精品解析：辽宁省本溪市2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度（下）九年级阶段验收 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图在长方形中挖出一个圆柱体后，得到的几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【详解】解：从左面看所得到的图形是长方形，中间两条竖线是虚线． 所以几何体的左视图为： 故选A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 2. 液体沸腾时的温度叫作沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点： 物质 液态一氧化碳 液态甲醛 酒精 食用油 沸点 则沸点最低的物质是（ ） A. 液态一氧化碳 B. 液态甲醛 C. 酒精 D. 食用油 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较出各数的大小即可判断求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴液态一氧化碳沸点最低， 故选：． 3. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数数，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：A． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的应用，掌握同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的法则，完全平方公式是解决问题的关键．利用同底数幂的除法法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，合并同类项法则，对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A.，则A不符合题意； B.，则B不符合题意； C.，则C符合题意； D.，不是同类项，无法合并，则D不符合题意； 故选：C． 6. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 根据题意列出所有情况，然后用符合题意的情况数除以所有等可能发生的情况数即可． 【详解】解：一共有6种情况发生： 1、《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》 2、《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒之魔童闹海》 3、《射雕英雄传：侠之大者》《熊出没：重启未来》 4、《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》 5、《封神第二部：战火西岐》《熊出没：重启未来》 6、《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》 期中有共有《哪吒之魔童闹海》的情况有3种，所以两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是． 故选：D． 7. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设牧童有x人，根据“每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿”列出方程即可． 【详解】解：设牧童有x人， 由题意可得：． 故选A． 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点，过点A作，过点D作交于点E，若，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，求得的长度是解题关键．首先证明四边形为平行四边形，易得，，进而可得的长度，然后根据菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴菱形的面积． 故选：D． 10. 如图，在中，，，，动点从点出发，在线段上运动，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则在点从点开始移动至点的过程中，点移动的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作，交以点为圆心长为半径的圆于点，，交以点为圆心长为半径的圆于点，得到点在直线上运动，点移动的路径长，可证明，得到，即可得到答案 【详解】解：如图，作，交以点为圆心长为半径的圆于点，，交以点为圆心长为半径的圆于点， ， ， ， ，， ， ， 同理可证明, , 在点从点开始移动至点的过程中，点在线段上运动，点移动的路径长，为， 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：等式组的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 12. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解： 故答案为：． 13. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，连接格点，，点，是线段与网格线的交点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理．取格点C、E、F，连接、、、，则经过点E、F，且，，，由，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：取格点C、E、F，连接、、、，则经过点E、F， ∵网格中每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，射线与函数图象相交于点，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点C，则点C的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】把点代入，求得，则，设点C的坐标为，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，求出，再根据作图方法可知，是的平分线，得，解直角三角形求出． 【详解】解：把点代入，得， ∴， ∴， 设点， 如图，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 由作图方法可知，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵点C在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象性质，角平分线的性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象性质，角平分线的性质是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，将沿折叠得到，连接，，当为直角三角形时，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，设交于点，由矩形性质得到，由折叠性质得到，则，进而利用平行线分线段成比例求得，利用勾股定理求得，然后证明求得；再说明不存在为直角三角形，且或的情况，进而可得答案． 