三角函数与解三角形高频考点归纳练-2025年高考数学二轮复习

三角函数与解三角形 1．已知、、分别为三个内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，求外接圆的面积． 2．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． (1)求； (2)若的面积为，是上的点，且，求的长． 3．在中，内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)若，求的面积． 4．在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c. (1)若，，，求的周长； (2)若点D是边上一点，且，，，求的长. 5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围． 6．已知，，分别是的内角，，的对边，且． (1)求； (2)若是边上一点，且，，求的值． 7．已知在中，角所对的边分别为，若． (1)求角； (2)若点在线段上，且，求的长度. 8．在中，角所对的边分别是，且满足 (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值； (3)求的取值范围. 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有. (1)求角A； (2)若△ABC的面积为，，求△ABC的周长. 10．在中，内角，，的对边分别为，，，，. (1)若，求，； (2)求的取值范围. 注：. 参考答案 1．(1) (2) （1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的范围即得； （2）利用正弦定理求出外接圆的半径，结合圆的面积公式可求. （1）因为，由正弦定理可得， 即，即， 因为、，所以，，，则有，故. （2）设外接圆的半径为，由正弦定理，，故， 因此，外接圆的面积为. 2．(1) (2) （1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长. （1）因为，所以，，即， 因为，则，即，故， 由余弦定理可得. （2）因为，则， 因为，可得， 因为，，故，，， 是上的点，且，则，， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 3．(1)见解析 (2) （1）根据正弦定理以及和差角公式即可证明. （2）根据正弦定理求得，再根据余弦定理求出，利用面积公式求出的面积. （1）因为， 根据正弦定理得： 又，所以， 所以， 即， 所以，或（舍）， 所以. （2）根据正弦定理得，即， 有余弦定理，得， 解得或， 当时，，，，则，， 而，矛盾，舍去，故， 所以的面积为 4．(1) (2)1 （1）由，，可得，从而得的值，再根据正弦定理转化即可求的周长； （2）设，结合余弦定理列方程求解即可得的值，从而得结论. （1）因为，， 所以. 由正弦定理，得， 所以. （2） 设，在三角形与三角形中分别使用余弦定理得， ，， 即①，②， ①×2＋②得，， 因为，所以，解得， 即的长为1. 5．(1)证明见解析 (2) （1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明； （2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，在中利用正弦定理求得关于角的表达式，构造函数，利用函数的单调性求解即可. （1）因为，由正弦定理有：， 所以， ， ， ， 因为、，所以， 又因为，所以，所以， 因为， 所以有：，，或，（舍）， 所以得证. （2）因为是锐角三角形，，所以， 所以，解得， 因为为的平分线，且， 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理有：，即， 所以 ， 因为，所以， 令，则，， 令，， 根据函数解析式，在上单调递减， 因为，，所以， 所以. 6．(1) (2) （1）利用余弦定理化简已知条件，从而求得. （2）利用三角恒等变换求得，利用正弦定理列方程来求得. （1）由得， 由余弦定理得，∵，∴． （2）设，∵，∴， ∴， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， ∵，∴， ∴， ∴． 7．(1)或． (2) （1）由可得答案； （2）根据的值和，求出，再由正弦定理可得答案． （1）由得，， 因为，所以或； （2）当时，因为，所以为等边三角形， ，不符合题意； 当时，因为，所以， 由正弦定理得得． 所以的长度为． 8．(1) (2) (3) （1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可； （2）根据余弦定理结合基本不等式求得，利用三角形面积公式进行求解即可； （3）根据将式子化简成只关于角A的函数，然后利用换元的方法，结合二次函数性质求解值域即可． （1）由正弦定理得，即， 因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以. （2）由余弦定理得： ，代入得：， 根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立， 的面积为：，故面积的最大值为. （3） 令，则， 所以可化为： 因为， 由二次函数的图像性质得到， 当时，原式大于， 当时，原式取得最大值， 故的取值范围为 9．(1) (2) （1）由正弦定理结合两角和的正弦函数公式化简已知可得，由为三角形内角，结合范围，即可求得的值． （2）由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值，即可得解的周长． （1）因为. 由正弦定理得， 计算得，化简得 而，所以 又因为，则，， 所以，得； （2）∵的面积为，∴，由（1）知，∴， 由余弦定理得：， ∴，解得， ∴的周长为. 10．(1)， (2) （1）先利用余弦定理求出三角形的边、的值，再通过正弦定理将边转化为角，（2）利用三角函数的和角公式化简式子，最后根据角的范围，借助三角函数求出式子的取值范围. （1）因为，，， 由余弦定理得， 所以， 解得， 所以. （2）因为，所以，， 所以 ， 因为，所以， 所以， 即， 即的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$