精品解析：云南省昆明市第一中学西山学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

昆一中西山学校2025年春季学期高2026届三月月考 数学试卷 （本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号填写在答题卡及试卷上，并在答题卡的规定位置用2B铅笔准确填涂准考证号； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 3.考试结束后，将答题卡交予监考教师，试卷自行妥善保管． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 2. 为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆交于，两点，若的周长为10，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 3或13 5. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 0或2 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 5个男生，3个女生站成一排，且甲乙之间恰好有3个人，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（  ） A. 曲线围成的图形的面积为 B. 的最小值为 C. 点到直线的距离的最大值为 D. 曲线有且仅有4条对称轴 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，设，则下列说法正确的是（  ） A. B. 边上的高是 C. 外接圆的周长是 D. 内切圆的面积是 10. 数列的前项和，且，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个口袋中装有形状大小相同的6个小球，其中有3个红球，2个黄球和个1蓝球，若从中1次随机摸出3个球，则3个球中至少有2个球颜色相同的概率为________. 13. 已知，，则______． 14. 已知双曲线C:（），分别为左、右焦点，过的直线l交双曲线右支为A，以为直径的圆交右支另一点为B，且过当，则双曲线离心率为__________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 17. 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆一中西山学校2025年春季学期高2026届三月月考 数学试卷 （本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号填写在答题卡及试卷上，并在答题卡的规定位置用2B铅笔准确填涂准考证号； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 3.考试结束后，将答题卡交予监考教师，试卷自行妥善保管． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】应用等比数列通项公式基本量运算即可求解. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，公比，且满足 所以，则. 故选：B. 2. 为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数平移思想，来求解析式，结合三角函数诱导公式即可得出正确判断. 【详解】因为， 所以把的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得 的图象，故B正确； 经检验，ACD错误. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理可得展开式通项，由此可求解与展开式中项的系数，进而得到结果. 【详解】展开式通项为， ， 展开式中项的系数为；展开式中项的系数为， . 故选：A. 4. 已知直线与圆交于，两点，若的周长为10，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 3或13 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，进而可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】因为圆，即圆心坐标为，半径， 因为的周长为10，所以， 则圆心到直线的距离， 解得或13. 故选：D. 5. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可． 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，则， 则，，即切点为，所以直线为， 又直线与圆都相切，则有，解得或． 故选：D． 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设易得，可得数列是以为首项，公差为的等差数列，进而求出，进而求解即可. 【详解】对两边取倒数，所以， 则，所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，则，所以. 故选：C. 7. 5个男生，3个女生站成一排，且甲乙之间恰好有3个人，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相邻排列计数问题列式计算得解. 【详解】从除甲乙外的人中选人排在甲乙之间，再将这人捆绑在一起与其他人全排列， 所以不同的排法种数为. 故选：D 8. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（  ） A. 曲线围成的图形的面积为 B. 的最小值为 C. 点到直线的距离的最大值为 D. 曲线有且仅有4条对称轴 【答案】C 【解析】 【分析】先分的范围得出曲线的方程，再应用图象数形结合分别判断各个选项. 【详解】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图象如图所示：    由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故A正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故B正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故C错误； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故D正确； 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，设，则下列说法正确的是（  ） A. B. 边上的高是 C. 外接圆的周长是 D. 内切圆的面积是 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用数量积公式结合余弦定理判断A，应用面积公式计算判断B，根据正弦定理计算判断C，应用内切圆性质列式求解D. 【详解】对于A，，解得，故A正确， 对于B，是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确； 对于C，由余弦定理得，所以， 外接圆的周长是，故C正确； 对于D，内切圆的面积是，故D不正确. 故选：ABC. 10. 数列的前项和，且，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据作差求出的通项公式，即可判断A、B，由等比数列求和公式判断C，利用裂项相消法判断D. 【详解】因为①，所以当时，可得， 当时②，①②得，可得， 所以数列是以1为首项，公比的等比数列，所以，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为 所以，故D正确； 故选：AD. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个口袋中装有形状大小相同的6个小球，其中有3个红球，2个黄球和个1蓝球，若从中1次随机摸出3个球，则3个球中至少有2个球颜色相同的概率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用组合数公式求出基本事件总数即符合题意的基本事件数，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】由题可知，“随机摸出个球”的基本事件总数为， “个球中至少有个球颜色相同”的基本事件数为， 所以所求概率. 故答案为： 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和差的正余弦公式化简，再两边同时除以，即可求得. 【详解】因为，则， 因为， 则， 等式两边同时除以可得：， 解的：. 故答案为：. 14. 已知双曲线C:（），分别为左、右焦点，过的直线l交双曲线右支为A，以为直径的圆交右支另一点为B，且过当，则双曲线离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据已知及双曲线的定义，结合勾股定理可得结果. 【详解】因为，设，则，所以， 依题意：在中，，即， 化简得：， 在中，，即， 所以，化简得：， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率关键是建立一个的等量关系，本题是借助圆直径所对圆周角为直角，结合双曲线定义得到结果. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式； （2）利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意，得， 又为等比数列，所以，即， 解得或，所以或； 【小问2详解】 当时，， 此时； 当时，， 此时. 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 17. 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得； （2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 18. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】（1） （2）① ； ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，， ， 即，解得， 点在直线上． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出的值，进而得出求出椭圆方程； （2）①设直线的方程及，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【小问1详解】 椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线的距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线的方程为． ②略 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III） 【解析】 【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）略 （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $