精品解析：江苏省宿迁市沭阳县乡镇联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度九年级第二学期阶段性调研测试 数 学 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：的倒数为， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，计算正确，故选项符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. 与不是同类项，不能合并，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项等知识点，熟练掌握幂的运算法则及整式的运算法则是解题的关键． 3. 已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是【 】 A. 平均数是9 B. 中位数是9 C. 众数是5 D. 极差是5 【答案】D 【解析】 【详解】分别计算该组数据的平均数、中位数、众数及极差后即可得到正确的答案 平均数为（12+5+9+5+14）÷5=9，故选项A正确； 重新排列为5，5，9，12，14，∴中位数为9，故选项B正确； 5出现了2次，最多，∴众数是5，故选项C正确； 极差为：14﹣5=9，故选项D错误． 故选D 4. 如图，在中，弦，连接，，．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等等知识点，添加适当辅助线构造等边三角形是解题的关键． 连接，由两直线平行内错角相等可得，由圆周角定理可得，由，可得，由此可证得为等边三角形，于是可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ，而， ， 为等边三角形， ， ， 故选：． 5. 下列关于直线y＝3x﹣3的性质说法不正确的是（ ） A. 不经过第二象限 B. 与y轴交于点（0，﹣3） C. 与x轴交于点（﹣1，0） D. y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵直线y＝3x﹣3中，， ∴直线y＝3x﹣3的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，不符合题意； B、令，则，即与y轴交于点（0，﹣3），不符合题意； C、令，则， ，即与x轴交于点（1，0），符合题意； D、∵直线y＝3x﹣3中，， ∴y随x的增大而增大，不符合题意； 故选:C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟知一次函数图象的性质是解题的关键． 6. 某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. 144（1﹣x）2=100 B. 100（1﹣x）2=144 C. 144（1+x）2=100 D. 100（1+x）2=144 【答案】D 【解析】 【分析】2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：2012年的产量为100（1+x）， 2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2， 即所列的方程为100（1+x）2=144， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键． 7. 如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点的变化特点，利用数形结合的思想解答，每秒旋转，则8次一个循环，，第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上，由此可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形， ， 每秒旋转，8次一个循环，， 第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上， 点的坐标为． 故选：B． 8. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），且顶点在第一象限，那么下列结论：①a+c=b；②x=-1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc>0；④c﹣a＞2，其中正确的结论为（） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入解析式可判断①；由对称性可得另一个交点为，可判断②；由开口方向可判断，根据对称轴，可判断，根据即可判断③，由可判断④． 【详解】解：①抛物线经过点， ， ，故①正确； ②抛物线经过点， 故②正确； ③由抛物线开口向下可得由对称轴为x>0， ， 与轴交于（0，2），， abc<0， 故③不正确； ④抛物线与y轴交于， c＝2， a＜0， ，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，根与系数关系，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的算术平方根是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 先计算，然后计算9的算术平方根即可得出答案． 【详解】解：，9的算术平方根是， ∴的算术平方根是3， 故答案为：3． 10. 光速是每秒30万公里，每小时1080000000公里，用科学记数法表示1 080 000 000是____________ 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数． 【详解】解：1 080 000 000=1.08×109， 故答案为：1.08×109． 【点睛】本题主要考查科学记数法．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式，进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 若圆锥的侧面积为，底面半径为5，则该圆锥的母线长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积，列出方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面积为，底面半径为5， ∴． 解得：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解． 13. 在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，得到点，再将点向右平移3个单位，得到点，则点的坐标为__________． 【答案】(-2，1) 【解析】 【分析】设P点坐标为(x，y)，根据关于轴对称的点的坐标特征和平移的方式可得(x+3，-y)，从而可求出x和y的值，即得出P点坐标． 【详解】设P点坐标为(x，y)， 根据关于轴对称的点的坐标特征可得(x，-y)， 再根据点向右平移3个单位，得到点，则(x+3，-y)， ∴x+3=1，-y=-1， 解得：x=-2， y=1， ∴点的坐标为(-2，1)． 故答案为：(-2，1) 【点睛】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，点的平移．熟练掌握轴对称变换和平移的特点是解题关键． 14. 已知，则代数式的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】将已知代数式的值整体代入求解即可． 【详解】 故答案为：3 【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，轴，则菱形ABCD的周长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标，再利用勾股定理或两点间的距离公式计算出线段AB的长，最后利用菱形的性质计算周长即可． 【详解】解：令，得，解得，∴ ，OA=3． 令，得，∴，OB=4 ． 在中，． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA． ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题是一道函数与几何的综合题．重点考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求法，两点间的距离公式（或勾股定理），菱形的性质．如果是使用两点间距离公式，注意公式的正确使用：设点，，则A、B两点间的距离为． 16. 若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据关于x方程的解是，，令关于y的方程中，即可得到，解这个方程组即可得到答案． 【详解】解：关于x的方程的解是，， 令，则或，解得，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义，令关于y的方程中是解决问题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数，的图像分别经过点，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，易证△OCB∽△ADO，利用相似三角形的性质可得面积比，从而可求出k的值． 【详解】如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C， ∵，的图像分别经过点，， ∴ ∵ ∴△OCB∽△ADO ∴ ∴ ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数问题、相似三角形的判定与性质，构造K型相似是解决本题的关键． 18. 如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE=CB,连接AE，以AE为腰，A为顶角顶点作等腰Rt△ADE，连接CD，当CD最大时，∠DEC=_______. 【答案】67.5° 【解析】 【详解】试题解析：如图所示： 作以AC边为直角边的等腰直角三角形FAC,并连接DF,BE， ∵∠DAF+∠FAE=∠BAE+∠FAE=90° ∴∠DAF =∠BAE 有∵DA=EA,FA=CA 则△DAF≌△EAC ∴DF=EC，∠DFA=∠ECA 又∵DF+FC≥DC且DF,FC为定值， ∴点D,F,C三点共线时，DC最长，此时∠DFA=135° ∵AC=CE=BC 所以三点在以C为圆心的圆上, ∵∠ECA=∠DFA=135°， 故答案为: 三、解答题（本大题共10题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解： ＝4+1+3﹣2×1 ＝8﹣2 ＝6． 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等知识点的运算． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后将代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，连接，证明四边形为平行四边形即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵相交于点， ∴． 22. 2022年，中国航天继续“超级模式”：全面建成空间站、宇航发射次数“50＋”……某中学科技兴趣小组为了解本校学生对我国航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的人数为______人；补全图1条形统计图； （2）扇形统计图中“关注”对应扇形的圆心角为______°． （3）该校共有1000人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？ 【答案】（1）50；图见解析 （2） （3）920人 【解析】 【分析】（1）根据比较关注的人数和所占的百分比即可得出调查的总人数；用总人数减去其它调查的人数，求出非常关注的人数，从而补全统计图； （2）360°乘以“关注”的比例即可得到“关注”对应扇形的圆心角度数； （3）样本估计总体，样本中“关注”，“比较关注”及“非常关注”的占比92%，乘以该校人数1000人即可求解． 【小问1详解】 解：此次调查中接受调查的人数为：（人）， 故答案为：50； 非常关注的人数有：（人）， 补全统计图如图所示： 【小问2详解】 解：扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为：． 故答案为：43.2； 【小问3详解】 解：根据题意得：（人）． 答：估计该校“关注”“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有920人． 【点睛】此题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． 23. 如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需要重新转动转盘）． （1）转动甲转盘，指针指向数字5的概率是______； （2）当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y，求点落在平面直角坐标系第一象限内的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图可得，所有等可能结果共有9种，其中点在平面直角坐标系第一象限内共有4种，利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 甲转盘被分成3个面积相等的扇形，其中，数字5所在扇形占一份， 指针指向数字5的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 所有等可能结果共有9种，其中点在平面直角坐标系第一象限内共有4种， ∴P（点落在平面直角坐标系第一象限内）． 答：点（落在平面直角坐标系第一象限内的概率是． 【点睛】本题考查的是简单的概率公式计算及用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上． （1）求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）； （2）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）海里 （2）海里 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）先利用等腰三角形的性质先说明与的关系，再在中利用直角三角形的边角间关系得结论； （2）先说明四边形是矩形，再利用等腰三角形的性质、直角三角形的边角间关系得结论． 【小问1详解】 解：如图，作交于，作交于， ， ， 是等腰三角形 海里， 在中，，海里， 海里； 灯塔到轮船航线的距离为海里； 【小问2详解】 ，，、都是正北方向， 四边形是矩形， 海里，，在中，，海里， 海里， 在中，， 是等腰直角三角形， 海里， 海里， 港口与灯塔的距离为海里． 25. 如图，，分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，交于点，连接并延长交的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的切线，得出．根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明． （2）连接，根据垂径定理得出，勾股定理算出，证明．得出，．得出，再根据即可求解． 【小问1详解】 证明：连接． ∵是的切线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接． ∵， ∴， ． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴． 【点睛】该题主要考查了扇形面积公式，切线的性质和判定，垂径定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是解题的关键． 26. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润． 【答案】（1）每盒产品的成本为30元．（2）；（3）当时，每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可； （2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可； （3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元． 依题意，得． 解得，，． 经检验，是原方程的根． ∴每盒产品的成本为：（元）． 