精品解析：2025年上海市文来中学习九年级数学限时练习

2025年上海市文来中学习九年级数学限时练习 一．选择题（每题4分，满分20分） 1. 下列式子从左边至右边变形错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，有实数解的是（ ） A. B. C. D. 3. 某实验中学有A，B，C三个阅览室，甲、乙两名同学先后随机选择其中的一个阅览室去阅读，则两人恰好在不同的阅览室阅读的概率为（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线通过下列平移，得到抛物线．正确的是（ ） A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． B. 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． C. 先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． D. 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． 5. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. 6 B. C. D. 6. 如图，是的半径，以为直径的与的弦相交于点D，则与的大小关系（　　） A. B. C. D. 无法判断 二．填空题（每小题4分，满分48分） 7. 因式分解：9a3-ab2=___________． 8. 若式子有意义，则的取值范围是______． 9. 方程的解是______． 10. 如果不等式组的解集为，那么的取值范围为_______ ． 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“>”连接的结果为________． 12. 根据统计图，回答问题：该超市10月份的水果类销售额_____（填“”“=”或“”）11月份的水果类销售额． 13. 一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是__________． 14. 在平行四边形中，______． 15. 如果用表示摄氏温度，表示华氏温度，那么与之间的关系是：，已知，则______． 16. 一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为______． 17. 如图，已知，是正六边形的两条对角线，点，分别为线段，上的点，且有，，若，，三点共线，则 ______． 18. 正方形的边长为，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处，连接并延长交正方形一边于点．当时，则的长为__________． 三．解答题（共7小题，满分78分） 19. 计算：（﹣）0+（）﹣1﹣|tan45°﹣| 20. 已知一元二次方程的求根公式为，当是一元二次方程的两根时，则有：①；②． 【结论证明】请在中选择一个结论进行证明； 【知识应用】若是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值； 【类比拓展】若是一元三次方程的三个根，则原方程可变形为，则有：，，，．已知一元三次方程的三个根分别为，求的值． 21. 如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，且，求的半径与线段的长． 22. 根据以下素材，完成探索任务． 判断车辆是否因超速被罚款？ 素材一 我国高速公路上的隧道通常限速80千米/小时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在标识与隧道口之间的途中会有雷达测速仪测速，且测速时有闪光．根据交规，若超速以上未达的，处以200元以内罚款． 素材二 在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，函数图象与横轴以及直线，所围成的图形（如图的阴影部分）面积的数值等于物体从到这个时间段的运动距离． 素材三 雷达测速仪是安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速． 素材四 速度1米/秒千米/小时，某车以108千米/小时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前500米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时间． 问题解决 任务一 直接写出该车车头进入隧道口时的速度为 米/秒 任务二 当第一次闪光时，车速已经降到了90千米/小时，求时间． 任务三 从第一次闪光后到第二次闪光时，该车又前进了96米，从平均车速考虑，此次该车是否会因超速而被罚款？请通过计算说明理由． 23. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 24. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 25. 学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及证明： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P 的的切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以点M为圆心，为半径画圆，交于A，B两点（点A在上方）； ③连接，直线即为的切线． （1）利用尺规作图法按上述步骤作图（保留作图痕迹）； （2）求证：为的切线； （3）连接，并延长与的延长线交于点C，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上海市文来中学习九年级数学限时练习 一．选择题（每题4分，满分20分） 1. 下列式子从左边至右边变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C. ，正确，不符合题意； D. ，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 2. 下列方程中，有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先逐个分析每一项，A项经过移项可以看出等号的左边为非负数，等号的右边为负数，所以等式不成立，即无实数解，B有实数解，C项解得x＝2，经检验x＝2使分母等于0，即本方程无实数解，D项方程经过整理，判别式小于0，无实数解． 【详解】A项经过移项得，可看出等号的左边为非负数，等号的右边为负数，所以等式不成立，即无实数解，故本选项错误； B项两边平方化为，解得x= ，而x≤1，故方程有实数解，此选项正确； C项解得x＝2，经检验x＝2使分母等于0，即本方程无实数解，故本选项错误； D项判别式△=-3<0，无实数解，此选项错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查无理方程和分式方程的意义，关键在于根据无理方程和分式方程的意义认真分析每一项． 3. 某实验中学有A，B，C三个阅览室，甲、乙两名同学先后随机选择其中的一个阅览室去阅读，则两人恰好在不同的阅览室阅读的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．根据题意，画出树状图，再根据概率公式，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出树状图，如下： 一共有9种等可能结果，甲、乙两人恰好在不同的阅览室阅读有6种可能， ∴甲、乙两人恰好在不同的阅览室阅读的概率是． 