精品解析：2025年广西壮族自治区柳州市一模数学试题

2025年广西初中学业水平适应性测试 数 学 （考试时间120分钟 满分120分） 注意：1．答题前，考生务必将姓名、学校、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 如果将“收入200元记作元”，那么“支出60元”应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 剪纸艺术是中国最具特色的民间艺术之一，其中蕴含着极致的数学美．下列剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则棋子“炮”的坐标为（　　） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （﹣2，2） 8. 不等式组，解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. “云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是（ ） A B. C. D. 11. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（ ）天 A. 510 B. 511 C. 513 D. 520 12. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A是函数（，k是不等于0的常数）图象上的一点，的延长线交函数的图象于点C，点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点是，连接，交x轴于点B，连接，，．若的面积等于2，则四边形的面积等于（ ） A. 7 B. 8 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，，则的值为_____． 14. 2024年嫦娥6号成功在相距约的地月之间完成月壤样品的“空间接力”，最终实现世界首次月球背面采样返回．数据380000用科学记数法表示为______． 15. 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代．细胞在n次分裂后的数量可用数学模型来表示，即：，，，，，…．请你推算的个位数字是______． 16. 量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着量角器和三角板拼成了如图1所示的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动．紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知C是量角器半圆弧的中点，P为三角板的直角顶点，两直角边，PF分别过点A，B，连接，过点O作于点M，交于点N．若，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解不等式：． 18. 如图，已知，，请你从以下条件中选择一个，使得． ①；②；③；④． （1）你添加的条件是________．（填序号，只填一个） （2）请利用你所添加的条件证明：． 19. 随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，甚至的快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用技术提高了50%，若采用充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？ 20. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O； （1）尺规作图：过点C作的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的值． 21. 某校组织全校学生参加了“解放思想、创新求变，向海图强、开放发展”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩（单位：分），过程如下： 【收集数据】八年级10名学生竞赛成绩：75，84，88，98，88，92，88，92，95，100． 七年级10名学生竞赛成绩在范围的是：88，87，87． 【整理数据】 年级 八年级 1 1 m 2 3 七年级 1 2 3 1 3 【分析数据】 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 90 90 47 七年级 90 87 502 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空： ______， ______， ______． （2）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，假设七、八年级学生全部参加此次竞赛，请估计两个年级成绩不少于90分的学生总人数． （3）根据以上信息，你认为该校七、八年级哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 22. 钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日 天气：阴 能见度：18千米 11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”． 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画． （1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度． （2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？ （3）小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度） 23. 如图，是的外接圆，过点作于点，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，与交于点．已知，，． （1）求证：是等腰直角三角形． （2）求的半径． （3）取线段的两个端点和线段上的一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，求的值． （4）在内取一点，使四边形为平行四边形，连接，，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年广西初中学业水平适应性测试 数 学 （考试时间120分钟 满分120分） 注意：1．答题前，考生务必将姓名、学校、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 如果将“收入200元记作元”，那么“支出60元”应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相反意义的量、数学常识，解题的关键是明确正负数是一对具有相反意义的量．根据相反意义的量解答即可． 【详解】解：如果收入200元记作元，那么支出60元应记作元， 故选：B． 2. 剪纸艺术是中国最具特色的民间艺术之一，其中蕴含着极致的数学美．下列剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，再根据概念逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的特点，掌握立体图形三视图的特点，数形结合分析是解题的关键． 根据立体图形的特点，结合三视图分析即可，能看到的线用实线，不能看到的，但存在的线用虚线表示． 【详解】解：俯视图是 ， 故选：D ． 4. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查使分式有意义的条件．根据分式有意义的条件可知，，从而进行计算求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 故选：A． 5. 如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光， 画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种， ∴灯泡能发光的概率为， 故选：C． 6. 泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则棋子“炮”的坐标为（　　） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （﹣2，2） 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 棋子“炮”的坐标为（3，1）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查点的坐标，根据题意建立平面直角坐标系是关键． 8. 不等式组，的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，进而判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 在数轴上表示如图： ， 故选：B． 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，去括号，单项式乘以多项式，完全平方公式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算正确； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 故选B． 10. “云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：此草锅盖的侧面积为：． 故选：C． 11. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（ ）天 A. 510 B. 511 C. 513 D. 520 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了计数方法，有理数的混合运算．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，再列式计算即可． 【详解】解：（天）， 答：孩子自出生后的天数是510天． 故选：A． 12. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A是函数（，k是不等于0的常数）图象上的一点，的延长线交函数的图象于点C，点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点是，连接，交x轴于点B，连接，，．若的面积等于2，则四边形的面积等于（ ） A. 7 B. 8 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，轴对称和中心对称的性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 延长，交于点E，令，与y轴的交点分别为M，N．则，，则，．而点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点为，则，，．可得，则，故，由即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点E， 令，与y轴的交点分别为M，N． ∵，， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点为， ∴，，． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用．提公因式对所求式子因式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14. 2024年嫦娥6号成功在相距约的地月之间完成月壤样品的“空间接力”，最终实现世界首次月球背面采样返回．数据380000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解： 故答案为： 15. 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代．细胞在n次分裂后的数量可用数学模型来表示，即：，，，，，…．请你推算的个位数字是______． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了尾数特征，利用已知得出数字个位数的变化规律，并求出每一个循环4个数相加后的个位数字为0，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴尾数每4个一循环， ∵， 又∵， ∴每一组的4个数相加以后个位数字为0， ∴51组相加后个位数字为0， ∴的个位数字为0． 故答案为：0． 16. 量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着量角器和三角板拼成了如图1所示的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动．紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知C是量角器半圆弧的中点，P为三角板的直角顶点，两直角边，PF分别过点A，B，连接，过点O作于点M，交于点N．若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】当点P在上时，点N在线段的右侧，如图，连接，，作的外接圆，连接，，则圆心T为的中点，可得点N在上，运动轨迹是，，当点P在上时，即可求解． 【详解】解：当点P在上时，点N在线段的右侧，如图，连接，． 是半圆的中点， ， 即， ， 是等腰直角三角形， 作的外接圆，连接，，则圆心T为的中点， ， ， ， ， ， ， 点N在上，运动轨迹是， 过点T作于点H， ， ∴， ，， ， ， ∴． 在中， ， ， ， ， ． 在中， ． ∵， ∴， 的最小值为； 当点P在上时，如图， 在线段的右侧，此时显然大于； 综上所述：的最小值为． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上任一点距离最值问题，圆的基本性质，圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；能通过圆的基本性质，圆周角定理，等腰三角形的判定及性质找出取得最小值的条件，并能熟练利用勾股进行求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用乘方的意义、有理数的乘除法、零指数幂法则计算即可得到结果； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化1，即可求出解集． 【详解】解：（1） ． （2）去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18. 如图，已知，，请你从以下条件中选择一个，使得． ①；②；③；④． （1）你添加的条件是________．（填序号，只填一个） （2）请利用你所添加的条件证明：． 【答案】（1）①（或③或④） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据全等三角形的判定方法，进行选择即可； （2）根据全等三角形判定定理判定即可． 【小问1详解】 解：可以添加的条件是①或③或④； 故答案为：①（或③或④）． 小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∵， ∴添加的条件①时， ∵在和中， ∴； 添加的条件③时， ∵在和中， ∴； 添加的条件④时， ∵在和中， ∴． 19. 随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，甚至的快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用技术提高了50%，若采用充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？ 