专题29 排列组合（9大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题29 排列组合 【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：间接法 题型三：捆绑法 题型四：插空法 题型五：定序问题（先选后排） 题型六：列举法 题型七：涂色问题 题型八：分组分配问题 题型九：隔板法 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）排列与组合的概念 （2）排列数、组合数的公式及性质 2023年乙卷（理）第7题，5分 2023年甲卷（理）第9题，5分 2023年II卷第3题，5分 2023年I卷第13题，5分 （1）理解排列、组合的概念． （2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． （3）能利用排列组合解决简单的实际问题． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质： ①；②；③． （4）解排列应用题的基本思路： 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）． 注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用． 知识点2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． （4）组合应用题的常见题型： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型 知识点3、排列和组合的区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程 1、认真审题，确定要做什么事； 2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步； 3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素； 4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略． 【典型例题】 题型一：直接法 【典例1-1】现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【解析】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 【典例1-2】甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【解析】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 【变式1-1】某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 【变式1-2】现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（    ） A．12 B．120 C．1440 D．17280 【答案】C 【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况， 再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况. 所以共有种不同安排方法. 故选：C 题型二：间接法 【典例2-1】（2025·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【答案】C 【解析】马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为：种， 马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为：种， 故不同的比赛方式共有种. 故选：C. 【典例2-2】（2025·高三·河北邢台·开学考试）有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【答案】B 【解析】根据题意4名男生､3名女生的排列方法为，然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：，总方法数为， 故选：B． 【变式2-1】某人计划去北京、西安、沈阳、喀什、长沙五个城市旅游，若最后一个目的城市不是喀什，则该人旅游完这五个城市的所有可能顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．84种 D．96种 【答案】D 【解析】最后目的地没有限制条件的情况有种，而最后一个目的城市是喀什的情况有种， 所以最后一个目的城市不是喀什的情况有（种）． 故选：D 【变式2-2】甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【答案】A 【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方， 则每人有3种选择，则4人一共有种情况， 若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖， 每人有2种选择方法，则4人一共有种情况， 故汉口江滩一定要有人去有种情况， 故选：A． 【变式2-3】以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（    ） A．6个 B．12个 C．18个 D．30个 【答案】B 【解析】根据题意，先从六个顶点中任选四个，共种选法， 而其中包含了所取4点在同一个侧面上的情况，这种情况有3种， 即符合条件的有 ； 故选∶B． 题型三：捆绑法 【典例3-1】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 【典例3-2】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 【变式3-1】某班一天上午有4节课，下午有3节课，现在安排该班一天中语文、英语、物理、政治、体育各1节，数学2节，要求2节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不同的排法种数是（    ） A．624 B．528 C．312 D．264 【答案】D 【解析】如果2节数学课排在上午，则数学课的安排情况为，，，共3种排法， 此时体育课排在下午，有3种排法，剩下的4节课有种排法， 所以数学课排在上午共有种排法. 如果2节数学课排在下午，则数学课的安排情况为，，共2种排法， 此时体育课排在下午，有1种排法，剩下的4节课有种排法， 所以数学课排在下午共有种排法. 综上，不同的排法种数为， 故选：D. 【变式3-2】（2025·高三·山东德州·开学考试）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】A 【解析】舞蹈和摄影课进行捆绑，有种情况， 将舞蹈和摄影课看为一个整体，和剩余的3个活动，进行全排列，有种情况 故共有种方案. 故选：A 【变式3-3】北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有3辆车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（　　）种． A．16 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【解析】从7个车位里选择4个相邻的车位，共有4种方式， 停放的3个车辆，有种方式， 则不同的泊车方案有种． 故选：C. 