答：每盒产品的成本为30元． （2） ； （3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下 ∴当时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元； 当时，每天的最大利润为元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． 27. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边记为a，b，c． （1）如图1，若， ①请用无刻度的直尺和圆规在线段AB上作一点D，使得△ACD的周长为．（请保留作图的相关痕迹）； ②试求证：； （2）如图2，若，试求证：． 【答案】（1）①见解析；②证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①作线段的垂直平分线交于点； ②如图，延长至点，使，连接，证明，再利用即可得到结论； （2）如图，在上取点，使，连接，证明，再利用即可得到结论． 【小问1详解】 ①解：如图，点即为所求． ②如图，延长至点，使，连接， ∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边记为a，b，c， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图，在上取点，使，连接， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴，，， 在和中 ∴ ∴， ∴， ∴． ． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．解题关键是通过作辅助线构建相似三角形解决问题． 28. 新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标； （2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，． ①当时，求点的坐标； ②当时，最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1），顶点为 （2）①或；②或． 【解析】 【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标； （2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解； ②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的“关联抛物线”为， 根据题意可得，解析式 顶点为 【小问2详解】 解：①设，则， ∴ 当时， 解得， 当时，方程无解 或 ②的解析式 顶点为，对称轴为 ， 当时，即时， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 解得（，舍去） 当时，且即时， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 解得（，舍去） 当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大， 函数最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 即 即 解得（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级第二学期阶段性调研测试 数 学 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是【 】 A. 平均数9 B. 中位数是9 C. 众数是5 D. 极差是5 4. 如图，在中，弦，连接，，．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于直线y＝3x﹣3的性质说法不正确的是（ ） A. 不经过第二象限 B. 与y轴交于点（0，﹣3） C. 与x轴交于点（﹣1，0） D. y随x的增大而增大 6. 某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. 144（1﹣x）2=100 B. 100（1﹣x）2=144 C. 144（1+x）2=100 D. 100（1+x）2=144 7. 如图所示，矩形顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），且顶点在第一象限，那么下列结论：①a+c=b；②x=-1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc>0；④c﹣a＞2，其中正确的结论为（） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的算术平方根是_________． 10. 光速是每秒30万公里，每小时1080000000公里，用科学记数法表示1 080 000 000是____________ 11. 分解因式：________． 12. 若圆锥的侧面积为，底面半径为5，则该圆锥的母线长是______． 13. 在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，得到点，再将点向右平移3个单位，得到点，则点的坐标为__________． 14. 已知，则代数式的值为_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，轴，则菱形ABCD的周长是______． 16. 若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数，的图像分别经过点，，则的值为__________． 18. 如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE=CB,连接AE，以AE为腰，A为顶角顶点作等腰Rt△ADE，连接CD，当CD最大时，∠DEC=_______. 三、解答题（本大题共10题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 22. 2022年，中国航天继续“超级模式”：全面建成空间站、宇航发射次数“50＋”……某中学科技兴趣小组为了解本校学生对我国航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的人数为______人；补全图1条形统计图； （2）扇形统计图中“关注”对应扇形的圆心角为______°． （3）该校共有1000人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？ 23. 如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需要重新转动转盘）． （1）转动甲转盘，指针指向数字5的概率是______； （2）当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y，求点落在平面直角坐标系第一象限内的概率． 24. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上． （1）求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）； （2）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）． 25. 如图，，分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，交于点，连接并延长交的延长线交于点． （1）求证：是切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 26. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润． 27. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边记为a，b，c． （1）如图1，若， ①请用无刻度的直尺和圆规在线段AB上作一点D，使得△ACD的周长为．（请保留作图的相关痕迹）； ②试求证：； （2）如图2，若，试求证：． 28. 新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）写出解析式（用含的式子表示）及顶点坐标； （2）若，过轴上一点，作轴垂线分别交抛物线，于点，． ①当时，求点的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $