）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？ 【思路点拨】设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，根据“甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具”、“60天”建立方程组，解方程组即可得． 【规范解答】解：设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天， 由题意得：， 解得， 答：生产甲种玩具零件12天，乙种玩具零件48天才能在60天内组装出最多的玩具． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． 【训练2】（2022春•鹿城区校级期中）2022杭州亚运会吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，某厂家需要制作吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个为一组的礼盒套装若干套． 已知甲、乙、丙三个小组每天可完成的数量如下： 琮琮（个） 莲莲（个） 宸宸（个） 甲组 15 ﹣ 10 乙组 ﹣ 25 10 丙组 5 10 20 （1）如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配 　45　 个套装． （2）若现已有20个琮琮，厂家还需安排甲组工作x天，乙组工作y天，恰好可以搭配成若干个套装． ①请填写下表：（用x，y的代数式表示） 琮琮（个） 莲莲（个） 宸宸（个） 15x+20 　25y　 　10x+10y　 ②结合上表，列方程组，求一共可以搭配多少个套装？ （3）若现已有100个琮琮，甲、乙两组分别生产a天，b天后被委派其他任务，此时该工作由丙组接替完成，要使吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，则甲组至少要生产 　8　 天，共可搭配 　240　 个套装． 【思路点拨】（1）分别求出生产琮琮、莲莲、宸宸的数量，结合套装中含吉祥物琼琼、莲莲、宸宸各一个，即可得出最多能搭配45个套装； （2）①利用生产总量＝生产效率×生产时间，即可用含x，y的代数式表示出生产莲莲、宸宸的数量； ②根据恰好可以搭配成若干个套装，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入15x+20中，即可求出结论； （3）设丙组生产c天，则生产琮琮（15a+5c）个，莲莲（25b+10c），宸宸（10a+10b+20c），根据已有的和生产的吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之可得出ab﹣5，结合a，b均为正整数，可得出a的最小值，代入后可得出b值，将a，b值代入方程①中可求出c值，再将其代入100+15a+5c中，即可求出搭配套装数． 【规范解答】解：（1）生产琮琮的数量为15×3＝45（个）， 生产莲莲的数量为25×2＝50（个）， 生产宸宸的数量为10×3+10×2＝50（个）， ∵45＜50＜50，且套装中含吉祥物琼琼、莲莲、宸宸各一个， ∴如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配45个套装． 故答案为：45； （2）①根据题意得：生产莲莲25y个，宸宸（10x+10y）个． 故答案为：25y；10x+10y； ②根据题意得：， 解得：， ∴15x+20＝15×12+20＝200． 答：一共可以搭配200个套装； （3）设丙组生产c天，则生产琮琮（15a+5c）个，莲莲（25b+10c），宸宸（10a+10b+20c）， 根据题意得：， 即， 方程①×3﹣②得：200+40a﹣65b＝0， ∴ab﹣5． 又∵a，b均为正整数， ∴当b＝8时，a取得最小值，最小值8﹣5＝8， 将a＝8，b＝8代入方程①得：100+15×8﹣25×8﹣5c＝0， 解得：c＝4， ∴100+15a+5c＝100+15×8+5×4＝240， ∴甲组至少要生产8天，共可搭配240个套装． 故答案为：8；240． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，求出生产琼琼、莲莲、宸宸的数量；（2）①根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出生产莲莲、宸宸的数量；②找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 考点讲练16:比赛积分问题 【例题精讲】（2023春•二道区校级期中）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如图． （1）求掷到A区和B区的得分分别是多少？ （2）直接写出小明的得分是 　76　 分． （3）若小红投掷了10次有效飞镖，想要得分不低于92分，请你求出她至少要掷到A区多少次？ 【思路点拨】（1）设掷到A区得分为x分，掷到B区的得分为y分，根据小华和小芳的得分列出方程组，解方程组即可； （2）列式计算即可； （3）设她掷到A区m次，则掷到B区域（10﹣m）次，根据得分不低于9（2分）列出不等式，解不等式即可． 【规范解答】解：（1）设掷到A区得分为x分，掷到B区的得分为y分，根据题意得： ， 解得：， 答：掷到A区得分为10分，掷到B区的得分为9分； （2）小明的得分为4×10+4×9＝76（分）， 故答案为：76． （3）解：设她掷到A区m次，则掷到B区域（10﹣m）次，根据题意得： 10m+9（10﹣m）≥92， 解得：m≥2， 答：她至少要掷到A区2次． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组，不等式的应用，解题的关键是根据不等式关系和等量关系列出方程或不等式． 【训练1】（2020春•梁溪区期中）今年学校举行足球联赛，在第一阶段的比赛中，每队都进行了8场比赛，小虎足球队胜了4场，平2场，负2场，得14分；小豹足球队胜了6场，平1场，负1场，得19分．已知，记分规则中，负1场得0分． （1）求胜1场、平1场各得多少分？ （2）足球联赛结束后，小狮足球队共参加了17场比赛，得了24分，且踢平场数是所胜场数的正整数倍，请你想一想，小狮足球队所负场数有 　2　 种可能性． 【思路点拨】（1）设胜1场得x分，平1场得y分，根据小虎足球队胜了4场，平2场，负2场，得14分；小豹足球队胜了6场，平1场，负1场，得19分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小狮足球队胜m场，平n场，负t场，根据小狮足球队参加了17场比赛，得了2424分，即可得出关于m，n，t的三元一次方程组，结合n是m的正整数倍，t≥0及m为整数，即可得出m的值，此题得解． 【规范解答】解：（1）设胜1场得x分，平1场得y分， 由题意得， 解得． 答：胜1场得3分，平1场得1分； （2）设小狮足球队胜m场，平n场，负t场， 依题意得：， ∴n＝24﹣3m，t＝2m﹣7． ∵n是m的正整数倍，t≥0及m为整数， ∴m＝4，n＝12或m＝6，n＝6． ∴小狮足球队所负场数有 2种可能性． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 【训练2】（2024春•鲤城区校级期中）我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分． （1）求小明所在班级胜、负的场次各是多少； （2）根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？ 【思路点拨】（1）设小明所在班级胜了x场，负了y场，根据小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜m场，根据总积分超过15分才能确保进入前两名，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设小明所在班级胜了x场，负了y场， 依题意得， 解得， ∴小明所在班级胜了4场，负了1场； （2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜m场， 依题意，得2m+9﹣5﹣m+9＞15， 解得m＞2， ∵m为正整数， ∴m≥3， ∴小明的班级在剩下的比赛中至少还要胜3场． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 考点讲练17:利息税收问题 【例题精讲】（2021春•荆州期末）某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出3.2万元利息．已知甲种贷款每年的利率为4.5%，乙种贷款每年的利率为5%，则该公司申请的甲种贷款的数额为 　40　 万元． 【思路点拨】设该公司申请的甲种贷款的数额为x万元，申请的乙种贷款的数额为y万元，根据该公司申请的甲、乙两种贷款共68万元且每年需付出3.2万元利息，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设该公司申请的甲种贷款的数额为x万元，申请的乙种贷款的数额为y万元， 依题意得：， 解得：． 故答案为：40． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【训练1】（2019春•古冶区期末）某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，还贷期间每年需付出8.42万元利息．已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司乙种贷款的数额 　26　 万元． 【思路点拨】设该公司甲种贷款的数额为x万元，乙种贷款的数额为y万元，根据两种贷款共68万元且每年需付出8.42万元利息，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设该公司甲种贷款的数额为x万元，乙种贷款的数额为y万元， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：26． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【训练2】（2013春•沿滩区校级期中）蔬菜种植专业户王先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请甲、乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲、乙两种贷款分别是 　6.1　 万元和 　6.9　 万元． 【思路点拨】设甲、乙两种贷款分别是x、y万元，根据甲、乙两种贷款，共13万元可以列出方程x+y＝13，根据王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%可以列出方程6%x+3.5%y＝0.6075，联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出甲、乙两种贷款的数目． 【规范解答】解：设甲、乙两种贷款分别是x、y万元，则6075元＝0.6075万元， 依题意得， 解之得， 答：甲、乙两种贷款分别是6.1万元，6.9万元． 故答案为：6.1.6.9． 【考点评析】此题主要考查了利率、利息和本金之间的关系，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 考点讲练18:方案选择问题 【例题精讲】（2024春•岑溪市期中）某中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树和3棵香樟树共需460元，购买3棵桂花树和2棵香樟树共需440元． （1）求桂花树和香樟树的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共130棵，总费用不超过12000元，且购买香樟树的棵数不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案． 【思路点拨】（1）设桂花树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据购买2棵桂花树和3棵香樟树共需460元，购买3棵桂花树和2棵香樟树共需440元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买桂花树a棵，表示出香樟树为（130﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案． 【规范解答】解：（1）设桂花树每棵x元，香樟树每棵y元． 根据题意得：， 解得， 答：桂花树每棵80元，香樟树每棵100元； （2）设桂花树a棵，则香樟树（130﹣a）棵． 根据题意得：， 解得：50≤a≤52， ∵a取整数， ∴a＝50，51，52， 所以有三种购买方案： ①购买桂花树50棵，香樟树80棵， ②购买桂花树51棵，香樟树79棵， ③购买桂花树52棵，香樟树78棵． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． 【训练1】（2024春•鲤城区校级期中）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【思路点拨】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可． （2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可． 【规范解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人， 根据题意，得30x+7＝31x﹣1， 解得x＝8， ∴30x+7＝30×8+7＝247． 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人． （2）师生总数为247+8＝255（人）， ∵每位老师负责一辆车的组织工作， ∴一共租8辆车， 设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆， 根据题意，得： ， 解得3≤m≤5.5， ∵m为整数， ∴m的值可取3，4，5， ∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 【训练2】（2022春•莲都区校级期中）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150＜a＜171，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 【思路点拨】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合150＜a＜171即可求出a的值，此题得解． 【规范解答】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个， 根据题意得：， ∴n＝64． ∵n、a为正整数， ∴a为5的倍数， 又∵150＜a＜171， ∴满足条件的a为：155，160，165，170． 答：在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 考点讲练19:同解方程组 【例题精讲】（2024春•上城区校级期中）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（　　） ①当a＝1时，方程组的解也是方程2x﹣y＝3.5的解； ②当x＝y时，a＝﹣2.5； ③不论a取何值，3x+y的值始终不变； ④设z＝x（y﹣1），则z的最大值为3． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的解法，利用二次函数求最值等知识点，综合性提高，需要将含有a的式子利用配方法配成顶点式，求最值，或者利用顶点坐标公式求最值． 【规范解答】解：①当a＝1时，方程组变为， 解得， 把代入2x﹣y得9， 左边≠右边， ∴当a＝1时，方程组的解不是方程2x﹣y＝3.5的解， 故①错； ②解原方程组得， 当x＝y时a＝﹣2.5， 故②正确； ③3x+y7， ∴不论a取何值，3x+y的值始终不变， 故③正确； ④z＝x（y﹣1）， ， ， 故④正确． 故选D． 【考点评析】本题综合性较强，考查范围广，需要学生认真审题，仔细答题． 【训练1】（2024春•瑞安市期中）若关于x、y的方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　　 ． 【思路点拨】根据关于x、y的方程组的解为，得到关于x、y的方程组中，求出x，y即可． 【规范解答】解：∵关于x、y的方程组的解为， ∴关于x、y的方程组中， 解得：， ∴关于x、y的方程组的解为：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是根据题意得到． 【训练2】（2023春•泉州期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的相伴方程． （1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； （3）若方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程，求k的取值范围． 【思路点拨】（1）先求解方程和不等式组，判断一元一次方程的解是不是一元一次不等式组的解即可； （2）先求解方程和不等式组，再将含有a的方程的解代入一元一次不等式组的解中，即可求出a的取值范围； （3）分别求出两个方程的解，再根据k≠﹣2分为两种情况：①当k＜﹣2时，求出不等式组的解集，再进行判断即可；②当k＞﹣2时，求出不等式组的解集，再进行判断即可． 【规范解答】解：（1）方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组的相伴方程． 理由如下： 解不等式组，得：x≤﹣2， 解方程2（x﹣1）+9＝1，得：x＝﹣3， ∵﹣3＜﹣2， ∴方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组的相伴方程． （2）解不等式组，得：x≤3， 解方程2x﹣a＝1，得：x， ∵关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程， ∴3， 解得：0＜a≤5， 即a的取值范围是0＜a≤5． （3）解方程5x+10＝0，得：x＝﹣2， 解方程，得：x＝﹣1， ∵方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程， ∴分为两种情况： ①当k＜﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：x＞1，不符合题意，舍去； ②当k＞﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：k﹣3≤x＜1， ∴根据题意，得：， 解得：﹣2＜k≤1， 即k的取值范围为﹣2＜k≤1． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次方程的解，正确解方程和不等式组是解题的关键 1．（2024春•万州区校级期中）《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意列方程组即可． 【规范解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 由题意得：， 故选：A． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意建立等量关系是关键． 2．（2024春•镇平县期中）如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是1，则这个长方形的面积是（　　） A．143 B．168 C．363 D．572 【思路点拨】设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y，则正方形C的边长为（y﹣1），正方形E，D的边长相等，且为（y﹣1﹣1）或，最小正方形的边长为x﹣y＝1，连接解方程组即可． 【规范解答】解：设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y，则正方形C的边长为（y﹣1），正方形E，D的边长相等，且为（y﹣1﹣1）或，得， 整理得， 整理，得2y﹣x＝5； 又最小正方形的边长为x﹣y＝1， 联立得方程组得， 解得， 故长方形的长为x+y＝13，宽为x+y﹣2＝11， 故长方形的面积为13×11＝143， 故选：A． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 3．（2024春•北京期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克．依据题意，可列方程组为 　　 ． 【思路点拨】结合一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克，可列二元一次方程组即可完成解答． 【规范解答】解：由题意得：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2024春•五华区校级期中）如图，长方形ABCD中放置9个形状，大小完全相同的小长方形，根据图中数据，求出图中阴影面积为 　18　 ． 【思路点拨】设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意，得，结合S阴影＝S长方形ABCD﹣9xy计算即可． 【规范解答】解：设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意得： ， 解得 故S阴影＝S长方形ABCD﹣9xy＝9×7﹣9×5×1＝18， 故答案为：18． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键． 5．（2022春•沙坪坝区校级期中）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2，第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试验田面积的种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为 　4：7　 ． 【思路点拨】设单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数分别为x株、2x株、2x株，第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积分别3y、2y、4y，三种蔬菜种植总面积为a，根据“将余下试验田面积的种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的”列出方程得出a与y的关系，进而用y表示三种蔬菜的总面积，及第二小组辣椒面积，再设第二小组种植黄瓜的面积为m，根据“第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的”列出方程得到m与y的关系，便可用x、y表示出实验田里种植黄瓜和番茄的总株数，进而求得比值． 【规范解答】解：设单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数分别为x株、2x株、2x株，第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积分别3y、2y、4y，三种蔬菜种植总面积为a， ∵将余下试验田面积的种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的， ∴（a﹣3y﹣2y﹣4y）+4ya， 整理得a＝12y， ∴第二小组种植三种蔬菜总面积为：12y﹣3y﹣2y﹣4y＝3y，第二小组种植的辣椒面积为， 设第二小组种植黄瓜的面积为m，则种植蕃茄的面积为3yy﹣my﹣m， ∵第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的， ∴mx+2x（y﹣m）+2xy（3xy+4xy+8xy）， 整理得m＝y， ∴第二小组种植黄瓜的面积为y，则种植蕃茄的面积为y， ∴实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为：， 故答案为：4：7． 【考点评析】本题考查了方程组的应用，关键是抓住题目中的等量关系列出方程，得出各个量的之间的数量关系．数量之间的关系复杂，信息量太多，难度极大， 6．（2018春•滨州期中）若x时，关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为倒数，则a﹣2b＝　11　 ． 【思路点拨】把x，y的值代入方程组中，得到关于a，b的方程组，求解即可． 【规范解答】解：由于x、y互为倒数，x，则y＝2， 代入二元一次方程组， 得， 解得a＝10，b， 则a﹣2b＝11． 故本题答案为：11． 【考点评析】本题的实质是解三元一次方程组，解答此题还要熟悉倒数的概念． 7．（2024春•濮阳期中）阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5 ③ 把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得，x＝4， 所以方程组的解为． 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组． 【思路点拨】方程组中第二个方程变形后，将第一个方程代入求出x的值，进而求出y的值，得到方程组的解． 【规范解答】解： 将方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19． 将方程①代入③，得3×5+2y＝19．y＝2 把y＝2代入①得 x＝3 ∴方程组的解为． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 8．（2019春•沂源县期中）某公园的门票价格如下表： 购票人数 1﹣50人 51﹣100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 实验学校初二（1）、二（2）两个班的学生共104人去公园游玩，其中二（1）班的人数不到50人，二（2）班的人数有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元，如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可节省不少钱，你能否求出两个班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？ 【思路点拨】此题可以设二（1）班有x人，二（2）班有y人．根据共有104人和共付1240元列方程组求解；再进一步根据共有104人，每人按100元以上的票价，即9元．计算出共付的钱数和1240进行比较． 【规范解答】解：设二（1）班有x人，二（2）班有y人 则： 解得： 节省钱数为1240﹣104×9＝304元． 答：两个班各有48人和56人，学生联合起来购票能省304元． 【考点评析】此题要注意理解各个人数段对应的票价． 9．（2024春•丰城市校级期中）如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元． 求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？ （2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？ 【思路点拨】（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨，根据运费＝每吨每千米的运费×运输重量结合这次运输共支出公路运输费960元、铁路运输费1900元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据利润＝销售收入﹣成本﹣运费，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨， 根据题意得：， 解得：． 答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨． （2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）． 答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据利润＝销售收入﹣成本﹣运费，列式计算． 10．（2024春•张店区期中）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　20　 cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【思路点拨】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积； （2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝10cm，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝15cm．根据这两个等量关系可列出方程组； （3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【规范解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴xy＝10×6＝60． 故每个小长方形的面积为60； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为y cm， 则，解得， 则12x+y＝12×1+8＝20． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm． （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得 ， 解得， ∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64． 故答案为：64． 【考点评析】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第2章 二元一次方程组 （知识梳理+易错点拨+19个重难点考点讲练+压轴题专练 共67题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 3 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 3 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 4 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 5 知识点梳理04：三元一次方程组 6 易错点拨 查漏补缺 7 易错知识点01：概念理解偏差 7 易错知识点02：解法操作失误 7 易错知识点03：解的验证疏漏 8 易错知识点04：参数题型处理不当 8 易错知识点05：应用题建模错误 8 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 8 易错知识点07：符号处理与变形错误 8 易错知识点08：特殊题型应对策略 9 重点难点 考点讲练 9 第一部分：常考易考考点讲练 9 考点讲练01:二元一次方程的定义 9 考点讲练02:二元一次方程的解 9 考点讲练03:二元一次方程组的定义 10 考点讲练04:二元一次方程组的解 11 考点讲练05:解二元一次方程组 12 考点讲练06:由实际问题抽象出二元一次方程组 13 考点讲练07:二元一次方程组的应用 14 考点讲练08:解三元一次方程组 16 考点讲练09:三元一次方程组的应用 17 第二部分：二元一次方程组的实际应用 18 考点讲练10:数字问题 18 考点讲练11:鸡兔同笼问题 19 考点讲练12:商品销售问题 20 考点讲练13:行程问题 22 考点讲练14:工程问题 23 考点讲练15:产品配套问题 25 考点讲练16:比赛积分问题 27 考点讲练17:利息税收问题 28 考点讲练18:方案选择问题 29 考点讲练19:同解方程组 30 压轴专练 拔尖冲刺 31 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理04：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 易错知识点01：概念理解偏差 易错点1：混淆方程与方程组 错误表现：将单个二元一次方程误认为方程组，或忽略“两个一次方程组合”这一条件 正确认知：方程组必须包含两个独立的二元一次方程，且两方程需用大括号联立表示（如{x+y=5; 2x-y=1}） 易错点2：忽略定义中的限制条件 典型错误：认为方程xy=3或1/x + y=2是二元一次方程 键点：二元一次方程需满足：①整式方程；②含两个未知数；③未知数最高次数为1 易错知识点02：解法操作失误 代入法常见错误 1. 代入不彻底：仅替换一个未知数后未继续代入原方程 示例：解{y=2x; 3x+y=10}时，代入后应为3x+2x=10，而非保留y 2. 符号处理错误：代入含负号的表达式时漏写括号 加减法典型错误 1. 未对齐系数直接加减：未将两方程同一未知数系数调整为相等或相反数 示例：解{2x+3y=11; 3x-2y=4}时，应先分别乘系数使x或y的系数相同/相反 2. 加减方向混淆：系数相反时用“加”，相同时用“减” 易错知识点03：解的验证疏漏 易错表现： 求出解后未代入所有原方程验证 将非整数解误判为无解 示例：解{x+y=3; 2x+2y=6}得无穷解时，需说明两方程实为同一方程 易错知识点04：参数题型处理不当 易错类型： 1. 忽略系数不为零条件：如已知方程(m-2)x + y=5是二元一次方程，需保证m-2≠0，即m≠2 2. 同解方程问题：已知两方程组同解时，未先解其中一个方程组再代入另一个求参数 例题：若{x+y=3; ax+by=4}与{x-y=1; bx+ay=5}同解，需先求x=2,y=1再代入求a,b 易错知识点05：应用题建模错误 易错表现： 1. 设元不当：未用两个不同字母表示两个未知量（如设“男生x人，女生(50-x)人”导致方程退化为一元一次） 2. 等量关系遗漏：应用题中含两个独立条件却只列出一个方程 示例：鸡兔同笼问题需同时满足“头数总和”与“脚数总和” 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 易错点： 1. 消元目标不明确：未优先消去系数较简单的未知数 2. 步骤跳步导致错误：三元转二元时，未保留中间方程组直接求解 正确步骤： ① 消去同一未知数得两个新二元方程； ② 解新方程组后再回代45 易错知识点07：符号处理与变形错误 常见错误： 1. 移项时符号错误：如将-2x + y = 4移项得y = 2x +4（正确应为y=2x+4） 2. 去括号漏乘系数：解3(x-2y) = 2y+1时误展开为3x-2y = 2y+1（正确应为3x-6y=2y+1） 易错知识点08：特殊题型应对策略 易错题型1：系数轮换问题 示例：解{ax+by=c; bx+ay=d}时未利用对称性简化计算 技巧：两式相加得(a+b)(x+y)=c+d，两式相减得(a-b)(x-y)=c-d 易错题型2：错解问题 题目：甲解方程组{ax+by=2; cx-7y=8}时误抄c得解x=3,y=2，乙未抄错得解x=-2,y=2，求正确值 策略：甲的错解满足第一个方程，乙的正确解满足所有方程，联立求a,b,c 第一部分：常考易考考点讲练 考点讲练01:二元一次方程的定义 【例题精讲】（2024春•临湘市期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C．x2﹣y＝2 D． 【训练1】（2024春•绥化期中）若（a﹣1）x+4y|a|＝3是关于x，y的二元一次方程，则a＝ 　　 ． 【训练2】（2021春•红谷滩区校级期中）已知方程（2m﹣6）x|m﹣2|+（n﹣2）﹣3＝0是二元一次方程，求m，n的值． 考点讲练02:二元一次方程的解 【例题精讲】（2024春•鹿城区校级期中）若是x，y的二元一次方程﹣x+3y＝﹣1的解，则a的值为（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7 【训练1】（2024秋•蚌埠期中）定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”： 　 ． （2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 【训练2】（2023秋•蓬江区校级期中）把y＝ax+b（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝2． （1）求“雅系二元一次方程”y＝5x﹣6的“完美值”； （2）x＝﹣3是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值． （3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程”与y＝3x﹣n+1（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 考点讲练03:二元一次方程组的定义 【例题精讲】（2024春•阳谷县期中）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2021春•林州市期中）已知方程组是二元一次方程组，求m的值． 