故选：C． 4. 抛物线通过下列平移，得到抛物线．正确的是（ ） A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． B. 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． C. 先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． D. 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． 【答案】C 【解析】 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点，即可判断是如何平移得到． 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移的知识，解题关键是掌握的平移规律和求出关键点顶点坐标． 5. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得， 故选：C 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是掌握相关性质，正确列出式子． 6. 如图，是的半径，以为直径的与的弦相交于点D，则与的大小关系（　　） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据为的直径，可得，再由垂径定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． 二．填空题（每小题4分，满分48分） 7. 因式分解：9a3-ab2=___________． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：a(9a2-b2)= 8. 若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数为非负数即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的分母不能为0、二次根式的被开方数为非负数，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键． 9. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的步骤是解题的关键．先把无理方程转换为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同时平方，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是， 故答案为：． 10. 如果不等式组的解集为，那么的取值范围为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解集情况，熟练掌握不等式组的解集取值方法是解题的关键． 根据不等式组解集情况分析求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“>”连接的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．根据得到反比例函数图象经过第一、二象限，且在每个象限内随增大而减小，进而得到点，在第一象限，在第三象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点，在第一象限，在第三象限， ∵， ∴，即 故答案为：． 12. 根据统计图，回答问题：该超市10月份的水果类销售额_____（填“”“=”或“”）11月份的水果类销售额． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查从统计图种提取信息．根据统计图，分别求出该超市10月份的水果类销售额与11月份的水果类销售额，比较大小即可． 【详解】解：10月份的水果类销售额为：（万元）， 11月份的水果类销售额为：（万元）， ∵， ∴该超市10月份的水果类销售额11月份的水果类销售额． 故答案为：． 13. 一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根． 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16， 即， ， 则的平均数 ， 另一组数据的方差 ， ∴标准差． 故答案为：12． 14. 在平行四边形中，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形法则进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴ ∴ ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的线性计算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 15. 如果用表示摄氏温度，表示华氏温度，那么与之间的关系是：，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据所给的与的关系式，将的值代入所给的关系式，即可得到对应的的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时， ， 解得：， 故答案为：． 16. 一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先利用内角和公式求出正多边形的边数，进而求出每一个内角的度数即可，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由题意得，， ∴， ∴正多边形是正五边形， ∴它的每一个内角为， 故答案为：． 17. 如图，已知，是正六边形的两条对角线，点，分别为线段，上的点，且有，，若，，三点共线，则 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查的是正多边形与圆、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 设正六边形中心为，连接交于，连接、，由正六边形的性质可知，直线为正六边形的对称轴，由正多边形性质可得是等边三角形，设正六边形边长为，由正多边形的性质及勾股定理得，作于点，然后由相似三角形的判定与性质可得答案． 【详解】解：设正六边形中心为，连接交于，连接、，作于点， 由正六边形的性质可知，直线为正六边形的对称轴， ，，，， 是等边三角形， 设正六边形边长为， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得负值舍去， ． 故答案为：． 18. 正方形的边长为，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处，连接并延长交正方形一边于点．当时，则的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当在上时，根据四边形是正方形，，得四边形是平行四边形，又将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处，可得，故；当在上时，过作于，可证明（），从而推得，是的中位线，，设则，可得，解得，即可得到答案． 