二次函数的存在性问题与等腰三角形和直角三角形模型练-2025年中考数学二轮复习备考

二次函数的存在性问题与等腰三角形和直角三角形 一、解答题 1．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标； (2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 4．如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求出抛物线的表达式； (2)若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标； (3)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 6．如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根． (1)求m，n的值； (2)求这条抛物线对应的函数解析式； (3)若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若是等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 8．如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为． (1)求n的值和抛物线的解析式． (2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），过P点作垂直于x轴交直线于点F，设点P的横坐标为a．当a为何值时，线段有最大值，求出其最大值及此时点P的坐标． (3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； (3)若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点，连接，点在线段上，设点的横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如果以为顶点的新抛物线经过原点，且与轴的另一个交点为，若是以为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 14．如图、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由． 参考答案 1．(1)9 (2)存在，或或或 本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； （2）分、、三种情况，分别求解即可． （1）直线，令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、， 将点、的坐标分别代入抛物线表达式得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则点坐标为，顶点的坐标为， ∴； （2）设， 当时，如图， 则点纵坐标与中点的纵坐标相同， ， ， 解得：， 故此时点坐标为； ②当时，如图， ， ， 故此时点的坐标为或； ③当时，如图， , , 解得：， 故此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或； 2．(1)抛物线的函数表达式为，顶点D的坐标为； (2)m的值为或5或． 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，配方成顶点式即可求得顶点D的坐标； （2）根据平移的性质得到，则顶点E的坐标为，利用两点之间的距离公式求得，，，分或或三种情况讨论，列出方程，据此求解即可． （1）解：∵经过点的抛物线，且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：由题意将向左平移个单位长度后得到抛物线， ∴， ∴的顶点E的坐标为， 对于，令，则， ∴与y轴交于点C的坐标为， 即，，其中， ∴， ， ， 当时，则， 解得（舍去）或，此时，，符合题意； 当时，则， 此时，，符合题意； 当时， 则，解得，此时，，符合题意； 综上，m的值为或5或． 3．(1)， (2)，或 (3)或或 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，对称轴公式求出对称轴即可； （2）先求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）设，利用勾股定理得到，，，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． （1）解：把代入抛物线解析式中得， 解得， ∴抛物线解析式为； ∴对称轴为直线； （2）解：在中，令，则， ∴点C的坐标为； 在中，令，则， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由图象可知：或； （3）解：存在， 设， ∴，，， 当时，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，则， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或． 4．(1)抛物线的表达式为 (2)点的横坐标为 (3)点坐标为或或或 本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类讨论是解本题的关键． （1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点，得到，先求出点的坐标，推出，进而得到，设，则，由勾股定理可得，结合，可求出，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线的解析式和抛物线的解析式即可求解； （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，求解，可得，，，再分类讨论即可． （1）解：将，代入抛物线可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）如图，作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点， ， 令，则， 解得：，， ， ， ， ， 又， ， 设，则， ， 又， ， 解得：， ， 设直线的解析式为，将，代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立：， 解得：， 点在第一象限， ， 即点的横坐标为； （3）解：抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 设， ，，， 如图， 当时， ， 解得：， 或； 当时， 即， 解得：， 或， 综上：点坐标为或或或． 5．(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为 此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． （1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 6．(1)， (2) (3)点的坐标为 本题主要考查了二次函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类思想的应用． （1）运用因式分解法解方程即可得出m，n的值； （2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （3）首先求出的直线解析式以及解析式，再利用等腰三角形的性质得出当时，当时，点P在线段的中垂线上，当时分别求出x的值即可 （1）解：， ， 解得，，， ∵， ∴，； （2）解：∵，， ∴ ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； ∵直线过点， ∴直线的解析式为， ∵为等腰直角三角形， ∴或或， 设， ①当时，， 解得，，（舍去）， ∴； ②当时，点在线段的垂直平分线上， ∴； ③当时，可得， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为 7．(1) (2)8； (3)，   ， ， （1）把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，求出a、c的值，即可得出结果； （2）设直线的解析式为，根据点，的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交于点H，求出，根据，即可； （3）先求出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． （1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵直线经过， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，如图所示： 设， ∴， ∴， ∵面积， ∴， ∴当时，面积最大值为8， 此时． （3）解：抛物线整理得：， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∴，，， 当时，则， 解得：，， ∴此时点Q的坐标为：，   ； 当时，则， 解得：， ∴点的坐标为：； 当时，， 解得：，， 当时，P、Q重合，不符合题意舍去， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点的坐标为：，   ， ，． 本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 8．(1) (2)在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或 本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． （1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可． （1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧， ∴点的坐标为， 将，代入． ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为，则， ∴ 当时，则，过点作于点，如图． 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∴，解得：或． ∴点的坐标为或． 综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 9．(1) (2) (3)P的坐标为或或或 题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式即可； （2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可； （3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可． （1）解：根据题意得，当时，， ∴， 将， 代入得 ，解得， 得解析式； （2）根据题意得：联立两个函数， 解得：或， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：； （3）设点， ∵， ∴， 当P为直角顶点时，， ∴， 解得：或， ∴或； 当B为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 当C为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：P的坐标为或或或 ． 10．(1)，抛物线的表达式为； (2)当时，有最大值，最大值为16，； (3)存在，或． （1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为，则点，求得，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据题意，需要分两种情况：①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，由此可得是等腰直角三角形，设出点的横坐标，代入函数解析式即可；②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设点的横坐标为，则，代入函数解析式即可． （1）解：对于， 令，则， 令，解得， 当时，， 故点、、的坐标分别为、，； 将点、的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交于点，连接，， 设点P的坐标为，则点， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为16； 当时，． ∴； （3）解：存在，理由如下： ①当点为直角顶点时，如图，过点作交抛物线于点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，， ，， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 点在抛物线上， ，解得（舍）或， ，， ． ②当点为直角顶点时，如图，过点作交抛物线于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线， 由①知， ， ， ， 设点的横坐标为，则， ，解得或（舍， ． 综上可知，存在点，使是以为直角边的直角三角形，此时或． 本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． 11．(1)直线的解析式为， (2), (3)，，或 （1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，，根据，则，即可解答； （3）设，分当时；，三种情况依次进行讨论即可． （1）解：设，将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线经过点，两点，将，代入， ， 解得， ； （2）设，，，则， 当时 ∵ ， 整理得， ，（舍去） ； 当时 ∵ ， 整理得， ∴（舍去）或； ∴ 当时 ∴不存在 综上所述：, （3）设，则 ，，， ①当时，即， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ②时，即， ， ， ， 而， ， ， ③时，即， ， ， （舍去）或 ， 或， 或， 综上所述：，，或 本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 12．(1) (2)四边形面积有最大值32，此时 (3)存在，M点坐标为或 本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，所以四边形面积，可得当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）先求出，设，分别求出，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． （1）解：将点、代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 把代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ， ， ∴四边形面积， ∵点P在直线上方， ， ∴当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当时，， ， 设， ， ①当为斜边时，， 解得， （舍）； ②当为斜边时，， 解得， ； ③当为斜边时，， 解得或， 或（舍）； 综上所述：M点坐标为或． 13．(1) (2)或 （1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）利用等腰三角形定义分类求解即可． 本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的分类求解，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）解：设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令得， ∴， 设直线的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：. （2）解：∵点的横坐标为，点在线段上， ∴，， ∴设新抛物线的解析式为， ∵点、点， ∴，，. 分情况讨论： （1）当时，则， 解得， 此时，， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴新抛物线的解析式为； （2）当时，， 解得，（此时与重合，舍去）， ∴， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴新抛物线的解析式为. 综上所述，新抛物线的解析式为或. 14．(1) (2)存在，点P坐标为：或或或 （1）根据二次函数对称轴，设其函数表达式为：，根据一次函数的表达式求出点A和点C的坐标，再根据二次函数的对称性，求出点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入求解即可； （2）分情况进行讨论，①当时，②当时，③当时，分别求解即可． （1）解：∵一次函数的表达式为：， ∴当时，，解得：，当时，， ∴，， ∵二次函数称轴为直线， ∴， 设二次函数表达式为：， 把代入得：，解得：， ∴二次函数表达式为：， 整理得：． （2）存在 ①当时，如图：此时； ②当时，如图：有两种情况， ∵，， ∴， 令对称轴与x轴交于点Q， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点C作垂直于对称轴，垂足为点M， ∵对称轴为直线， ∴点P横坐标为，， 设点P， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上存在“圣和点”，点P坐标为：或或或 本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，灵活运用各个相关知识，根据题意进行分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$