题型四：插空法 【典例4-1】现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【解析】根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法， 然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有， 最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法， 根据分步计数原理可知排法种数为， 故选：C. 【典例4-2】数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（    ） A．48种 B．40种 C．32种 D．24种 【答案】C 【解析】第1步：先将相邻的进行“捆绑”排列， 首先排，由题意可将两人看作一个整体，先站到正中间，共有种站法； 第2步：将不能相邻的插入合适的位置进行排列， 其次再排，因为两人不能相邻，所以只能排到的两侧， 若在左侧，则有种站法，此时只能在右侧，有种站法， 共种站法，同理在的右侧，在左侧，有种站法， 故共有8种站法； 第3步：将剩下的进行排列并计算所求， 剩下的有种站法，所以不同的站法共有种． 故选：C. 【变式4-1】（2025·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【答案】D 【解析】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择， 3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择， 则同色棋子不相邻的排列方式有种. 故选：D 题型五：定序问题（先选后排） 【典例5-1】如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（    ）种. A．10 B．20 C．60 D．120 【答案】A 【解析】设左车辆汽车依次为，右车辆汽车依次为， 则通过顺序的种数等价于将安排在5个顺序中的某两个位置（保持前后顺序不变）， 安排在其余3个位置（保持前后顺序不变），， 所以，合流结束时汽车通过顺序共有. 故选：A. 【典例5-2】（2025·河南南阳·二模）讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为（    ） A．20 B．30 C．35 D．210 【答案】C 【解析】根据题意，问题等价于从一行七个空里选三个空把、、按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将、、、7从小到大自左向右顺序填进去，共有填法种. 故选：C. 【变式5-1】（2025·高三·浙江绍兴·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走， 4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：C. 【变式5-2】（2025·广西桂林·一模）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是 A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】B 【解析】将左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论: 若先取1,则有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6种情况; 若先取4,则有45123,41235,41523,41253,共4种情况,故共有6+4=10种情况. 题型六：列举法 【典例6-1】（2025·广东广州·一模）将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有 种．    【答案】12 【解析】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，   排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故答案为：12 【典例6-2】如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ） A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：． ∴；；；；． 原位小三和弦满足：． ∴；；；；． 故个数之和为10． 故选：C． 【变式6-1】在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 【答案】 24 112 【解析】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 【变式6-2】（2025·广东深圳·一模）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（    ） A．34 B．33 C．32 D．30 【答案】B 【解析】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列， 则一位自然数有3个，两位自然数有个， 三位自然数有个，四位自然数有个， 又四位自然数为 2024为四位自然数中的第6个，所以. 故选：B 【变式6-3】（2025·高三·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 【答案】C 【解析】同一个数字出现3次时，其他两个数字进行插空， 故有种情况， 有两个数字出现两次，第三个数字出现1次时，此时有种情况， 以两个1，两个2，一个3为例， 若两个1出现在万位和百位，此时2可以在千位和十位或千位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和十位，此时2可以在千位和个位或百位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和个位，此时2只能在千位和十位，有1种情况， 若两个1出现在千位和十位，此时2可以在万位和百位或万位和个位或百位和个位，有3种情况， 若两个1出现在千位和个位，此时2可以在万位和百位或万位和十位，有2种情况， 若两个1出现在百位和个位，此时2可以在万位和十位或千位和十位，有2种情况， 故有种情况， 所以，共有种情况， 综上，这样的五位数共有种. 故选：C 题型七：涂色问题 【典例7-1】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有 种.（用数字作答） 【答案】120 【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花， 若2、5同色，则3、6同色或4、6同色， 所以共有种栽种方法； 若2、4同色，则3、6同色， 所以共有种栽种方法； 若3、5同色，则2、4同色或4、6同色， 所以共有种栽种方法； 所以共有种栽种方法. 故答案为：120 【典例7-2】（2025·高三·江苏泰州·开学考试）对一排8个相邻的格子进行染色．每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色方法共有（    ） A．89种 B．55种 C．54种 D．34种 【答案】B 【解析】8个格子涂色，相邻都不涂红色，包含的情形如下： ，8个格子都涂蓝色，共1个结果; ，8个格子有7个格子涂蓝色有个结果; ，8个格子有6个格子涂蓝色，2个涂红色，红色不相邻，插空个结果; ，8个格子有5个格子涂蓝色，3个涂红色，红色不相邻，插空个结果; ，8个格子有4个格子涂蓝色，4个涂红色，红色不相邻，插空个结果. 