【训练2】（2023春•泸县校级期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1） ； （2）． 考点讲练04:二元一次方程组的解 【例题精讲】（2024春•威海期中）已知关于x，y的方程组有以下结论，其中错误的是（　　） ①当k＝0时，方程组的解是 ②当x+2y＝0，则k＝3； ③不论k取什么实数，x+y的值始终不变 ④方程组的解为 A．① B．② C．③ D．④ 【训练1】（2024春•中山市校级期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由． （2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 【训练2】（2023春•秦州区校级期中）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求m，n的值． 考点讲练05:解二元一次方程组 【例题精讲】（2024春•临沭县期中）以下解方程组的步骤正确的是（　　） A．代入法消去b，由①得b＝2a﹣7 B．代入法消去a，由②得a＝b+2 C．加减法消去b，①+②得a＝5 D．加减法消去a，①﹣②×2得﹣3b＝3 【训练1】（2024春•来宾期中）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（　　） A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 【训练2】（2024春•临海市期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）求a、b的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD＝20°，求∠BAC的度数； （3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 考点讲练06:由实际问题抽象出二元一次方程组 【例题精讲】（2024春•石家庄期中）某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（　　） 甲 解：设A印刷机印制了xh， B印刷机印制了yh． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了m份， B印刷机印制了n份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【训练1】（2024春•北京期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克．依据题意，可列方程组为 　 ． 【训练2】（2024春•临湘市期中）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长350米的河边道路整治任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 根据甲、乙两位同学所列的方程组，请分别指出其中未知数x表示的意义： 甲：x表示 ； 乙：x表示 　 ． （2）从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，将其补全，并利用此方程组求出A，B两个工程队分别整治河边道路多少米． 考点讲练07:二元一次方程组的应用 【例题精讲】（2024春•万州区校级期中）《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2017春•宁海县校级期中）七年级某班的一个综合实践活动小组去A、B两个超市调查去年和今年“春节”期间的销售情况，如图是调查后小敏与其它两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出A、B两个超市今年“春节”期间的销售额． 【训练2】（2024春•秦安县期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　　 张，正方形铁片 　　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 考点讲练08:解三元一次方程组 【例题精讲】（2024春•牟平区期中）三元一次方程组消去未知数c后，所得二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2024春•文登区期中）解方程组： （1） ； （2） ； （3） 解三元一次方程组：． 【训练2】（2021春•香洲区校级期中）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： 请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组 （2）已知x、y、z，满足试求z的值． 考点讲练09:三元一次方程组的应用 【例题精讲】（2024春•青神县期中）现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 元． 【训练1】（2023春•樊城区期中）某生鲜店推出了A、B、C三类蔬菜包以方便居家生活的市民购买，A、B、C三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋A蔬菜包有5公斤萝卜、4公斤白菜、6公斤洋葱；每袋C蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为30%，每袋B的成本是其售价的，每袋C的利润是每袋A利润的．若该生鲜店1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为2：1：3，则当天该生鲜店销售A、B、C三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 　　 ． 【训练2】（2024春•鲤城区校级期中）问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则x﹣y的值为 　　 ． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （4） 某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景﹣共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 第二部分：二元一次方程组的实际应用 考点讲练10:数字问题 【例题精讲】（2024春•德化县期中）已知是二元一次方程2x﹣5y＝7的一个解，则代数式9﹣4a+10b的值为 　 　 ． 【训练1】（2024春•凤台县期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为． （1）求a、b的值； （2）乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？ 【训练2】（2024春•石家庄期中）某校七年级（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品经与店家沟通交流，小文获知了如表信息： 数量 方式 购买笔的数量（本） 大本子的数量（本） 小本子的数量（本） 所剩的钱数（元） 方式一 36 0 0 2 方式二 38 0 0 ﹣9** 方式三 0 12 8 0 方式四 0 10 10 10 **注意是负数! （1）求小文所带班费的数量； （2）求大、小本子每本的售价； （3）起初，小文原计划购买上述三种文具各6个作为奖品，但店家对小文推销说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大小本子各10本，付钱时，店家说：“你很有经济头脑，我现在的利润只比刚才的利润多10元，但你却多买了很多东西”，根据以上信息求出小文实际购买文具的成本．（已知一支笔的成本为4元） 考点讲练11:鸡兔同笼问题 【例题精讲】（2024春•桂平市期中）大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？设鸡有x只，兔有y只，列方程组得（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2024春•三台县期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【训练2】（2022春•兴安县校级期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？ 考点讲练12:商品销售问题 【例题精讲】（2024春•东莞市校级期中）某校为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球，若购买3个足球和2个篮球共需210元，购买2个足球和1个篮球共需130元，请问购买一个足球，一个篮球各需多少元？ 【训练1】（2024春•高密市期中）某超市购进A，B型两种大米进行销售，其中两种大米的进价、售价如表： 大米种类 进价（元/袋） 售价（元/袋） A型 25 35 B型 30 42 （1）已知购进A，B型两种大米共100袋，进货款恰好为2800元，求这两种大米各购进多少袋？ （2）若售出两种大米的销售总额为1400元，求售出的大米的进货款为多少元？ 【训练2】（2023春•邓州市期中）互联网时代人们的购物方式有了更多的选择，某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价多12元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费264元（免运费）． 请解答下列问题： （1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过4550元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了5个书包，获利658元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 考点讲练13:行程问题 【例题精讲】（2023春•昆明期中）A市至B市的航线长9750km，一架飞机从A市顺风飞往B市需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h，求飞机的平均速度与风速？ 【训练1】．（2017春•崇川区校级期中）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h． 请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程． 【训练2】（2024春•海珠区校级期中）列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 （1）求出x，y的值； （2）周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了15公里，用时12分钟，那么小华的打车总费用为多少元？ 考点讲练14:工程问题 【例题精讲】（2023春•南召县期中）随着康养医疗社会需求的进一步增大，某康养中心正在扩大规模，准备装修一批新房舍．若甲、乙两个装修公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，康养中心研究后决定只选一个公司单独完成（工作总量为1）． （1）设甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 　　 ； （2）如果从节约时间的角度考虑，你帮康养中心确定一下，应选哪家公司？请说明理由； （3）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由． 【训练1】（2023春•上城区校级期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长390米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治18米，乙工程队每天整治24米． （1），共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 ②小华同学：设整治任务完成后，m表示 　 ，n表示 　 　 ； 则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． （2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． （3）若要使工程总时间少于20天，应怎样分配甲乙两队的工程量？ 【训练2】（2016春•迁安市期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问： （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ （3）若装修完后，商店每天可盈利200元，现有三种方案：①甲组单独做；②乙组单独做；③甲、乙组同时做，你认为哪一种施工方案更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 考点讲练15:产品配套问题 【例题精讲】（2024春•南关区校级期中）某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2024春•滨海新区校级期中）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？ 【训练2】（2022春•鹿城区校级期中）2022杭州亚运会吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，某厂家需要制作吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个为一组的礼盒套装若干套． 已知甲、乙、丙三个小组每天可完成的数量如下： 琮琮（个） 莲莲（个） 宸宸（个） 甲组 15 ﹣ 10 乙组 ﹣ 25 10 丙组 5 10 20 （1）如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配 　 　 个套装． （2）若现已有20个琮琮，厂家还需安排甲组工作x天，乙组工作y天，恰好可以搭配成若干个套装． ①请填写下表：（用x，y的代数式表示） 琮琮（个） 莲莲（个） 宸宸（个） 15x+20 　 　 　 　 ②结合上表，列方程组，求一共可以搭配多少个套装？ （3）若现已有100个琮琮，甲、乙两组分别生产a天，b天后被委派其他任务，此时该工作由丙组接替完成，要使吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，则甲组至少要生产 　　 天，共可搭配 　 个套装． 考点讲练16:比赛积分问题 【例题精讲】（2023春•二道区校级期中）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如图． （1）求掷到A区和B区的得分分别是多少？ （2）直接写出小明的得分是 　　 分． （3）若小红投掷了10次有效飞镖，想要得分不低于92分，请你求出她至少要掷到A区多少次？ 【训练1】（2020春•梁溪区期中）今年学校举行足球联赛，在第一阶段的比赛中，每队都进行了8场比赛，小虎足球队胜了4场，平2场，负2场，得14分；小豹足球队胜了6场，平1场，负1场，得19分．已知，记分规则中，负1场得0分． （1）求胜1场、平1场各得多少分？ （2）足球联赛结束后，小狮足球队共参加了17场比赛，得了24分，且踢平场数是所胜场数的正整数倍，请你想一想，小狮足球队所负场数有 　　 种可能性． 【训练2】（2024春•鲤城区校级期中）我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分． （1）求小明所在班级胜、负的场次各是多少； （2）根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？ 考点讲练17:利息税收问题 【例题精讲】（2021春•荆州期末）某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出3.2万元利息．已知甲种贷款每年的利率为4.5%，乙种贷款每年的利率为5%，则该公司申请的甲种贷款的数额为 　　 万元． 【训练1】（2019春•古冶区期末）某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，还贷期间每年需付出8.42万元利息．已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司乙种贷款的数额 　 万元． 【训练2】（2013春•沿滩区校级期中）蔬菜种植专业户王先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请甲、乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲、乙两种贷款分别是 　　 万元和 　　 万元． 考点讲练18:方案选择问题 【例题精讲】（2024春•岑溪市期中）某中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树和3棵香樟树共需460元，购买3棵桂花树和2棵香樟树共需440元． （1）求桂花树和香樟树的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共130棵，总费用不超过12000元，且购买香樟树的棵数不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案． 【训练1】（2024春•鲤城区校级期中）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【训练2】（2022春•莲都区校级期中）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150＜a＜171，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 考点讲练19:同解方程组 【例题精讲】（2024春•上城区校级期中）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（　　） ①当a＝1时，方程组的解也是方程2x﹣y＝3.5的解； ②当x＝y时，a＝﹣2.5； ③不论a取何值，3x+y的值始终不变； ④设z＝x（y﹣1），则z的最大值为3． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【训练1】（2024春•瑞安市期中）若关于x、y的方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　 ． 【训练2】（2023春•泉州期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的相伴方程． （1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； （3）若方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程，求k的取值范围． 1．（2024春•万州区校级期中）《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•镇平县期中）如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是1，则这个长方形的面积是（　　） A．143 B．168 C．363 D．572 3．（2024春•北京期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克．依据题意，可列方程组为 　　 ． 4．（2024春•五华区校级期中）如图，长方形ABCD中放置9个形状，大小完全相同的小长方形，根据图中数据，求出图中阴影面积为 　　 ． 5．（2022春•沙坪坝区校级期中）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2，第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试验田面积的种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为 　 ． 6．（2018春•滨州期中）若x时，关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为倒数，则a﹣2b＝　　 ． 7．（2024春•濮阳期中）阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5 ③ 把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得，x＝4， 所以方程组的解为． 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组． 8．（2019春•沂源县期中）某公园的门票价格如下表： 购票人数 1﹣50人 51﹣100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 实验学校初二（1）、二（2）两个班的学生共104人去公园游玩，其中二（1）班的人数不到50人，二（2）班的人数有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元，如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可节省不少钱，你能否求出两个班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？ 9．（2024春•丰城市校级期中）如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元． 求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？ （2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？ 10．（2024春•张店区期中）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　20　 cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$