【详解】解：如图1，当时，设交于点， ∵四边形是矩形，，， ，， ∵将沿折叠得到， ∴点与点D关于直线对称， ∴垂直平分， ，， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 如图1，当时，点在矩形内部，则， 当时，则四边形为正方形，此时点在上且不与点重合， ， 如图2，，则， ， ， ∴不存在或的情况， 综上所述，当为直角三角形时，则的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握这些知识的联系与运用是解答本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）方程两边同时乘以，解方程并检验． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：解方程：． 解：方程两边同时乘以 ， 检验：当时， 是原方程的根． 17. 某电器销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 850元 第二周 3台 2台 900元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备采购这两种型号的电风扇共50台，且A种型号的电风扇最多能采购37台．超市销售全部售完这些电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）能，方案有两种：方案1：采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；方案2：采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式解实际应用，熟练掌握等量关系是解题关键． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程进行计算即可； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； 【小问2详解】 解：能 设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． ， ， ， 且x应为整数， 或． 方案有两种： 方案1：采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 方案2：采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 18. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； （2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． （3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． 【答案】（1）50，见详解 （2）2.5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，中位数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）运用D档人数除以D的百分比，得出调查的学生总数，再运用总数乘上档的百分比，即可作答． （2）根据中位数的定义，排序后位于中间位置的数为中位数，据此即可作答． （3）依题意，得出档有名男学生，有名女学生，运用列表法得共有12种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（名） ∴本次调查中，共调查了50名学生； 则（名） ∴（名） 则档有名男学生，有名女学生, 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：依题意， （名） 本次调查的男学生的总人数是23名 ∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第名， ∵ ∴第名位于C档 ∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9． 则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时， 故答案为2.5； 【小问3详解】 解：用，表示2名男生，用，表示两名女生，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种， ． 19. 某商场试经营某种新产品，进价为每件20元，在试销阶段发现，当售价为每件60元时，每天销售量是20件，为扩大销售量，商场决定采用适当降价措施，每件降低1元，就可多售出2件． （1）求销售该新产品获得的利润y（元）与每件降价x（元）之间的函数关系式； （2）为了节约成本，该商场规定该新产品降价为每件不低于16元且不高于20元，则销售该新产品的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售该新产品的最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查二次函数实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）利用总利润等于单件利润乘销量，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解： 答：销售该新产品获得的利润y（元）与每件降价x（元）之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解： ∴抛物线的开口方向向下 ∴当时，y随x的增大而减小 时，y最大 ∴（元） 答：销售该新产品的最大利润是元． 20. 某数学爱好小组在学习完“利用三角函数测高”课程后，计划利用所学知识来测量一塔高．如图，大楼侧面为矩形，米，米，该兴趣小组可以从A，B，D三点观察塔顶E（图中所有点均在同一平面内），利用精密测角仪器测得数据如下： 测量项目 测量数据 从点A处观测塔顶E的仰角 从点B处观测塔顶E的仰角 从点D处观测塔顶E的仰角 请你根据现有的条件，充分利用楼房，设计一个测量塔高的方案： 要求如下： ①数据尽可能少； ②在所给图形上，画出你设计的测量平面图．（精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形． 共有三种测量方案，分别计算出三种测量方案下塔的高即可， 方案一：从处观测塔顶仰角为，从点观测塔顶的仰角为，测得长度，延长交于点，则，垂足为； 方案二：从处观测塔顶的仰角为，从点观测塔顶的仰角为，测得长度，延长交于点，则，垂足为； 方案三：从处观测塔顶的仰角为，从点观测塔顶的仰角为，测得长度，延长交于点，则，垂足为； 分别根据锐角三角函数即可求出结果． 【详解】解：方案一：测量图如图所示， 从点处观测塔顶的仰角，从点处观测塔顶的仰角， 测得米， 延长交于点，则垂足为， 在中，， 在中，， ， ，，， ， ，， 米， 答：塔的高约为米； 方案二：测量图如图所示， 从点处观测塔顶的仰角，从点处观测塔顶的仰角， 测得米，测得米， 延长交于点，则垂足为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 米， 答：塔的高约为米； 方案三：测量图如图所示， 从点处观测塔顶的仰角，从点处观测塔顶的仰角， 测得米，测得米， 延长交于点，则垂足为，设米， ， 四边形是矩形， 米， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， 米， 答：塔的高约为米； 答：塔的高约为米或米． 21. 如图，在中，，为上一点，以为半径的与相切于点．交于点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】根据等边对等角可得：、，等量代换可得：，根据同位角相等两直线平行，可证，因为，可得，从而可证是的切线； 连接，，可证四边形是正方形，设的半径为，则，，利用勾股定理可以求出，根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； 小问2详解】 解：如图，连接，， 是的切线， ， ， ， ， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 设的半径为， 则， ， 在中，，，， ， 的长， 答：的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定与性质、证明直线是圆的切线、弧长公式．解决本题的关键是根据正方形的性质求出圆的半径． 22. 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）①小红同学的解题思路：延长到点，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得；②小林同学的解题思路：延长到点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （2），证明：延长至，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再分两种情况：①当在点的右侧时，②当在点的左侧时，先求出的长，再参考（2）的思路证出，由此即可得． 【详解】解：（1）①小红同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是的中线，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． ②小林同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． （2），证明如下： 如图，延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）∵等腰中，，， ∴， ∵． 则分以下两种情况： ①如图，当在点的右侧时， ∴， 由（2）已证：， ∴； ②如图，当在点的左侧时， 延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上，的长度为或． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点． 【定义应用】 （1）求反比例函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标． 【答案】（1）反比例函数图象的完美点是，；（2）（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据完美点的定义设点是反比例函数图象的完美点，得到，即可得到答案； （2）根据完美点的定义，得到有两个相等的实数根，计算求出的值即可得到答案； （3）过点B作轴交于E，设，则，过点D作轴交于F，证明，得到，计算求解即可． 【详解】解：（1）设点是反比例函数图象的完美点， ， 或， 反比例函数图象的完美点是，； （2）二次函数的图象上有且只有一个完美点， ， 即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ②， 联立①②，得， （3）由（2）可知， ； 如图，过点B作轴交于E，过点D作轴交于F， 则， ， 设，则， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， （舍）， 当时，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（下）九年级阶段验收 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图在长方形中挖出一个圆柱体后，得到几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 2. 液体沸腾时的温度叫作沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点： 物质 液态一氧化碳 液态甲醛 酒精 食用油 沸点 则沸点最低的物质是（ ） A. 液态一氧化碳 B. 液态甲醛 C. 酒精 D. 食用油 3. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点，过点A作，过点D作交于点E，若，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 10. 如图，在中，，，，动点从点出发，在线段上运动，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则在点从点开始移动至点的过程中，点移动的路径长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集是_________． 12. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线解析式为______． 13. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，连接格点，，点，是线段与网格线的交点，则______． 14. 如图，射线与函数图象相交于点，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点C，则点C的坐标是_______． 15. 如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，将沿折叠得到，连接，，当为直角三角形时，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 某电器销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 850元 第二周 3台 2台 900元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备采购这两种型号电风扇共50台，且A种型号的电风扇最多能采购37台．超市销售全部售完这些电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 18. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； （2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． （3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． 19. 某商场试经营某种新产品，进价为每件20元，在试销阶段发现，当售价为每件60元时，每天销售量是20件，为扩大销售量，商场决定采用适当降价措施，每件降低1元，就可多售出2件． （1）求销售该新产品获得的利润y（元）与每件降价x（元）之间的函数关系式； （2）为了节约成本，该商场规定该新产品降价为每件不低于16元且不高于20元，则销售该新产品的最大利润是多少？ 20. 某数学爱好小组在学习完“利用三角函数测高”课程后，计划利用所学知识来测量一塔高．如图，大楼侧面为矩形，米，米，该兴趣小组可以从A，B，D三点观察塔顶E（图中所有点均在同一平面内），利用精密测角仪器测得数据如下： 测量项目 测量数据 从点A处观测塔顶E的仰角 从点B处观测塔顶E的仰角 从点D处观测塔顶E的仰角 请你根据现有的条件，充分利用楼房，设计一个测量塔高的方案： 要求如下： ①数据尽可能少； ②在所给图形上，画出你设计的测量平面图．（精确到米）（参考数据：，，，） 21. 如图，在中，，为上一点，以为半径的与相切于点．交于点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点． 【定义应用】 （1）求反比例函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$