所以 故选：B 【变式7-1】（2025·高三·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 【答案】D 【解析】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：D． 【变式7-2】如图所示，在图形内指定四个区域，现有4种不同的颜色供选择，要求在每个区域里涂1种颜色，且相邻的两个区域涂不同的颜色，则不同涂法的种数为（   ）    A．48 B．72 C．84 D．108 【答案】C 【解析】若同色，则有种方法， 若不同色，则有种方法， 所以不同涂法的种数为种. 故选：C. 【变式7-3】如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ） A．48 B．56 C．72 D．256 【答案】A 【解析】将四个区域标记为，如下图所示： 第一步涂种涂法，第二步涂种涂法，第三步涂种涂法，第四步涂种涂法， 根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法. 故选：A. 题型八：分组分配问题 【典例8-1】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种. 【答案】 【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学 先取2名同学看作一组，选法有： 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种 故答案为：. 【典例8-2】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【变式8-1】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．2种 B．3种 C．6种 D．8种 【答案】C 【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法 所以，不同的安排方法共有种 故选：C 【变式8-2】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 【答案】C 【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有种. 故选：C 题型九：隔板法 【典例9-1】学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球， 由隔板法可知，不同的分配方案种数为. 故选：C. 【典例9-2】学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 【答案】B 【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”， 故有， 故选：B. 【变式9-1】将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（    ） A．16 B．18 C．27 D．28 【答案】B 【解析】“每校至少一个名额的分法”的方法数是至少有两个学校的名额数相同”的分配方法数可以从反面入手去求，即先求出“出现相同名额”的分配方法数，第一种情形是两个学校名额数相同：有三种情形，共有9种分法；第二种情形是三个学校名额数均相同，有1种分法，所以至少有两个学校的名额数相同”的分配为种.所以，满足条件的分配方法共有种. 故选：B 【变式9-2】7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 【答案】D 【解析】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法. 故选：D. 【强化测试】 1．（2025·高二·福建南平·期中）某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ） A．192种 B．168种 C．72种 D．144种 【答案】A 【解析】根据题意，分两步进行分析： 第一步，先从4个视频中选3个，有种方法；2篇文章全选，有种方法； 第二步，2篇文章要相邻，则可以先“捆绑”看成一个元素，内部排列，有种方法； 第三步，将“捆绑”元素与3个视频进行全排列，有种方法. 故满足题意的学法有种. 故选：A. 2．为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（    ）种站队方法． A．144 B．64 C．48 D．56 【答案】C 【解析】先排4名男生，4名男生之间有3个空，中间的位置留给女生甲， 剩下的2个空，留给剩下的2名女生，共有种站法. 故选：C 3．某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．1080种 B．720种 C．660种 D．600种 【答案】A 【解析】若使用五种颜色，即每个面一种颜色，则有种方案； 若使用四种颜色，即面AED与面FBC同色，则有种方案. 故不同涂色方案有720+360=1080种. 故选：A 4．（2025·高三·江苏扬州·期末）如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ）． A．96 B．84 C．60 D．48 【答案】B 【解析】按照使用了多少种颜色分三类计数： 第一类：使用种颜色，有种； 第二类：使用种颜色，必有块区域同色，有种； 第三类：使用种颜色，必然是与同色，且与同色，有种， 所以不同的信号总数为种. 故选：B 5．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（    ） A．12 B．24 C．48 D．84 【答案】D 【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类： 当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法； 当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法； 当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法， 综上：则不同的种植方法的种数为种， 故选：. 6．（2025·新疆·二模）新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（   ） A．54种 B．90种 C．150种 D．540种 【答案】C 【解析】将5名志愿者分为1，2，2，则有种分法； 将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法， 则不同的分配方案共有种. 故选：C. 7．某医院安排1名医生和7名护士某周一至周五去“定点帮扶”医院开展帮扶工作，每天安排2人，其中医生需要去三天，每名护士需要去一天，则不同的安排方法种数为（    ） A．6300 B．12600 C．25200 D．50400 【答案】B 【解析】题意将7名护士分成5个小组，每组人数分别为，共有种安排方法， 则医生被安排到只有1名护士的组别，故不同的安排方法共有（种），故选：B． 8．（2025·安徽·模拟预测）现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（   ） A．30种 B．60种 C．90种 D．120种 【答案】C 【解析】设3家养老院的编号依次为1、2、3，首先安排1号养老院，有（种）， 再安排2号养老院，有（种），最后安排3号养老院，有（种）， 根据分步乘法计数原理，因此共有安排方法（种）. 故选：C 9．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，不同的放法有（   ） A．92种 B．112种 C．82种 D．132种 【答案】B 【解析】设有A，B两个笔筒，笔放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支， 一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法也随之确定，且对同一笔筒的笔没有顺序要求， 故总的放法为种． 故选：B 10．（2025·高三·浙江·开学考试）2024年9月16日，台风“贝碧嘉”登陆上海浦东，当地某机关单位组织甲，乙等4名志愿者参与三个受灾小区的抗台抢险工作.每个人只能去一个小区，并且每个小区都要有人去，则不同的分配方案共有（ ） A．16种 B．20种 C．26种 D．36种 【答案】D 【解析】不同元素的分组分配问题，． 故选：D； 11．某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．30种 【答案】C 【解析】若甲、乙、丙3人体验的项目各不相同，丁体验A、B之一，则有种体验方法； 若甲、乙、丙3人中有2人体验的项目相同，丁体验A、B之一， 则有种体验方法， 故不同的体验方法共有种． 故选：C． 12．（2025·高三·重庆·期末）已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】由题意，要求每个大组至少有1名同学参加，即在4个大组中，必有一个大组有2名同学参加活动，其余组别各有1个同学. 运用分步乘法计数原理解决：先从4个大组中抽取一个有2名同学参加的组，有种， 再从另外三个大组中分别各取1名同学，有种， 最后确定有2个同学参加的组的人选，有种. 由分步乘法计数原理，抽取结果共有个． 故选：C. 13．（2025·河北衡水·模拟预测）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（    ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 【答案】D 【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书， 再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15， 故选: D 14．（2025·广东·一模）某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果共有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，美术组要抽取的学生数为，音乐组要抽取的学生数为，舞蹈组要抽取的学生数为，由分步乘法计数原理可知，不同的抽样结果. 故选:C. 15．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是（   ） A．5 B．6 C．11 D．30 【答案】D 【解析】根据分步乘法计数原理不同的取法种数为种； 故选：D 16．某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为（    ） A．15 B．18 C．30 D．36 【答案】C 【解析】可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队. 按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为. 故选：C. 17．（2025·高三·贵州贵阳·期末）一个口袋里有质地和大小都相等、编号不同的个白球和1个红球，下列哪个式子可以表示从这个口袋中抽取个球的方法数？（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从个球中摸个球用组合数公式表示为，但选项中并没有，所以要找与等价的方法数， 将摸球分为两类，第一类，摸出的球中不含有红球，则需从剩下的个球中摸个球； 第二类，摸出的球中含有红球，则只需从余下的个球中再摸个球， 故. 故选：C． 18．（多选题）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A．没有空盒子的方法共有24种 B．可以有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有288种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】AB 【解析】对于A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列， 故共有种方法，故A正确； 对于B，可以有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，故B正确； 对于C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球， 先将四盒中选一个作为空盒,再将4球中选出2球绑在一起, 再对三个盒子全排共有种方法，故C错误； 对于D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种， 另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误. 故选：AB. 19．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60． B．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 C．从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D．把5封不同的信投入4个不同的信箱，每个信箱至少投1封，不同的投法共有种 【答案】BCD 【解析】对于A，参观券相同，只需从5人中选出3人，方法有种，故A错误； 对于B，将5封信投入3个邮筒，每封信都有3种选择，故不同的投法有种，故B正确； 对于C，从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生， 包含的类别有，1男3女，2男2女，3男1女，即种，故C正确； 对于D，现将5封信分成4组有种，再将分好的4组全排列，对应4个信箱，有种， 则不同的投发共有种，故D正确. 故选：BCD. 20．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．可表示为 B．5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次 C．若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法 【答案】BC 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，5人两两握手，即从5人中随便选出2人握手，即共握（次），故B正确； 对于C，在5个位置中选3个位置填入h，a，y，剩下2个位置填入p，共有（种），其中正确的只有1种，则可能出现的错误共有（种），故C正确； 对于D，将4人按3，1分派，共种；将4人按2，2分派，共有种， 故每个学校至少派1人，共有14种分派方法，故D错误． 故选：BC． 21．（多选题）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】（方法1：间接法）：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况为． （方法2：直接法）：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有种站法，其余三名学生任意排列有种排法，则不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12（种）． 或者，四名同学全排时，甲同学与老师相邻与甲同学与老师不相邻各占，故有． 故选:BCD． 22．（2025·广东佛山·二模）甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是 ． 【答案】120 【解析】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有种， 3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有种， 故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是种. 故答案为：120. 23．（2025·高三·浙江绍兴·期末）某地区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等8名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天.现要求甲、乙、丙至少选两人参加.考虑到实际情况.当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为 .（请算出具体数值） 【答案】 【解析】①甲、乙、丙中只选两人，有种选法，再从余下5人中任选4人有选法， 将选取的6人安排到周一到周六有种，因此，共有不同安排种数为， ②当甲、乙、丙三人都参加时，因为丙一定得排在甲乙之间， 从余下5人中任选3人有选法，周一到周六中取3天安排甲、乙、丙且丙在甲乙之间有种，另3天安排所选3人有种，那么不同的安排数为种， 故不同的安排数为， 故答案为：． 24．7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有 种不同的排法． 【答案】840 【解析】对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列， 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有种不同的方法． 故答案为：840. 25．用0，1，4，6，7可以组成 个无重复数字的五位数. 【答案】96 【解析】第一步：有的排法， 第二步，剩余4个元素有中排列， 所以共有个无重复数字的五位数. 故答案为：96 26．（2025·福建厦门·二模）在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有 种. 【答案】80 【解析】根据题意可知，值班的人数为2人或者3个人， 若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故, 若人数为3，则每人值一天班，故, 故总的方法有， 故答案为：80 27．甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有 种． 【答案】8 【解析】先安排甲、乙，有种方法，且甲、乙之间有一个空位，而丙与甲不相邻，所以安排空位有种方法； 又丙与乙相邻，所以丙位置固定，然后让最后一人站两端，有种方法； 所以不同的排法共有（种）排法. 故答案为：8 28．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是 . 【答案】 【解析】根据题意，先将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生，分成组， 其中一组两人，其他三组各一人，有种分法， 在把分成的4组安排到市4所不同的学校任教，有种安排方法， 由分步计数原理得，共有种不同安排方法. 故答案为：. 29．（2025·陕西安康·模拟预测）寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为 .（用数字作答） 【答案】600 【解析】先选司机有种，再选副驾， 若副驾坐人，则有种； 若副驾不坐人，则有种， 故不同的坐法种数为. 故答案为：600 30．（2025·山西·三模）清明小长假期间，某学校打算安排甲、乙、丙等6位教师值班.从4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教师到学校值班，每位教师只安排半天值班.已知甲只能值上午班，乙、丙二人只能值下午班，其他三人上下午均可值班，则不同的值班安排方式共有 种(请用数字作答). 【答案】108 【解析】从三个上午班中选择一个安排甲，再从下午的三个班中选择两个安排乙丙，剩余三个人安排在剩余的班位上，故一共有, 故答案为：108 31．（2025·陕西铜川·三模）有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有 种. 【答案】240 【解析】先从5名学生中选2人组成一组，有种方法， 然后将4组学生分配到4个景点，有种方法， 由分步计数原理知共有种不同的游玩方式. 故答案为：240. 32．（2025·山东聊城·三模）两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种. 【答案】15 【解析】不妨记两本相同的图书为元素，两本不同的音乐书为元素，根据题意，分类讨论： 若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况； 若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况； 若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况； 综上，不同的分法共有种. 故答案为：15 33．（2025·河南南阳·模拟预测）北京时间2023年10月26日，驾乘神舟十七号载人飞船的三名航天员成功入驻中国空间站，与神舟十六号航天员乘组聚首，浩瀚宇宙再现中国人太空“会师”的经典场面.某校计划开展“学习航天精神”的讲座，讲座内容包括航天史讲解､航天精神的形成与发展､现代前沿科学技术知识的普及､“我”的航天梦四个方面，根据安排讲座分为三次（同一次讲座不分先后顺序，每个方面只讲解一次），其中航天史讲解必须安排在第一次讲座，则不同的安排方案共有 种 【答案】12 【解析】由题意若第一次讲座讲解一个内容，则一定为航天史讲解，共有种不同的安排方案， 若第一次讲座讲解两个内容，则其中有一个内容为航天史讲解，共有种不同的安排方按， 综上，共有12种不同的安排方案. 故答案为：12. 34．（2025·上海杨浦·二模）有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 种. 【答案】60 【解析】从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法， 所以不同安排方式共有（种）. 故答案为：60 35．（2025·河南郑州·一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有 种．（用数字作答） 【答案】 【解析】根据题意可知6人中选派4人参与选派方式共有种， 其中甲、乙都不参与的选派方式共有种， 其中甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有种， 所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种. 故答案为： 36．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6个项目中参加志愿活动，且每名志愿者只能参加1个项目的志愿活动，则有且只有3人分到同一项目中的情况有 种．（用数字作答） 【答案】120 【解析】可分三步完成， 第一步，从四名志愿者中选取三名志愿者，有种选法； 第二步，从6个项目中选取2个项目有种不同的选法； 第三步，把志愿者分配到两个项目中有种分配方法； 故共有（种）不同的分配方法． 故答案为：120. 37．某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为 种． 【答案】60 【解析】5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，如果是只有高一（1）班被安排到A基地，那么总的排法是种，如果是还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，那么总的排法是种，所以高一（1）班被安排到A基地的排法总数为种． 故答案为：60. 38．甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知人都在至层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙人出电梯的不同方法总数是 ． 【答案】120 【解析】由题意， 人都在至层的某一层人独自出电梯，共有种； 人中有人在同一层出电梯，另人在另外一层出电梯，共有种； 故甲、乙、丙人出电梯的不同方法总数是种． 故答案为：120 39．现有5名同学从北京、上海、深圳三个路线中选择一个路线进行研学活动，每个路线至少1人，至多2人，其中甲同学不选深圳路线，则不同的路线选择方法共有 种．（用数字作答） 【答案】. 【解析】每个路线至少1人，至多2人，则一个路线1人，另外两个路线各2人， 若甲同学单独1人时，有种不同的选法； 若甲同学与另外一个同学一起，则有种不同的选法， 则不同的选择方法有60种． 故答案为：. 40．现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有 种 【答案】54 【解析】先排乙，从中间的3个位置中选1个安排乙，则有种方法， 再排甲，从除左端外，剩下的3个位置中选1个安排甲，则有种方法， 最后排其余3个，有种方法， 所以由分步乘法原理可知共有种方法， 故答案为：54 41．（2025·高三·湖北·开学考试）从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有 种不同的选法.（用数字作答） 【答案】 【解析】由题意可知，当志愿组有3名男生，2名女生时，有种方法； 当志愿组有4名男生，1名女生时，有种方法， 由分类计数原理得，共有种不同的选法. 故答案为：. 42．第13届冬残奥会于2022年3月13日在北京举行，现从5名男生、3名女生中选3人分别担任残奥冰球、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且只有1名女生被选中，则不同的安排方案有 种. 【答案】180 【解析】从3名女生中选1人，5名男生选2人，再把3 人分配给3 个项目， 所以不同的安排方案有种. 故答案为：180. 43．（2025·四川成都·二模）成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种. 【答案】88 【解析】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况： ①甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场， 剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案； ②甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场， 再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场， 剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案. 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的安排方案. 故答案为：88. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题29 排列组合 【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：间接法 题型三：捆绑法 题型四：插空法 题型五：定序问题（先选后排） 题型六：列举法 题型七：涂色问题 题型八：分组分配问题 题型九：隔板法 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）排列与组合的概念 （2）排列数、组合数的公式及性质 2023年乙卷（理）第7题，5分 2023年甲卷（理）第9题，5分 2023年II卷第3题，5分 2023年I卷第13题，5分 （1）理解排列、组合的概念． （2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． （3）能利用排列组合解决简单的实际问题． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质： ①；②；③． （4）解排列应用题的基本思路： 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）． 注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用． 知识点2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． （4）组合应用题的常见题型： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型 知识点3、排列和组合的区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程 1、认真审题，确定要做什么事； 2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步； 3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素； 4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略． 【典型例题】 题型一：直接法 【典例1-1】现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【典例1-2】甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【变式1-1】某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【变式1-2】现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（    ） A．12 B．120 C．1440 D．17280 题型二：间接法 【典例2-1】（2025·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【典例2-2】（2025·高三·河北邢台·开学考试）有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【变式2-1】某人计划去北京、西安、沈阳、喀什、长沙五个城市旅游，若最后一个目的城市不是喀什，则该人旅游完这五个城市的所有可能顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．84种 D．96种 【变式2-2】甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【变式2-3】以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（    ） A．6个 B．12个 C．18个 D．30个 题型三：捆绑法 【典例3-1】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【典例3-2】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【变式3-1】某班一天上午有4节课，下午有3节课，现在安排该班一天中语文、英语、物理、政治、体育各1节，数学2节，要求2节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不同的排法种数是（    ） A．624 B．528 C．312 D．264 【变式3-2】（2025·高三·山东德州·开学考试）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【变式3-3】北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有3辆车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（　　）种． A．16 B．18 C．24 D．32 题型四：插空法 【典例4-1】现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【典例4-2】数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（    ） A．48种 B．40种 C．32种 D．24种 【变式4-1】（2025·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 题型五：定序问题（先选后排） 【典例5-1】如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（    ）种. A．10 B．20 C．60 D．120 【典例5-2】（2025·河南南阳·二模）讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为（    ） A．20 B．30 C．35 D．210 【变式5-1】（2025·高三·浙江绍兴·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·广西桂林·一模）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是 A．6 B．10 C．12 D．24 题型六：列举法 【典例6-1】（2025·广东广州·一模）将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有 种．    【典例6-2】如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ） A．5 B．8 C．10 D．15 【变式6-1】在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 【变式6-2】（2025·广东深圳·一模）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（    ） A．34 B．33 C．32 D．30 【变式6-3】（2025·高三·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 题型七：涂色问题 【典例7-1】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有 种.（用数字作答） 【典例7-2】（2025·高三·江苏泰州·开学考试）对一排8个相邻的格子进行染色．每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色方法共有（    ） A．89种 B．55种 C．54种 D．34种 【变式7-1】（2025·高三·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 【变式7-2】如图所示，在图形内指定四个区域，现有4种不同的颜色供选择，要求在每个区域里涂1种颜色，且相邻的两个区域涂不同的颜色，则不同涂法的种数为（   ）    A．48 B．72 C．84 D．108 【变式7-3】如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ） A．48 B．56 C．72 D．256 题型八：分组分配问题 【典例8-1】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种. 【典例8-2】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【变式8-1】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．2种 B．3种 C．6种 D．8种 【变式8-2】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 题型九：隔板法 【典例9-1】学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 【典例9-2】学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 【变式9-1】将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（    ） A．16 B．18 C．27 D．28 【变式9-2】7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 【强化测试】 1．（2025·高二·福建南平·期中）某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ） A．192种 B．168种 C．72种 D．144种 2．为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（    ）种站队方法． A．144 B．64 C．48 D．56 3．某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．1080种 B．720种 C．660种 D．600种 4．（2025·高三·江苏扬州·期末）如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ）． A．96 B．84 C．60 D．48 5．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（    ） A．12 B．24 C．48 D．84 6．（2025·新疆·二模）新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（   ） A．54种 B．90种 C．150种 D．540种 7．某医院安排1名医生和7名护士某周一至周五去“定点帮扶”医院开展帮扶工作，每天安排2人，其中医生需要去三天，每名护士需要去一天，则不同的安排方法种数为（    ） A．6300 B．12600 C．25200 D．50400 8．（2025·安徽·模拟预测）现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（   ） A．30种 B．60种 C．90种 D．120种 9．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，不同的放法有（   ） A．92种 B．112种 C．82种 D．132种 10．（2025·高三·浙江·开学考试）2024年9月16日，台风“贝碧嘉”登陆上海浦东，当地某机关单位组织甲，乙等4名志愿者参与三个受灾小区的抗台抢险工作.每个人只能去一个小区，并且每个小区都要有人去，则不同的分配方案共有（ ） A．16种 B．20种 C．26种 D．36种 11．某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．30种 12．（2025·高三·重庆·期末）已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 13．（2025·河北衡水·模拟预测）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（    ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 14．（2025·广东·一模）某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果共有（    ） A． B． C． D． 15．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是（   ） A．5 B．6 C．11 D．30 16．某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为（    ） A．15 B．18 C．30 D．36 17．（2025·高三·贵州贵阳·期末）一个口袋里有质地和大小都相等、编号不同的个白球和1个红球，下列哪个式子可以表示从这个口袋中抽取个球的方法数？（   ） A． B． C． D． 18．（多选题）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A．没有空盒子的方法共有24种 B．可以有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有288种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 19．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60． B．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 C．从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D．把5封不同的信投入4个不同的信箱，每个信箱至少投1封，不同的投法共有种 20．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．可表示为 B．5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次 C．若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法 21．（多选题）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·广东佛山·二模）甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是 ． 23．（2025·高三·浙江绍兴·期末）某地区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等8名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天.现要求甲、乙、丙至少选两人参加.考虑到实际情况.当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为 .（请算出具体数值） 24．7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有 种不同的排法． 25．用0，1，4，6，7可以组成 个无重复数字的五位数. 26．（2025·福建厦门·二模）在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有 种. 27．甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有 种． 28．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是 . 29．（2025·陕西安康·模拟预测）寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为 .（用数字作答） 30．（2025·山西·三模）清明小长假期间，某学校打算安排甲、乙、丙等6位教师值班.从4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教师到学校值班，每位教师只安排半天值班.已知甲只能值上午班，乙、丙二人只能值下午班，其他三人上下午均可值班，则不同的值班安排方式共有 种(请用数字作答). 31．（2025·陕西铜川·三模）有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有 种. 32．（2025·山东聊城·三模）两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种. 33．（2025·河南南阳·模拟预测）北京时间2023年10月26日，驾乘神舟十七号载人飞船的三名航天员成功入驻中国空间站，与神舟十六号航天员乘组聚首，浩瀚宇宙再现中国人太空“会师”的经典场面.某校计划开展“学习航天精神”的讲座，讲座内容包括航天史讲解､航天精神的形成与发展､现代前沿科学技术知识的普及､“我”的航天梦四个方面，根据安排讲座分为三次（同一次讲座不分先后顺序，每个方面只讲解一次），其中航天史讲解必须安排在第一次讲座，则不同的安排方案共有 种 34．（2025·上海杨浦·二模）有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 种. 35．（2025·河南郑州·一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有 种．（用数字作答） 36．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6个项目中参加志愿活动，且每名志愿者只能参加1个项目的志愿活动，则有且只有3人分到同一项目中的情况有 种．（用数字作答） 37．某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为 种． 38．甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知人都在至层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙人出电梯的不同方法总数是 ． 39．现有5名同学从北京、上海、深圳三个路线中选择一个路线进行研学活动，每个路线至少1人，至多2人，其中甲同学不选深圳路线，则不同的路线选择方法共有 种．（用数字作答） 40．现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有 种 41．（2025·高三·湖北·开学考试）从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有 种不同的选法.（用数字作答） 42．第13届冬残奥会于2022年3月13日在北京举行，现从5名男生、3名女生中选3人分别担任残奥冰球、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且只有1名女生被选中，则不同的安排方案有 种. 43．（2025·四川成都·二模）成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$