【答案】60公里 【解析】 【分析】设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里，根据题意，列出分式方程，求解验根即可． 【详解】解：设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 当时，， 答：采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系，列出分式方程是解题的关键． 20. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O； （1）尺规作图：过点C作的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的判定定理，菱形的性质，勾股定理等； （1）延长，以为圆心，适当的长度为半径画弧交的延长线两点，再以此两点为圆心，大于此两点连线段一半为半径画弧交于一点并连接与此点，交的延长线于，即可求解； （2）由菱形的性质可求，，再由勾股定理可求，由即可求解； 掌握“过直线外一点作已知直线的垂线”的作法，面积转换：是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：四边形为菱形， ， ， ，， 在中， ， ， ， ， ． 21. 某校组织全校学生参加了“解放思想、创新求变，向海图强、开放发展”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩（单位：分），过程如下： 【收集数据】八年级10名学生竞赛成绩：75，84，88，98，88，92，88，92，95，100． 七年级10名学生竞赛成绩在范围的是：88，87，87． 【整理数据】 年级 八年级 1 1 m 2 3 七年级 1 2 3 1 3 【分析数据】 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 90 90 47 七年级 90 87 50.2 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空： ______， ______， ______． （2）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，假设七、八年级学生全部参加此次竞赛，请估计两个年级成绩不少于90分的学生总人数． （3）根据以上信息，你认为该校七、八年级哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 【答案】（1） （2）估计两个年级成绩不少于90分的学生总人数为 （3）该校八年级的学生知识竞赛成绩更好，理由见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数的定义，用样本估计总体，平均数、众数、中位数、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义即可得到答案； （2）总人数分别乘以七、八所占比例年级成绩不少于90分的学生即可； （3）根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：， 八年级10名学生竞赛成绩中出现了次，出现次数最多， 众数， 七年级10名学生竞赛成绩中，排在第五、六位的是， 中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得（人）． 答：估计两个年级成绩不少于90分的学生总人数为； 【小问3详解】 解：根据以上数据，我认为该校八年级的学生知识竞赛成绩更好． 理由：八年级的众数、中位数高于七年级，说明八年级的学生知识竞赛成绩更好． 22. 钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日 天气：阴 能见度：1.8千米 11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”． 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画． （1）求m值，并求出潮头从甲地到乙地的速度． （2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？ （3）小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度） 【答案】（1），千米/分钟 （2）小红5分钟后与潮头相遇 （3）潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，这种阅读型的题目，弄懂题意、按照题设的顺序求解是解题的关键． （1）到的时间是30分钟，则，潮头从甲地到乙地的速度 (干米/分钟)； （2）潮头的速度为0.4千米/分钟，故到 时，潮头已前进 (千米)，则此时潮头离乙地 (干米)，进而求解； （3）把，代入，求出，当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，从即可求解． 【小问1详解】 解：∵到经过的时间是30分钟， ∴点，即， ∴潮头从甲地到乙地的速度为（千米/分钟）． 【小问2详解】 解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟， 时，潮头已前进（千米）． 此时潮头与乙地之间的距离为（千米）． 设小红出发x分钟后与潮头相遇． 依题意，得， 解得， ∴小红5分钟后与潮头相遇． 【小问3详解】 解：把点，代入， 得， 解得，， ∴． 又∴， ∴． 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即时， ， 解得， 则当时，， 即潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米． 23. 如图，是的外接圆，过点作于点，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，与交于点．已知，，． （1）求证：是等腰直角三角形． （2）求的半径． （3）取线段的两个端点和线段上的一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，求的值． （4）在内取一点，使四边形为平行四边形，连接，，直接写出的面积． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）或； （4）． 【解析】 【分析】（）通过内接四边形的性质，圆周角定理即可求解； （）设的半径为，证明是线段的中垂线，可知，由勾股定理求出，可知，由求出，进而由勾股定理求解即可； （）连接，则，则，，当时，过点作于点，过点作于点，根据三角函数求出，计算得到，当时，同理可得即可； （）如图，作平行四边形，连接，延长，交于点，过点作于点，根据三角函数求出，过点作，由勾股定理求出，过点作直线的垂线于点，设，由勾股定理求出，再根据三角函数和三角形内角和计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：设的半径为， ∵， ∴是线段的中垂线， ∵， ∴为等腰直角三角形，即， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则； 【小问3详解】 如图，连接，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 如图，当时，过点作于点，过点作于点， 则，，，， ∴， ∴， ∴， 则， 则； 当时，同理可得； 故值或； 【小问4详解】 解：如图，作平行四边形，连接，延长，交于点，过点作于点， 则， ∴，， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作，则， ∵ ∴ ∴ ∴， 过点作直线的垂线于点， 设， 由勾股定理，得， 解得， 则，， 则． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形性质，圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$