2025年山东省济南市天桥区中考一模数学试题

数学试题 第 1页（共 8页） 2025 年九年级教学诊断测试 数 学 试 题 注意事项： 本试题共 8 页，满分为 150 分．考试时间为 120 分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、 姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡上题号所提 示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第 I 卷（选择题共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1．在 2，-1， ，- 5四个数中，最小的数是（ ） A． - 5 B．2 C． D． -1 2．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视 图为（ ） A． B． C． D． 3．第三十三届夏季奥运会中，来自全球 206 个国家和地区的代表团的 10500 位运动员齐聚巴 黎，向全世界奉献了一场精彩的体育盛宴．中国体育代表团在这次奥运会中获得 40 枚金牌， 27 枚银牌和 24 枚铜牌的好成绩．其中 10500 用科学记数法表示为（ ） A． 3105 10 B． 41 05 10. C． 210 5 10. D． 60 105 10. 4．如图，已知直线 a∥b，将含 30°角的直角三角板 ABC 按如图方式放置，若∠1＝40°， 则∠2 的度数为（ ） A． 20 B．30 C． 40 D．50 5．估计 8( 2 3) 的值应在（ ） A．6 和 7 之间 B．7 和 8 之间 C．8 和 9 之间 D．9 和 10 之间 A a 第 4 题图 B C 1 2 b 数学试题 第 2页（共 8页） 6．下列运算正确的是 A． 22 3a a a  B． 2 3 5( )a a a    C． 5 2 3a a a  D． 3 2 6(2 ) 2a a 7．如图，已知 AB，BC，CD 是正 n 边形的三条边，在同一平面内，以 BC 为边在该正 n 边形 的外部作正方形 BCEF．若∠ABF＝126°，则 n 的值为（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 8．甲、乙两人在 2025 年新上映的四部热门电影《哪吒之魔童闹海》 《唐探 1900》 《熊出 没重启未来》 《封神第二部：战火西岐》中各自随机选择了一部影片观看（两人选择每 部电影的机会均等），则两人恰好选择同一部影片进行观看的概率是（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 1 4 D． 2 3 9．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升 20℃，加热到 100℃，停止加热，水温 开始下降，此时水温 y（℃）与通电时间 x（min）成反比例关系．当水温降至 20℃时，饮 水机再自动加热，若水温在 20℃时接通电源，水温 y 与通电时间 x 之间的关系如图所示， 则下列说法中错误的是（ ） A．水温从 20℃加热到 100℃，需要 4min B．水温下降过程中，y 与 x 的函数关系式是 400y x  C．上午 10 点接通电源，可以保证当天 10：30 水温为 40℃ D．在一个加热周期内水温不低于 40℃的时间为 8min 10．对于实数 a，b，定义新运算 2 2 ( ) ( ) a ab a b a b b ab a b ≥      ，若函数 y＝ x（2x﹣1），则下列结 论正确的有（ ） ①方程 x*（2x﹣1）＝0 的解为 x＝0 或 x＝1； ②关于 x 的方程 x*（2x﹣1）＝m 有三个解，则 10 2 m≤  ； ③当 x＜ 1 2 时，y 随 x 增大而增大； ④当 x＞ 1 2 时，函数 y＝ x（2x﹣1）有最大值 0． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 A B C D F E 第 7 题图 第 9 题图 O x/min y/℃ 100 20 数学试题 第 3页（共 8页） 第Ⅱ卷（非选择题共 110 分） 注意事项： 1．第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用 涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题:（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．） 11．分解因式： 2 5x x = ． 12．一只不透明的袋中装有 8 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随 机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球 的频率是 0.2，则袋中约有红球 个． 13．在一次函数 y＝(k-5) x-3 中，y 随 x 的增大而减小，且 k 为正整数，则 k 的值可以 是 ．（任意写出一个符合条件的数即可） 14． 如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形 ABC 的面积为 21200 cm ， 120BAC  ， 2BD AD ， 则 BD的长度为 cm ． 15．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，点 P 是边 BC 上一动点，连接 AP，将△ABP 沿 着AP折叠，得到△AEP，连接DE，点F是DE的中点，AB＝2，则CF的最小值为 ． 三、解答题:（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．） 16．(本小题满分 7 分) 计算： 1 0 13 2sin 60 ( ) (2025 4) 3        ． 17．(本小题满分 7 分) 解不等式组 2( 1) 1 5 11 2 x xx ≤       ，并写出它的所有正整数解． O x y A B C D E F P 第 15 题图 第 14 题图 数学试题 第 4页（共 8页） 18．(本小题满分 7 分) 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 和点 F 在边 BC 上，且 BE＝CF， 求证：AF＝DE． 19．(本小题满分 8 分) 【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如图①所示，它的侧面可 视作如图②，AB 为底板，AC 为支撑杆，CD 为电脑托板，分别可绕 A，C 转动，测得 AC ＝16cm，CD＝20cm． 【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算． 任务 1：若∠BAC＝30°，∠ACD＝75°，求此时电脑托板的最高点 D 离底板 AB 的距离 （精确到 0.1cm， 2 1.41» ）． 【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究． 任务 2：陈老师工作时习惯把电脑打开成大于 120°角（如图③，∠CDE＞120°．现小勇 同学为陈老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕ED垂直于底板AB，量得∠ACD＝40°， 点 C 到底板 AB 的距离 CH 是 4cm，问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由． （参考数据：sin14.48°≈0.25，cos75.52°≈0.25，tan14.04°≈0.25） 20．(本小题满分 8 分) 如图，△ABC 中．∠ACB＝90°，点 O 为 AC 边上一点，以点 O 为圆心，OC 为半径 作圆与 AB 相切于点 D，连接 CD． （1）求证：∠ABC＝2∠ACD； （2）若⊙O 的半径为 3，AC＝8，求 BC 的长． A B C D E F 第 18 题图 A B C D O 第 20 题图 C ② A D B C ③ D H B A E C ① 数学试题 第 5页（共 8页） 21．(本小题满分 9 分) 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目．为了解 学生的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比 赛成绩（成绩为百分制，用 x 表示），并将其分成如下四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80 ≤x＜90，90≤x≤100． 下面给出了部分信息： 70≤x＜80 的成绩为：71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78， 78，78，79，79，79． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是 分； （3）请估计全校 1500 名学生的创意设计比赛成绩不低于 80 分的人数； （4）根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩、科技竞赛成绩按 2：3 的比例确定这次活 动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下： 创意设计比赛 科技竞赛 甲的成绩 95 90 乙的成绩 92 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 0 10 人数（频数） 60 70 80 90 100 5 10 15 20 25 成绩/分 5 创意设计比赛成绩的频数分布直方图 创意设计比赛成绩的扇形统计图 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 20% 数学试题 第 6页（共 8页） 22．(本小题满分 10 分) 【问题背景】2025 年 4 月 23 日是第 30 个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读 环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进 20 个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有 A，B 两种书架可供选择，A 种书架的单价比 B 种书架单价高 20%； 素材二：用 14400 元购买 A 种书架的数量比用 9000 元购买 B 种书架的数量多 6 个； 素材三：A 种书架数量不少于 B 种书架数量的 13 ； 【问题解决】 问题一：求出 A，B 两种书架的单价； 问题二：设购买 a 个 A 种书架，购买总费用为 w 元，求 w 与 a 的函数关系式，并求出费 用最少时的购买方案． 23．(本小题满分 10 分) 物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的函 数．某兴趣小组为探究一弹簧的长度 y（厘米）与所挂物体质量 x（千克）之间的关系， 进行了 6 次测量．如表为测量时所记录的一些数据．在数据分析中，有一位同学发现一 个数据 y 有错误，重新测量后，证明了他的猜想正确，并修改了表中这个数据． 第 1 次 第2次 第3次 第 4 次 第 5 次 第6次 x 0 10 20 30 40 50 y 6 9 12 17 18 21 （1）你认为表中第 次数据 y 是错误的？正确的值是 y= ． （2）观察表中数据，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线 所对应的函数表达式． （3）当弹簧长度为 30 厘米时，求所挂物体的质量． （4）若某同学在测量时第一次所挂物体的质量为 x1，记录对应的弹簧长度为 y1；第二次所 挂物体的质量为 x2，记录对应的弹簧长度为 y2，当 x2﹣x1＝14 时，y2﹣y1 的值为 ． 数学试题 第 7页（共 8页） 24.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2 3y ax bx   （a、b 为常数且 a≠0）． （1）若抛物线经过点（3，0）、（2，-3）两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）在（1）的条件下，当直线 l: y＝x+a 与抛物线交于点 A、B 时（点 A 在点 B 的左侧）， 位于直线 l 下方的抛物线上是否存在一点 C，使得△ABC 的面积最大？若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若抛物线的对称轴为直线 x=1，当直线 y＝x+a 与抛物线 2 3y ax bx   有两个交点时， 直接写出 a 的取值范围． O x y 第 24 题图 O x y 第 24 题备用图 数学试题 第 8页（共 8页） 25.（本小题满分 12 分） 在直角三角形纸片 ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝6，∠C＝30°． 【数学活动】 将三角形纸片 ABC 进行以下操作：①折叠三角形纸片 ABC，使点 C 与点 A 重合，得到折 痕 DE，然后展开铺平；②将△DEC 绕点 D 顺时针方向旋转得到△DFG，点 E，C 的对应 点分别是点 F，G，当直线 GF 与边 AC 相交时交点为 M，与边 AB 相交时交点为 N． 【数学思考】如图 1： （1）折痕 DE 的长为 ； （2）试判断 MF 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （3）如图 2，当直线 GF 经过 AB 中点 N 时，求此时 AM 的长度； 【问题延伸】 （4）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，当 DG⊥BC 时，是否存在点 M，若存在，请求 AM 的长度；若不存在，请说明理由． 第 25 题图 1 A B C D N F M E G A B D C G M F E N 第 25 题图 2 第 25 题备用图 B A D C E 2025年九年级教学诊断测试 参考答案 一、选择题： 1． A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．C 9．D 10．B 二、填空题： 11． 12．32 13. 1、2 、3、4（都可以） 14. 40 15. 三、解答题 16．解：（1）原式 ---------------------------------------- 4分 ； ---------------------------------------- 6分 ---------------------------------------- 7分 17．解： 解不等式①，得：x＞﹣2， ----------------------------------------2分 解不等式②，得：x≤3， -----------------------------------------4分 ∴原不等式组的解集是﹣2＜x≤3， ----------------------------------------5分 ----------------------------------------6分 ( 0 1 -2 3 ) ∴该不等式组的所有正整数解是1，2，3． ----------------------------------------7分 18．证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， ----------------------------------------2分 ∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF． 即：BF＝CE， ----------------------------------------4分 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ----------------------------------------6分 ∴AF＝DE． -------------------------------------------7分 19．解：任务1：在图②中，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， 即点离底板的距离约为； ------------4分 任务2：不符合陈老师的工作习惯，理由如下： 在图③中，延长交于点，过点作于点， 在中，， ， ------------5分 ，， ， ， ------------6分 ， ，------------7分 不符合陈老师的工作习惯． ------------8分 20．证明：连接OD， -------------------------------------1分 ∵AB为⊙O的切线， ( A B C D O 第 20 题图 )∴OD⊥AB， --------------------------------------2分 ∴∠ODA＝∠ODB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠COD＝180°， ∵∠AOD+∠COD＝180°， ∴∠ABC＝∠AOD， --------------------------------------3分 ∵∠AOD＝2∠ACD， ∴∠ABC＝2∠ACD； --------------------------------------4分 (2) ∵⊙O的半径为3，则OD＝OC＝3，OA＝AC-OC=5， 在Rt△AOD中， ∵∠ADO＝90°，AO＝5，OD＝3， ∴AD=， --------------------------------------5分 ∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB， ∴△AOD∽△ABC， --------------------------------------6分 ∴，即， --------------------------------------7分 解得BC＝6. ------------------------------------------8分 21． （1）∵ 70≤x＜80有20人， ∴80≤x＜90有50﹣20﹣5﹣10＝15， ( 0 10 人数（频数） 60 70 80 90 100 5 10 15 20 25 成绩 / 分 5 创意设计比赛成绩的频数分布直方图 )补全图形如下： --------------------2分 （2）78 ---------------------4分 （3） （人） ---------------------5分 答：全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数约600人； -----------6分 （4）甲的成绩为：（分）； ----------------7分 乙的成绩为：（分）； ----------------8分 ∴乙的综合成绩比甲高． ----------------9分 22．解：（1）问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是（1+20%）x元， ----------------------1分 根据题意得: ， -----------------------3分 解得： x＝500， -----------------------4分 经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意， -----------------------5分 ∴（1+20%）x＝（1+20%）×500＝600． 答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元； -----------------------6分 问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架， ∴购买（20﹣a）个B种书架． -------------------7分∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的 ∴， 解得：a≥5． -------------------8分 ∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元， ∴w＝600a+500（20﹣a）， 即w＝100a+10000， -----------------------9分 ∵100＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝5时，w取得最小值，此时20﹣a＝20﹣5＝15， 答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架．--------------------10分 23. 解：（1）第4次， y=15 ----------------------2分 （2）它们在同一条直线上， 设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（0，6）和（10，9）分别代入y＝kx+b， 得 解得 ----------------------4分 ∴这条直线所对应的函数表达式为y＝0.3x+6． ----------------------6分 （3）当y＝30时，0.3x+6＝30，解得x＝80， ∴当弹簧长度为30厘米时，所挂物体的质量为80千克． ----------------------8分 （4）根据题意，得y1＝0.3x1+6①，y2＝0.3x2+6②， ②﹣①，得y2﹣y1＝0.3（x2﹣x1）， ∵x2﹣x1＝14， ∴y2﹣y1＝0.3×14＝4.2． ----------------------10分 24. 解：（1）∵抛物线经过（3，0）、（2，-3）两点， ∴分别将（3，0）、（2，-3）代入y＝ax2+bx-3中， 得 ----------------------2分 解得， ( 第 24 题图 O A C D F E B )∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2-2x-3 ----------------------3分 （2）证明：由（1）可知，此时a=1， 此时直线y＝x+a为直线y=x+1 由可得A（-1，0），B（4，5） ----------------------4分 设C（m，m2-2m-3）， 过点C作CD∥y轴交直线l与点D， ∴D（m，m+1）， ∴CD= m+1-( m2-2m-3)= -m2+3m+4， ----------------------5分 ∴S△ABC= S△ADC+ S△BDC=， = ----------------------7分 ∴当时，此时S△ABC最大， 将 代入 y＝x2-2x-3 中得 ∴存在时，S△ABC最大 ----------------------8分（3）a>0(1分)，(2分)， （1分） ----------------------12分 25.解：（1）DE= ----------------------2分 （2）MF＝ME．证明如下：连接DM． 由旋转的性质，得DE＝DF，∠DFM＝∠DEC＝90°， ∴∠DEM＝180°﹣∠DEC＝90°， ∴∠DFM＝∠DEM． ----------------------3分 ( 第 25 题图 1 A B C D N F M E G )在Rt△DMF和Rt△DME中， ∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL）． ----------------------4分 ∴MF＝ME． ----------------------5分 （3）连接DN，∵AC＝6，∠C＝30°． ∴AB＝tan30°×AC=． ( A B D C G M F E N 第 25 题图 2 )由题易得AE=AC＝3，AN=AB＝，DF=DE= 由题意知DN为△ABC的中位线， ∴DN=AC＝3，DN ∥AC． ∴∠DNM=∠NMA ----------------------6分 在Rt△DFN中 FN=＝， ----------------------7分 在Rt△AMN和Rt△FND中 ∴Rt△AMN≌Rt△FND (AAS) ∴AM= FN= ----------------------8分 （4）存在点M， ----------------------9分 第一种情况：如图3 ∵DG⊥BC ∴∠GDC=90° ∵△DEC≌△DFG ( B A D C F G E M 第 25 题图 3 )∴∠FDG=∠EDC，∠GFD=∠DEC=90°，DE=DF ∴∠FDE=90° ∴四边形FDEM是正方形 ∴ME=DE=--------------10分 ∵AE=AC=3 ∴AM=3- ----------------------11分 ( A B C D F G E M 第 25 题图 4 )第二种情况：如图4 ∵DG⊥BC ∴∠GDC=90° ∵△DEC≌△DFG ∴∠FDG=∠EDC，∠GFD=∠DEC=90°，DE=DF ∴∠FDE=90° ∴四边形FDEM是正方形 ∴ME=DE= ∵AE=AC=3 ∴AM=3+ 综上所述，AM的长度为3-或3+ ----------------------12分 6 学科网（北京）股份有限公司 $$