【详解】解：当在上时，如图： 四边形是正方形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， 将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处， ，， ， ， ， 正方形的边长为， ； 当在上时，过作于，如图： 四边形是正方形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 是的中位线，， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得， ， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题（共7小题，满分78分） 19. 计算：（﹣）0+（）﹣1﹣|tan45°﹣| 【答案】2+． 【解析】 【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，二次根式的性质、特殊角的三角函数值以及绝对值的定义解答即可． 【详解】原式=1+3×﹣︳1﹣︳ =1+2﹣+1 =2+． 【点睛】本题考查了实数的混合运算．掌握0次幂，负指数幂及特殊角的三角函数以及绝对值的定义是解答本题的关键． 20. 已知一元二次方程的求根公式为，当是一元二次方程的两根时，则有：①；②． 【结论证明】请在中选择一个结论进行证明； 【知识应用】若是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值； 【类比拓展】若是一元三次方程的三个根，则原方程可变形为，则有：，，，．已知一元三次方程的三个根分别为，求的值． 【答案】 [结论证明] 证明：，， ， ； [知识应用]47； [类比拓展]4 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，高次方程，乘法完全平方公式，代数式求值，根据所给的结论，能够灵活应用结论是解题的关键． [结论证明]求出两个根，分别求和与积即可； [知识应用]利用根与系数的关系可得，再由代入求值即可； [类比拓展]根据已知可得，再求 【详解】解：[结论证明]略 [知识应用] ， ， ； [类比拓展] ， ， ． 21. 如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，且，求的半径与线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ， ． ， ． ． ∴, ， ． 是的半径， 是的切线； （2）的半径为6， 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理列出比例式即可求得圆的半径，利用相似三角形的判定和性质列出比例式即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， ，， ， ． 即的半径为6． ， ， ． ，， ∴， ∴， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定和性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 22. 根据以下素材，完成探索任务． 判断车辆是否因超速被罚款？ 素材一 我国高速公路上的隧道通常限速80千米/小时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在标识与隧道口之间的途中会有雷达测速仪测速，且测速时有闪光．根据交规，若超速以上未达的，处以200元以内罚款． 素材二 在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，函数图象与横轴以及直线，所围成的图形（如图的阴影部分）面积的数值等于物体从到这个时间段的运动距离． 素材三 雷达测速仪是安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速． 素材四 速度1米/秒千米/小时，某车以108千米/小时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前500米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时间． 问题解决 任务一 直接写出该车车头进入隧道口时的速度为 米/秒 任务二 当第一次闪光时，车速已经降到了90千米/小时，求时间． 任务三 从第一次闪光后到第二次闪光时，该车又前进了96米，从平均车速考虑，此次该车是否会因超速而被罚款？请通过计算说明理由． 【答案】任务一：；任务二：当时，；任务三：该车未超速，故此次该车不会因超速而被罚款 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解“图形面积的数值与运动距离”以及“用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速”是解题的关键． 任务一：设当该车进入隧道时的速度为，根据题意列出一元一次方程，即可求解； 任务二：设，利用待定系数法求得，计算当时，即可求解； 任务三：设第二次闪光与第一次闪光的时间差为，对应的速度为，利用梯形面积公式求得的值，据此求解即可． 【详解】解：任务一：设当该车进入隧道时的速度为，由题意得： ， 解得； 任务二：设， 把，代入，得：， 解得， ， 千米小时， 当时，； 任务三：此次该车会因超速而被罚款，理由如下： 设第二次闪光与第一次闪光的时间差为，对应的速度为， 则， 由梯形面积得， 解得或（舍）， 千米/小时， ， 该车未超速，故此次该车不会因超速而被罚款． 23. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 【答案】（1） 证明：， ， 在和中，， ， ． （2） 证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 24. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2）（ⅰ），当时，， 点坐标为， 当时，，解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形； （ⅱ）或或或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：（ⅰ）略 （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 25. 学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及证明： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P 的的切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以点M为圆心，为半径画圆，交于A，B两点（点A在上方）； ③连接，直线即为的切线． （1）利用尺规作图法按上述步骤作图（保留作图痕迹）； （2）求证：为的切线； （3）连接，并延长与的延长线交于点C，若，，求的长． 【答案】（1） 解：如图所示，直线即为圆的切线； （2） 证明：连接， ∵为的直径， ∴ ． ∴ ， 又∵是的半径， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，切线的判定，圆周角定理及相似三角形判定与性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据题意作图即可； （2）是的直径得出圆周角，则，进而得出结论； （3）先证明，得出，再证明求出，进而求出，即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设与交于点H， 由题意得即为的切线， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ，即， ， 在中，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $